陳為，海同，尹蓓蓓

（武漢理工大學，湖北武漢430070）

·經(jīng)濟學研究·

基于卡爾多模型的人口與經(jīng)濟增長的理論分析

陳為，海同，尹蓓蓓

（武漢理工大學，湖北武漢430070）

對于人口增長與經(jīng)濟發(fā)展之間的關系，研究者們通過研究提出了多種不同的理論?；诳柖嘟?jīng)濟增長模型的基本原理，在人口條件一定的情況下，經(jīng)濟均衡增長率與資本均衡增長率相等，且只與儲蓄函數(shù)、投資函數(shù)和技術進步函數(shù)的系數(shù)有關；對于人口過剩的國家來說，人口增加會引起經(jīng)濟產(chǎn)能下降阻礙經(jīng)濟發(fā)展，而對于人口較少的國家來說，在其人口沒達到極限之前，經(jīng)濟均衡增長會與人口增長同時進行，而且產(chǎn)量均衡增長率快于人口增長率，從而有利于經(jīng)濟發(fā)展。

卡爾多模型；人口增長；經(jīng)濟增長

DOl：10.3969/j.issn.1671-7155.2014.04.013

一、引言及文獻綜述

對于人口增加與經(jīng)濟增長之間的關系，經(jīng)濟學家和人口學家們經(jīng)過研究提出了多種不同的理論。研究發(fā)現(xiàn)，人口增長對經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生影響是一致肯定的，即經(jīng)濟發(fā)展與人口增加存在相關關系，但是它們之間的相關關系是怎樣的卻眾說紛紜。

西蒙（JulianLincolnSimon）根據(jù)柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)分析了人口增長與經(jīng)濟發(fā)展的關系。他認為，由于發(fā)達國家人口增長會導致知識和規(guī)模經(jīng)濟的增長，從而帶動人均收入和人均儲蓄提高，即促進經(jīng)濟增長。他指出知識的增長引起勞動力人口質量的提高，從而對勞動生產(chǎn)率的提高起到關鍵作用，進而帶來經(jīng)濟增長。西蒙還從人口增加會刺激技術進步的角度分析人口增長對經(jīng)濟增長的影響。經(jīng)過研究分析指出，在發(fā)展中國家和發(fā)達國家存在不同的人口增長與經(jīng)濟發(fā)展的關系。在發(fā)展中國家，人口增加導致農(nóng)業(yè)生產(chǎn)變化，即人口增加會刺激農(nóng)業(yè)經(jīng)濟發(fā)展，長遠來說，人口增加會對政府基礎設施的投資、市場的形成和生產(chǎn)技術發(fā)明的速率產(chǎn)生重要影響。而在發(fā)達國家，因為經(jīng)濟增長對勞動力的需求在上升，但是人口增長卻愈趨停止，故適度的人口增長對發(fā)達國家的經(jīng)濟發(fā)展是有利的①參見Julian Lincoln Simon《人口增長經(jīng)濟學》，北京大學出版社1984年版第725頁；張愛婷《西方經(jīng)濟學的主要人口理論評述》，《生產(chǎn)力研究》2006年第2期。。

塔依其曼（Ulrich Teichmann）也研究了人口增長對經(jīng)濟發(fā)展的影響。他指出，隨著人口增長，經(jīng)濟增長會產(chǎn)生兩個過程：經(jīng)濟進步型和經(jīng)濟退步型。經(jīng)濟進步型是指伴隨著人口增加，帶動資本增加，促進生產(chǎn)率的提高，引起進一步的工業(yè)化，結果促進社會福利提高、就業(yè)水平上升、失業(yè)人數(shù)減少、物價降低和利率下降的一個循環(huán)過程。經(jīng)濟退步型是指伴隨著人口增加，消費增大，從而阻礙資本的形成，造成生產(chǎn)率的下降、物價上升、工資福利下降、利率提高的循環(huán)過程?？傊?，塔依其曼認為人口增長會對經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生積極影響，也會產(chǎn)生消極影響[1]。

根據(jù)馬爾薩斯人口經(jīng)濟理論，西方經(jīng)濟學家提出了人口陷阱理論（the theory of population）。這個理論將人口增長和經(jīng)濟發(fā)展聯(lián)系起來，很好地回答了發(fā)展中國家人均收入停滯的問題。該理論指出，人口增長

和國民收入存在相互依存的關系。經(jīng)濟的發(fā)展促使國民收入增加，從而生活條件隨之改善，帶動人口增長率的提升，人口迅速增加；但是人口增長有一個限度，超過這個限度的人口增長會導致人均收入下降，這種情況在發(fā)達國家的發(fā)展過程中得到體現(xiàn)。

