杜曉英

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600）

對(duì)任意的正整數(shù)n和素?cái)?shù)p，k≥2是任給定的整數(shù)如果有pk|/c(n)，則稱c(n)是自然數(shù)n的無次冪因子部分。在文獻(xiàn)[1]的第31個(gè)問題中,羅馬尼亞著名的數(shù)論專家F.Smarandache教授建議大家去研究無k次冪因子數(shù)c(n)的性質(zhì)。關(guān)于這個(gè)問題很多學(xué)者已對(duì)它的多種性質(zhì)進(jìn)行了研究。例如，張?zhí)炱皆谖墨I(xiàn)[2]中運(yùn)用解析方法研究并得到了一個(gè)有趣的漸近公式。在文獻(xiàn)[3]中，朱偉義研究了另一個(gè)關(guān)于無k冪因子數(shù)c(n)的性質(zhì)，在文獻(xiàn)[4]中，劉燕妮和高鵬利用初等方法研究了一個(gè)關(guān)于無k次冪因子數(shù)的數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)，并計(jì)算出了它的均值。

我們建立然后研究探討了有關(guān)無k次冪因子數(shù)c(n)的方程，并得到了下面關(guān)于正素?cái)?shù)解的結(jié)論:

定理令m為完全k次冪因子數(shù)，那么對(duì)任意正整數(shù) k≥2,方程 c(n1)+c(n2)+…+c(nt)=mc(n1+n2+…+nt)有無窮組正素?cái)?shù)解。

利用初等的方法以及相關(guān)的著名的歌德巴赫猜想來完成定理證明。為了引用的方便,我們把著名的陳景潤(rùn)定理以及三素?cái)?shù)定理給予簡(jiǎn)單的介紹:

陳景潤(rùn)定理:任意一個(gè)充分大的偶數(shù)2N都可以表示成2N=p1+p2,或者2N=p1+p2p3，其中 p1,p2及p3為互異的素?cái)?shù)。

三素?cái)?shù)定理:任意一個(gè)充分大的奇數(shù)都可以表示成三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。即2N+1=p1+p2+p3,其中p1，p2及 p3都為奇素?cái)?shù)。

關(guān)于這兩個(gè)著名的數(shù)論定理證明可以參閱文獻(xiàn)[5]。

以此得到三素?cái)?shù)定理的推廣結(jié)論:設(shè)k為大于3的奇數(shù),那么任意充分大的奇數(shù)都能夠表示成k個(gè)奇素?cái)?shù)的和。

利用上面的這幾個(gè)重要的結(jié)論完成定理證明。對(duì)任意完全k次冪因子數(shù)m都能夠容易的找到無k次冪因子數(shù)q,使得c(mq)=q成立,接下來我們分別討論t的幾種情況。

(a)當(dāng)t=2的時(shí)侯,若m是偶數(shù),則mq也是偶數(shù),由陳景潤(rùn)定理可以知道當(dāng)mq充分大的話就有mq=p1+p2或mq=p1+p2p3,其中p1，p2及p3為各不相同的素?cái)?shù)。取 n1=p1, n2=p2,或 是 n1=p1,n2=p2p3。則 有:mc(p1+p2)=mc(mq)=mq=p1+p2=c(p1)+c(p2)，或者mc(p1+p2p3)=mc(mq)=mq=p1+p2p3=c(p1)+c(p2p3)。由于 pi(i=1,2,3)是任取的素?cái)?shù),所以有無窮組(n1,n2)。也就是說待證方程有無窮組正素?cái)?shù)解(n1,n2)。所以,定理的結(jié)論正確。

若m是奇數(shù),而2整除q,那么mq也是偶數(shù)，因此與前面的情況相同。

即使q不能被2整除，2mq也一定為偶數(shù),則通過陳景潤(rùn)定理可以知道當(dāng)2mq充分大的話就有2mq=p1+p2或者是2mq=p1+p2p3,其中 p1,p2,p3是互不相同的素?cái)?shù),2q是無k次冪因子數(shù)。因此滿足mc(p1+p2)=mc(2mq)=2mq=p1+p2=c(p1)+c(p2)或者是mc(p1+p2p3)=mc(2mq)=2mq=p1+p2p3=c(p1)+c(p2p3)。因此待證方程有無窮組正的素?cái)?shù)解。

