趙立英，竇立亞

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京，100083)

濾波已經(jīng)成為控制和信號處理過程的關(guān)鍵問題。對于一個給定的帶有測量誤差的系統(tǒng)，濾波用來估計無法測得的狀態(tài)變量[1-2]。濾波系統(tǒng)通過網(wǎng)絡(luò)傳輸信號被稱為基于網(wǎng)絡(luò)的濾波系統(tǒng)?；诰W(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)有很多優(yōu)點，例如成本低，易于安裝維護(hù)，可實現(xiàn)遠(yuǎn)程操作和控制，靈活性高等，受到了廣泛的關(guān)注[3-4]。然而，傳輸網(wǎng)絡(luò)通常是不可靠的，會出現(xiàn)數(shù)據(jù)包丟失和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時滯等現(xiàn)象，這將明顯降低系統(tǒng)的性能，所以，需研究更準(zhǔn)確地建模以及進(jìn)行量化估計[5-8]。近年來，基于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的濾波問題已取得一些研究成果，大部分成果是通過Kalman 濾波方法得到的。Kalman 濾波方法是目前處理狀態(tài)估計問題應(yīng)用最廣泛、有效的方法，但它要求系統(tǒng)模型是精確的，并且外部噪聲的統(tǒng)計信息準(zhǔn)確已知，這些假設(shè)在實際應(yīng)用中不易達(dá)到。H∞濾波不要求精確的外部擾動信息，并能保證一定的噪聲衰減率及對噪聲的魯棒性，對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波問題的研究逐漸出現(xiàn)[9-17]。對帶有時滯、丟包和模型不確定性的連續(xù)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，Yang 等[5]給出了其H∞濾波器設(shè)計過程。Yue 等[10]研究了帶有多重隨機(jī)丟包的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波問題，濾波誤差系統(tǒng)被描述成一個離散的馬爾可夫系統(tǒng)。本文作者研究的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是帶有非線性項的離散非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，由于信號在網(wǎng)絡(luò)中傳輸可能發(fā)生數(shù)據(jù)擁堵現(xiàn)象，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時滯可能是變化的，考慮的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時滯取值于一個有限的集合dk∈{τ1,τ2, …,τq}，每個時滯τi，i=1，2，…，q 的發(fā)生概率已知，也考慮了丟包以及分布時滯對系統(tǒng)的影響[5]，并對濾波誤差系統(tǒng)進(jìn)行建模，構(gòu)造Lyapunov 泛函，設(shè)計出使系統(tǒng)穩(wěn)定的H∞濾波器。

1 問題描述

考慮以下帶有混合隨機(jī)時滯和丟包的離散非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

式中： x( k )∈Rn為狀態(tài)向量， y( k )∈Rr為系統(tǒng)輸出，z( k )∈Rp為要估計的信號； v( k )∈Rs為外部擾動且屬于 L2[0, ∞]；f ( x( k)) =[ f1( x( k)), …, fn( x( k ))]T，g ( x( k)) =[ g1( x( k)), …, gn( x( k ))]T,h( x( k)) =[ h1( x( k )),…, hn( x( k ))]T為非線性函數(shù)； 初始條件為φ( j),-∞≤ j≤ 0。

假設(shè)離散時滯dk取值于一個有限的集合，即dk∈{τ1,τ2, …,τq}，{dk}相互獨立且分布情況相同，發(fā)生概率如下：

注1：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)由網(wǎng)絡(luò)將傳感器、控制器和執(zhí)行器連接組成分散式閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，一般用于實現(xiàn)遠(yuǎn)程操作和控制。遠(yuǎn)距離網(wǎng)絡(luò)傳輸有可能受到外部一些非線性因素的影響，所以，系統(tǒng)(1)中引入了非線性項 f ( x( k))， g ( x( k))和 h( x( k))。系統(tǒng)(1)的測量輸出模型考慮了測量丟失的情況，當(dāng) θ( k) = 0，且實際信號被丟失時，此時系統(tǒng)輸出只包含噪聲，在實際應(yīng)用中目標(biāo)跟蹤就是這種情況。

注2：很多已有研究離散時間時滯系統(tǒng)的文獻(xiàn)都建立在以下假設(shè)下：

假設(shè)(2)與假設(shè)(3)有很大不同，并且具有有一些優(yōu)點。假設(shè)dk在{1，3}中取值，若利用假設(shè)(3)，此時dm=1，dM=3，這就相當(dāng)于假設(shè)dk也可以取值為dk=2，這就造成對系統(tǒng)的實際時滯描述不精確[3]。

常數(shù)μm≥0, m =1, 2,…，滿足以下收斂條件：

式(1)中隨機(jī)變量 α( k)， β( k)， θ( k)是相互獨立的，并符合Bernoulli 分布的序列，滿足以下分布規(guī)則：

由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，在實際測量時會有一些外部噪聲，引入隨機(jī)變量 α( k)， β( k)和 θ( k)用來建立離散時滯、分布時滯以及系統(tǒng)輸出的概率模型。

根據(jù)系統(tǒng)輸出y(k)估計z(k)，本文考慮的濾波器是線性的，形式如下：

系統(tǒng)(1)可以寫成

定義矩陣

則式(7)可以變換為如下形式：

其中：

可以得到濾波誤差系統(tǒng)：

注4：本文考慮的離散時滯取值于一個有限的集合，并對應(yīng)于一定的發(fā)生概率，相比文獻(xiàn)[5]，描述實際系統(tǒng)更精確。對系統(tǒng)變換時出現(xiàn) G ( x(k -dk))，相比于文獻(xiàn)[5]包含更多的信息。