總之，大量的研究都指出人口增長與經(jīng)濟發(fā)展存在相互依存關系。同時，人口增長對經(jīng)濟發(fā)展的影響程度比其他因素要深。故此，人口經(jīng)濟學家不再將人口增長與經(jīng)濟發(fā)展之間的關系當作是簡單的積極影響或者消極影響，而認為它們之間的關系是復雜多變的，不同的情況產(chǎn)生不同的影響，并且經(jīng)濟發(fā)展隨著人口變化的不同而出現(xiàn)不同的效應[2]。

二、模型的選擇及假設條件

為了厘清人口增長與經(jīng)濟發(fā)展之間的復雜關系，本文利用新劍橋學派的代表人物之一尼古拉斯·卡爾多（Nicholas Kaldor）所提出的經(jīng)濟增長模型?？柖嘟?jīng)濟增長模型采納了哈羅德的動態(tài)分析方法和凱恩斯的理論精神，將技術進步的產(chǎn)生與資本的積累聯(lián)系起來，總結了前人提出的決定經(jīng)濟增長的因素；同時，該模型考慮了人口因素對經(jīng)濟增長的影響，從而使該增長模型不僅適用于人口過剩國家，也適用于人口較少國家，這是哈羅德和凱恩斯的模型中從未涉及到的。

卡爾多經(jīng)濟增長模型具有以下假設條件：

（1）卡爾多將國民收入Yt分為利潤Pt和工資Wt兩部分，亦即社會成員被分為利潤收入者和工資收入者兩個階級。

（2）儲蓄由利潤儲蓄和工資儲蓄兩部分組成。

（3）儲蓄都占有各自收入的一個固定比例，國民收入Yt中利潤Pt可以寫成投資的函數(shù)。

（4）模型中全部變量，均以不變價格的形式出現(xiàn)，用某一時期同類產(chǎn)品的平均價格作為固定價格來計算各個時期的產(chǎn)品價值。

（5）利潤Pt和工資Wt比例的變動對企業(yè)采用的技術沒有影響。

（6）技術決策隨著資本積累程度和行業(yè)技術創(chuàng)新的程度而變化。

三、人口增長與經(jīng)濟發(fā)展的相關分析

基于以上假設條件，本文分兩個階段來討論，首先是分析人口不變時的經(jīng)濟增長模型，然后在前者的基礎上討論人口變動情況下的經(jīng)濟增長模型[3]。

1.人口不變時的卡爾多經(jīng)濟增長模型

人口不變時，也就是說人口增長率為零的情況下，卡爾多的經(jīng)濟增長模型是聯(lián)立三個函數(shù)構建的。這三個函數(shù)分別是儲蓄函數(shù)、投資函數(shù)和技術進步函數(shù)，下面分別用數(shù)學方程式來表達。

卡爾多假定的儲蓄函數(shù)有：

其中2＞0且0＜2＜1。

對于以上這三個函數(shù)需要說明幾點：

首先，卡爾多將國民收入Yt分為利潤Pt和工資Wt兩部分，亦即社會成員被分為利潤收入者和工資收入者兩個階級，其儲蓄都占有各自收入的一個固定比例，資本收入的儲蓄率為sP，勞動收入的儲蓄率為sW，并且資本收入的儲蓄傾向大于勞動收入的儲蓄傾向，有時還像古典經(jīng)濟學家那樣把勞動收入者的儲蓄傾向假定為0。那是因為資本收入者有著更高的收入水平，儲蓄率自然就高，而以工資作為收入的勞動者收入一般較低，所以只有很低的儲蓄率，甚至有時沒有多余的收入用來儲蓄。

然后，t期的投資It是t+1期資本存量Kt+1減去t期資本存量Kt的差，而t期資本存量跟前一期的產(chǎn)量Yt1（或收入）和資本利潤率Pt1/Kt1有關。資本存量是產(chǎn)量的增函數(shù)，也是資本利潤率的增函數(shù)。

最后，卡爾多假定的技術進步函數(shù)其實就是產(chǎn)量增長率（Yt+1Yt）/Yt與資本增長率（Kt+1Kt）/Kt的函數(shù)關系，而根據(jù)投資與資本存量的關系可知（Kt+1Kt）/Kt也就是凈投資率It/Kt，故產(chǎn)量增長率是凈投資率的一次線性函數(shù)，而且是增函數(shù)。