(b)當(dāng)t=3的時(shí)侯,若m是偶數(shù),則mq也是偶數(shù),因此由陳景潤(rùn)定理知，可以對(duì)充分大的無k次冪因子數(shù)q,有mq=2+p1+p2或者是mq=2+p1+p2p3,這里2,p1,p2,p3是互異的素?cái)?shù)。因而有mc(2+p1+p2)=mc(mq)=mq=2+p1+p2=c()2+c(p1)+c(p2)或者是mc(2+p1+p2)=mc(mq)=mq。如果m是奇數(shù),且2|q,則mq也是偶數(shù)，那么與前面的情況相同。

若2|/q,由三素?cái)?shù)定理可以知道對(duì)于充分大的奇數(shù)q滿足mq=p1+p2+p3,令n1=p1,n2=p2,n3=p3,則mc(n1+n2+n3)=mc(p1+p2+p3)=mc(mq)=mq=p1+p2+p3=c(n1)+c(n2)+c(n3)成立，則待證方程有無窮多組正的素?cái)?shù)解。

(c)當(dāng)t＞3時(shí),我們也將分成兩種情況來分別討論:

(i)若m是偶數(shù),那么mq同樣也是偶數(shù)。當(dāng)t為奇數(shù)時(shí),對(duì)足夠大的q,mq同樣充分大,則由三素?cái)?shù)定理的推廣結(jié)論設(shè)mq=2+p1+p2+…+pt-1,則mc(2+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=2+p1+p2+…+pt-1=c(2)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。

當(dāng)t是偶數(shù)的時(shí)候,同時(shí)mq也充分大，則可由三素?cái)?shù)定理的推廣結(jié)論得出mq=3+p1+p2+…+pt-1,因此就有mq(3+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=3+p1+p2+…+pt-1=c(3)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。即此時(shí)的待證方程仍然有無窮多組正的素?cái)?shù)解(n1,n2,…,nt)。

(ii)當(dāng)m是奇數(shù)時(shí),而q是偶數(shù),那么mq同樣是偶數(shù),跟上面的情況一致。

如果q為奇數(shù),則根據(jù)三素?cái)?shù)定理的推廣結(jié)論容易得到當(dāng)t為大于等于3的奇數(shù)時(shí),mq=p1+p2+…+pt。因 此就有 mc(p1+p2+…+pt)=mc(mq)=mq=p1+p2+…+pt=c(p1)+c(p2)+…+c(pt)。這時(shí)可令n1=p1,n2=p2,…,nk=pt,由素?cái)?shù) p的任意性就可以得到定理。

若t是偶數(shù),那么當(dāng)mq充分大的時(shí)侯由三素?cái)?shù)定理的推廣結(jié)論可以得到mq=2+p1+p2+…+pt-1。那么就有mc(2+p1+p2+…+pt-1)=mc(mq)=mq=2+p1+p2+…+pt-1=c(2)+c(p1)+c(p2)+…+c(pt-1)。可以令n1=2,n2=p1,…nt=pt-1立刻就得出定理的結(jié)論。即此時(shí)方程同樣有無窮組正的素?cái)?shù)解(n1,n2,…,nt)。

結(jié)合以上的各種不同情況就完成了該定理的證明。

[1]F Smarandache.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago：XiquanPublishing House,1993.

[2]Zhang Tianping.On thek-Power Number Free Number Sequence[J].Smarandache Notion Journal,2004（14）:62-65.

[3]Zhu Weiyi.On thek-Power Complement and Onk-Power free Number Sequence[J].Smarandache Notion Journal,2004（14）:66-69.

[4]Liu Tanni and Gao Peng.Mean value of a new arithmeticfunction[J].Scientia Magna,2005（1）:187-189.

[5]潘承洞，潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科學(xué)出版社.1979.