定義1：當(dāng)v(k)=0 時，濾波誤差系統(tǒng)(9)是均方漸近穩(wěn)定的，對于任意初始條件，下式成立：

定義2：給定標(biāo)量γ＞0，濾波誤差系統(tǒng)(9)是均方漸近穩(wěn)定的，滿足H∞性能γ，在零初始條件下，對于一切非零的v( k )∈L2[0, ∞)，它是漸近穩(wěn)定的，并且濾波誤差e(k)滿足

引理1[5]：設(shè)M∈Rn×n是半正定矩陣，xi∈Rn，ai≥0(i=1，2，…)。若相關(guān)序列是收斂的，則以下不等式成立：

為得到主要結(jié)果，對非線性函數(shù)f(·)，g(·)和h(·)進(jìn)行以下假設(shè)。

假設(shè)1：f(·)，g(·)和h(·)向量有界，且

假設(shè)2：非線性向量賦值函數(shù)f，g 和h 是連續(xù)的，且對于 ?x ,y ∈Rn，有

式中：L1，L2，Y1，Y2，V1和V2為常矩陣。

2 H∞濾波性能分析

在這部分，首先分析當(dāng)v(k)=0時系統(tǒng)(9)的穩(wěn)定性。

定理1：對于離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1)，假定式(6)中Af，Bf和Lf是已知的，則當(dāng)v(k)=0 時，濾波誤差系統(tǒng)(9)是均方漸近穩(wěn)定的，如果存在正定矩陣P，Qj和Zj，(j=1，2，…，q)，使得：

證明：構(gòu)造Lyapunov 泛函如下：

當(dāng)v(k)=0 時，沿著系統(tǒng)(9)的解求V(k)的導(dǎo)數(shù)并取其數(shù)學(xué)期望，得到

式(16)可以寫成：

由假設(shè)1 和假設(shè)2 可直接得到

式中：

由式(14)和(22)得

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理，對給定的濾波器參數(shù)，系統(tǒng)(9)是均方漸近穩(wěn)定的。

下面對系統(tǒng)(9)進(jìn)行H∞性能分析。

定理2 給定參數(shù)Af，Bf和Lf，設(shè)γ 是一個正常數(shù)，且當(dāng)v(k)=0時濾波誤差系統(tǒng)(9)是均方漸近穩(wěn)定的，則在零初始條件下，對于任意非零的v( k )∈L2[0, ∞)，濾波誤差e(k)滿足式(11)，如果存在正定矩陣P，Qj，Zj(j=1，2，…，q)，R，使得：

證明 易證明當(dāng)Φ＜0時φ＜0，由定理1 得，當(dāng)v(k)=0 時濾波誤差系統(tǒng)(9)是均方漸近穩(wěn)定的。為研究其在零初始條件下的H∞性能，引入性能指標(biāo)：

構(gòu)造與定理1 相同的Lyapunov 泛函，進(jìn)行類似的處理，可得

則由(24)和(25)可得

3 濾波器設(shè)計

為得到滿足性能條件的濾波器，需要確定濾波器的參數(shù)Af，Bf和Lf，定理3 給出了濾波器的設(shè)計過程。

定理3 對于離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1)，給定常數(shù)γ＞0，如果存在矩陣P＞0，R＞0，Qj＞0，Zj＞0，j=1，2，…，q，X 和Lf，滿足：

其中：

則存在一個濾波器(6)使得濾波誤差系統(tǒng)(9)在v(k)=0 時是均方漸近穩(wěn)定的，且在零初始條件下，對于任意非零的v( k )∈L2[0, ∞)，濾波誤差e(k)滿足式(11)。

若以上條件有可行解，則滿足條件的H∞濾波器的參數(shù)可由X 和Lf得到，

令

則式(23)等價于

應(yīng)用Schur 補(bǔ)定理，得

其中：

4 數(shù)值仿真

設(shè)系統(tǒng)(1)參數(shù)如下：

圖1 當(dāng)v(k)=0 時的估計誤差Fig.1 Estimation error when v(k)=0

令γ=0.9，非線性向量賦值函數(shù)：

易驗證

當(dāng)v(k)=0 時，應(yīng)用定理3，得到H∞濾波器的參數(shù)：

假設(shè)零初始條件下，外部擾動v(k)為

圖2 顯示此時的估計誤差e(k)，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時滯dk在各采樣時刻的取值如圖3 所示，Bernouli 序列α(k)，β(k)和θ(k)如圖4 所示。

圖2 估計誤差Fig.2 Estimation error

圖3 時滯dk 的分布Fig.3 Distribution of the time delay dk

5 結(jié)論

1) 解決了非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞濾波問題，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時滯在一種新的假設(shè)下，能更加準(zhǔn)確、合理地描述時滯。

2) 應(yīng)用Lyapunov 方法和線性矩陣不等式進(jìn)行了H∞濾波性能分析，得到了使得系統(tǒng)均方漸近穩(wěn)定的充分條件，并給出H∞濾波器設(shè)計步驟。數(shù)值仿真算例證明了本文提出算法的有效性。

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