通過以上幾個函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)卡爾多的經(jīng)濟增長模型最大的特點是，勞動、資本變動與技術革新誘發(fā)的技術與生產(chǎn)率的變化沒有區(qū)別，也就是說，僅僅是由于個人所得造成的資本儲蓄的增加引起了技術進步。該特點表現(xiàn)如圖1所示。在圖1中橫軸dkt/kt·dt（kt=Kt/Lt表示t時點的人均資本量，Lt為t時點的勞動力數(shù)量）代表人均資本增長率的變化，縱軸dyt/yt·dt（其中yt=Yt/Lt表示t時點的人均產(chǎn)量）代表人均產(chǎn)量增長率的變化，TT'曲線表示人均產(chǎn)量增長率隨著人均資本增長率的增加而增加，但是增加到P點的時候就會停止，也就是說人均產(chǎn)量是有極限的，不管是當人均產(chǎn)量增長率大于人均資本增長率還是相反，在長期均衡中，人均產(chǎn)量增長率必然會等于人均資本增長率，即P點是一個長期均衡點。

為了使經(jīng)濟達到長期的穩(wěn)定均衡，卡爾多進而作出如下假定：

前文已述，在卡爾多的模型中，國民收入Yt由利潤收入Pt和工資收入Wt構成，所以第一個假定是說利潤收入Pt不能超過總收入Yt減去工資收入Wt的余額。第二個假定中，m指的是最低邊際利潤，該假定表明利潤產(chǎn)出比（或利潤率）Pt/Yt應該不得低于最低邊際利潤，這樣就可以刺激企業(yè)家進一步投資。

下面基于上述假定來分析經(jīng)濟增長的長期均衡問題。根據(jù)技術進步函數(shù)得到如圖2的坐標圖

圖2中，橫軸和縱軸分別表示資本增長率和產(chǎn)量增長率，直線TT'正是技術進步函數(shù)的圖形。圖中G點是技術進步函數(shù)直線TT'與坐標系中45°線的交點，顯然該點是長期穩(wěn)定增長點。假定初期經(jīng)濟增長點處在G1點處，由圖知此時產(chǎn)量增長率高于資本增長率，產(chǎn)出的增長快于資本的增長，從而促進投資率即資本增長率的提高，于是經(jīng)濟增長將沿著TT'直線右移最終穩(wěn)定在G點；同理如果經(jīng)濟初期處在點G2處，即產(chǎn)量增長率低于資本增長率時，投資率將下降，經(jīng)濟增長將沿著TT'線左移回落到均衡點G處。因此，在G處經(jīng)濟增長將達到長期穩(wěn)定。

在G處，有

將其代入技術進步函數(shù)中，得到

令=2/12，于是有，在一定的人口規(guī)模下，資本均衡增長率與產(chǎn)量均衡增長率相等都是。簡化起見，用分別表示產(chǎn)量均衡增長率和資本均衡增長率，從而有下列式子：

根據(jù)投資與資本存量的關系可得到I=K+K，進而得到

根據(jù)儲蓄函數(shù)S=sPP+sW（Y P），對其兩邊同除以Y得到

又因為經(jīng)濟在長期均衡時投資必然等于儲蓄，有S=I

將其代入前一個式子中可得到

對該式兩邊同乘以Y/K可得到

素無關。

2.人口變化時的卡爾多經(jīng)濟增長模型

以上的模型中都以人口增長率為零作為假定條件的，現(xiàn)在在上述模型的基礎上引入人口因素，卡爾多假定人口增長與產(chǎn)量增長之間的變化關系如圖3。

上圖中橫軸為產(chǎn)量增長率gt=dYt/Yt·dt，縱軸為勞動人口增長率lt=dLt/Lt·dt是人口增長率的極限值?？柖嗉俣ㄈ丝谠鲩L率在達到極限之前，產(chǎn)量增長率同人口增長率一樣只會緩慢地增長；然而當人口增長率達到最大時，產(chǎn)量增長率將以快于人口增長率的極限值快速增長。顯然圖3中OPE就是產(chǎn)量增長率的路徑圖，OPE是人口增長曲線?？梢姡a(chǎn)量增長率在未達到之前時，人口增長率是與產(chǎn)量增長率相等的，當產(chǎn)量增長率超過之后，人口與產(chǎn)量的增長率開始不一樣，并且產(chǎn)量增長率仍然上升，而人口增長率保持不變?，F(xiàn)將上述人口增長率與產(chǎn)量增長率的關系用函數(shù)形式寫出如下：

現(xiàn)在具體分析引入人口因素后經(jīng)濟各指標參數(shù)的均衡值是如何變化的。假設人口增長率為，即有產(chǎn)量增長率gt＞。于是將前文的技術進步函數(shù)中的（Kt+1Kt）/Kt換成（Kt+1Kt）/Kt，同理（Yt+1Yt）/Yt換成（Yt+1Yt）/Yt。于是技術進步函數(shù)就變成

