羅冰

數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法.它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學的真諦，并對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的思維活動起著指導和調(diào)控的作用.日本數(shù)學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數(shù)學，那么作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用.靈活運用數(shù)學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，事半功倍.下面以勾股定理中滲透的數(shù)學思想為例說明.

一、分類思想

例1.（2013年貴州黔西南州）一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為（ ）

點評：本題的易錯點是受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，犯了考慮問題不全面的錯誤.

二、方程思想

例2.（2013年山東濟南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（）

A.12mB.13mC.16mD.17m

分析：觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8m處，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為未知數(shù)，進而運用勾股定理列方程求解.

解：如圖2，設(shè)旗桿的高度為x，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2.

解得x=17m，即旗桿的高度為17m，答案選D.

三、整體思想

例3.（2013年江蘇揚州）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為____________.

分析：設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為a、b（a>b），則依據(jù)題意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子.

解：設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為a、b （a>b），則a-b=2.

五、數(shù)形結(jié)合思想

例5.（2013年湖南張家界）如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動.當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為________.

分析：易知OD=5，要使△ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點D為圓心，OD為半徑作圓.

解：由C（10，0）可知OD=5.

（1）以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊

六、構(gòu)造思想例6.同例3

分析：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖，本例便有如下巧妙解法.endprint

數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法.它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學的真諦，并對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的思維活動起著指導和調(diào)控的作用.日本數(shù)學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數(shù)學，那么作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用.靈活運用數(shù)學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，事半功倍.下面以勾股定理中滲透的數(shù)學思想為例說明.

一、分類思想

例1.（2013年貴州黔西南州）一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為（ ）

點評：本題的易錯點是受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，犯了考慮問題不全面的錯誤.

二、方程思想

例2.（2013年山東濟南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（）

A.12mB.13mC.16mD.17m

分析：觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8m處，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為未知數(shù)，進而運用勾股定理列方程求解.

解：如圖2，設(shè)旗桿的高度為x，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2.

解得x=17m，即旗桿的高度為17m，答案選D.

三、整體思想

例3.（2013年江蘇揚州）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為____________.

分析：設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為a、b（a>b），則依據(jù)題意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子.

解：設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為a、b （a>b），則a-b=2.

五、數(shù)形結(jié)合思想

例5.（2013年湖南張家界）如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動.當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為________.

分析：易知OD=5，要使△ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點D為圓心，OD為半徑作圓.

解：由C（10，0）可知OD=5.

（1）以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊

六、構(gòu)造思想例6.同例3

分析：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖，本例便有如下巧妙解法.endprint

數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法.它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學的真諦，并對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的思維活動起著指導和調(diào)控的作用.日本數(shù)學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數(shù)學，那么作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用.靈活運用數(shù)學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，事半功倍.下面以勾股定理中滲透的數(shù)學思想為例說明.

一、分類思想

例1.（2013年貴州黔西南州）一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為（ ）

點評：本題的易錯點是受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，犯了考慮問題不全面的錯誤.

二、方程思想

例2.（2013年山東濟南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（）

A.12mB.13mC.16mD.17m

分析：觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8m處，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設(shè)旗桿的高度為未知數(shù)，進而運用勾股定理列方程求解.

解：如圖2，設(shè)旗桿的高度為x，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2.

解得x=17m，即旗桿的高度為17m，答案選D.

三、整體思想

例3.（2013年江蘇揚州）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為____________.

分析：設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為a、b（a>b），則依據(jù)題意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面積等于ab，關(guān)鍵要設(shè)法將兩個等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子.

解：設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為a、b （a>b），則a-b=2.

五、數(shù)形結(jié)合思想

例5.（2013年湖南張家界）如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動.當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為________.

分析：易知OD=5，要使△ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點D為圓心，OD為半徑作圓.

解：由C（10，0）可知OD=5.

（1）以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊

六、構(gòu)造思想例6.同例3

分析：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖，本例便有如下巧妙解法.endprint