范學良,雒志學,張宇功

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

自然界中普遍存在的物種間相互作用是一種基本關(guān)系為捕食者-食餌的關(guān)系,揭示具有功能反應(yīng)的捕食者-食餌相互作用的關(guān)系具有十分重要的意義和價值,許多學者對此已經(jīng)做了大量的研究工作.

對于兩種群相互作用的具有功能反應(yīng)函數(shù)食餌-捕食模型，人們往往關(guān)心的是系統(tǒng)是否有孤立的周期解,換句話說就是系統(tǒng)是否有唯一的極限環(huán),因為穩(wěn)定的極限環(huán)對應(yīng)穩(wěn)定的種群的生態(tài)平衡.穩(wěn)定的平衡態(tài)對種群的生存具有重要的意義.

文獻[1]研究了具有Holling Ⅰ 型(它適用于藻類,細胞等低等生物)功能反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌系統(tǒng)：

(1)

(2)

時,對系統(tǒng)的平衡點及極限環(huán)進行討論.其中ω,a,b,k,r,α,β為正常數(shù),l符號不定.

首先作時間變換(1+ωx)dτ=dt,則系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

(3)

(4)

1 平衡點的性態(tài)

結(jié)論1 在平面上l<0或br-al<0時,系統(tǒng)(4)只有平凡平衡點O(0,0)及非平凡平衡點B(x1,0);當l>0且br-al<0時,系統(tǒng)有3個平衡點.

為了方便下面引理的證明，首先給出幾點說明：

若線性系統(tǒng)在平衡點A處的特征方程為λ2+pλ+q=0,如果特征方程有2個異號的實特征根那么平衡點為鞍點,若特征方程有2個同號的實根那么平衡點為結(jié)點,若特征方程中的p>0,q>0則結(jié)點是穩(wěn)定的.如果p<0,q>0則結(jié)點不穩(wěn)定.如果特征方程有一對共軛復(fù)根,則平衡點為焦點.如果特征方程有一對純虛根那么平衡點為中心焦點.詳見文獻[7].

結(jié)論2 在R2平面上,O(0,0)是鞍點,當al-br<0時,B是結(jié)點,當al-br>0時,B為鞍點;當l>0,al-br<0時,B為穩(wěn)定的結(jié)點.

證明為了討論平衡點的類型,首先將系統(tǒng)線性化,分別求出系統(tǒng)(4)對應(yīng)點處的雅克比矩陣：

又當B點為結(jié)點時所對應(yīng)的特征方程為

結(jié)論3 滿足系統(tǒng)(4)的正初始條件的解是有界的.

證明考慮直線L:kx+y=N,沿著直線L有

在P(x0,y0)點處的線性矩陣為

則P點處對應(yīng)的特征方程為

令h=bx0(1+ωx0)-ωx0(a-bx0)+x0y0,則有如下結(jié)論5.

結(jié)論5 當l>0,x00(h<0)時則P(x0,y0)是系統(tǒng)(4)的(不)穩(wěn)定焦點或結(jié)點;當l>0,x0>x1且h=0時,則P(x0,y0)是系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定中心-焦點型奇點.

2 閉軌線的不存在性

定理1 由結(jié)論5可知當滿足條件l>0,al-be<0且h≥0時系統(tǒng)平衡點是穩(wěn)定的,系統(tǒng)(4)在R2內(nèi)不存在極限環(huán).

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=xmyn,則有

令

H(x,y)=-2bωx2-(b+aω+l(n+1))x-r(n+1)-xy，

T(x)=-2bωx2-(b+aω+l(n+1))x-r(n+1).

要使得H常號,只需T(x)=-2bωx2-(b+aω+l(n+1))x-r(n+1)無實根或僅有唯一的實根,要滿足上述條件從而只需f(n)=[b-aω-l(n+1)]2-8brω(n+1)≤0,

令n+1=N,則有

f(N)=l2N2-[2l(b-aω)+8brω]N+(b-aω)2≤0.

為了能選擇N0使f(N0)≤0,必須保證f(N0)=0至少有一實根.

即要求[2l(b-aω)+8brω]2-4l2(b-aω)2≥0,可得lb-laω+2brω≥0,又因為l>0, -br+la<0可得lb-laω+2brω≥lb-brω+2brω≥0.即當l>0,-be+la<0時,f(N0)=0有2個實根或有2個重根.

若有2個實根N1,N2,當N10取Dulac函數(shù)B(x,y)=x-1yN0-1,便可以使得在第一象限內(nèi)H<0,所以系統(tǒng)(4)在R2內(nèi)不存在極限環(huán).

3 極限環(huán)的存在及唯一性

極限環(huán)的存在性,可以通過構(gòu)造Bendixson環(huán)域的方法進行證明.

由結(jié)論5知當滿足條件l>0,x0

又x軸y軸都是系統(tǒng)(4)的軌線,這樣由直線x=x1,my-lx-k=0,x軸,y軸圍成環(huán)域G的外境界線,G的內(nèi)部無其他奇點,O點和B點均為鞍點,由Bendixson環(huán)域定理可知,G內(nèi)至少存在一個包含R點的極限環(huán).

極限環(huán)的唯一性的證明,我們采用張芷芬定理來證明,為此,首先要把系統(tǒng)(4)化為Liendard方程.

(5)

(6)

再令(x0eξ+m)y0dt=dτ,變換后ξ,η,τ,仍記為x,y,t,進而系統(tǒng)(4)化為Lienard方程.

系統(tǒng)化為

容易檢驗:

2)φ(0)=e0-1=0,φ(y)′=ey>0;

3) 因為

[(b(1+ωx)-ω(a-bx))(x+m)+(a-bx)(1+ωx)](x+m)(-r+lx)+2bωx2(x+m)2(-r+lx)+[(b(1+ωx)-ω(a-bx))(x+m)+(a-bx)(1-ωx)](r-2lx)

由于右邊的函數(shù)是單調(diào)遞增的所以左邊的式子也是單調(diào)遞增的.由張芷芬定理可知,系統(tǒng)至多存在一個極限環(huán),若存在必穩(wěn)定.

定理2 當滿足下面的條件時.

1)l>0,h<0;其中h=-bx0(1+ωx0)+ωx0(a-bx0)-x0y0；

2)A(x)′B(x)-A(x)B(x)′>0則系統(tǒng)(1)在R2內(nèi)正平衡點外圍有唯一的極限環(huán)且穩(wěn)定.

4 用Maple軟件進行數(shù)值模擬

當參數(shù)取a=3,b=1,ω=1,α=1,β=5,k=1,r=4,l=1時，參數(shù)滿足結(jié)論1、結(jié)論2的條件,此時可以從圖1可以看出O點處向量場是遠離O點的,由文獻[7]可知O點為鞍點,B(3,0)點處的向量場(箭頭所趨向的方向)是趨向于B點的，所以由文獻[7]可知B穩(wěn)定的結(jié)點.

當參數(shù)取a=2,b=1,ω=1,α=1,β=2,k=2,r=2,m=3,l=2時，參數(shù)滿足定理1的條件,根據(jù)圖2向量場的趨向可以看出P點是一個穩(wěn)定點，所以沒有極限環(huán).

當參數(shù)取a=6,b=1,ω=1,α=1,β=8,k=2,r=4,m=9,l=4時，由圖3可以看出向量場形成一個極限環(huán).所以當P點為不穩(wěn)定的結(jié)點時,存在1個極限環(huán).

參考文獻:

[1] 王育全. 一類具 HollingⅠ型功能反應(yīng)的食餌-捕食者模型的極限環(huán)及平衡點的全局穩(wěn)定性[J].懷化學院學報, 1989(5):6.

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