投資產(chǎn)量比的均衡值為

利潤產(chǎn)量比的均衡值為

投資利潤比的均衡值為

進而，假定人口增長率lt＜（或gt＜），此時產(chǎn)量的增長率與勞動人口的增長率在接近值之前將持續(xù)增長。在長期均衡的情況下，勞動人口的最大值必定增長。前文已假定技術進步函數(shù)中的系數(shù)2和2從而不受人口變動的影響，所以如果勞動人口與資本按相同比例分配，就可存在一定的收益。換句話說，給定人均資本量，人口增加對人均產(chǎn)出不產(chǎn)生影響。上述假定，對于人口較少的國家而言是適用的，但是對于人口過剩的國家而言，由于土地稀缺性而引起的收益遞減，在一定的人均技術水平和資本的條件下，人口的增加會引起產(chǎn)出的下降。如果將人口流入計算在內(nèi)，技術進步曲線以來人口增長率的程度將有所下降，表現(xiàn)在圖中就是圖1中的TT'曲線向下移動成為如圖4所示。

在圖4這種情況下，維持均衡增長變得極不確定，因為圖中TT'曲線與45°線有兩個交點P'和P，而P'點不是穩(wěn)定的均衡點，為了使人均產(chǎn)量維持不變，必須有一定的人均資本增長率，如果經(jīng)濟中產(chǎn)量和資本增長率持續(xù)下降，經(jīng)濟就可能處在P'點左邊，甚至人均產(chǎn)量和人均資本可能會降為零而停止增長。在這種情形下，圖中TT'曲線可能會移到虛線處，而此時經(jīng)濟就不會有任何長期均衡。

為了使人口與產(chǎn)量的長期均衡增長同時進行，必須使人口增長率即達到最大，與可提高生產(chǎn)率的技術進步保持一定的比例，也就是說，為了保持一定的人均資本量，必須依賴技術進步函數(shù)中的2的值。

上述分析并非從人口增加的外部獨立因素考察，

而是從各因素相互影響的角度進行的分析，其實就是勞動人口L增長時的增長模型。但是該模型中L的增長并沒有起到重要的作用，它只是增長模型G=+（G是產(chǎn)量和資本的均衡增長率）的一部分而已。將作為變量引入后的模型變得比較復雜，但是也沒有改變增長理論的本質。因此，人口不是作為一個獨立變量而是作為一個內(nèi)生變量考慮時，推導出來的是比較現(xiàn)實的經(jīng)濟發(fā)展理論。如Niehans，Kosobud等學者的將人口及勞動作為內(nèi)生變量考慮的增長模型。實際上，卡爾多模型中的一般意義上的生產(chǎn)函數(shù)和產(chǎn)量的上限都不存在，在他的模型中，利潤P是被組合進來的變量，決定持續(xù)均衡增長的路徑與資本、產(chǎn)量的路徑一樣。因此，該模型的穩(wěn)定性在某種程度上依存于卡爾多假定的儲蓄函數(shù)、投資函數(shù)以及技術進步函數(shù)的有效性[8]。

四、結論及政策建議

1.結論

通過前文對卡爾多模型的分析，本文認為人口增長對經(jīng)濟發(fā)展有以下兩種可能的影響：

第一，形成規(guī)模經(jīng)濟，促進勞動分工和技術進步。卡爾多模型指出，推動經(jīng)濟增長的主體是生產(chǎn)者，當生產(chǎn)者加大投資力度、引進先進技術時，經(jīng)濟增長率也會隨之提升。當經(jīng)濟發(fā)展到一定程度、勞動人口沒有相應增加時，繼續(xù)加大資本投入將造成機器的閑置，經(jīng)濟發(fā)展會遭遇瓶頸。此時人口增長，將帶來大量青壯勞動力，能有效利用庫存資本和先進技術，企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模相應擴張，形成規(guī)模經(jīng)濟，經(jīng)濟將因為人口增長二次起飛。

第二，帶來巨大的人口壓力，阻礙經(jīng)濟增長。當人口的增長速度明顯快于資本投入速度以及技術吸收速度時，邊際報酬遞減規(guī)律開始顯現(xiàn)。勞動這一生產(chǎn)要素的增加不但無法促進邊際產(chǎn)量增加，反而使得邊際產(chǎn)量減少，甚至減少為負值，即投入一個生產(chǎn)要素，反而使得產(chǎn)量減少?，F(xiàn)實中，在工廠的生產(chǎn)線上，勞動生產(chǎn)力的不斷增加會使生產(chǎn)的組織和管理不斷惡化，使產(chǎn)量下降，阻礙經(jīng)濟增長。

歷史上，在發(fā)達國家的工業(yè)化時期，人口增長對其經(jīng)濟增長起著一定的主導作用，并且經(jīng)濟增長率高于人口增長率；然而，在多數(shù)的發(fā)展中國家，由于工業(yè)發(fā)展滯后，就業(yè)機會受到嚴重限制，新增人口無法獲得充分的就業(yè)從而造成大量的失業(yè)人口，龐大的人口抑制了經(jīng)濟增長的速度，使得人均資本低下，進而阻礙技術進步，影響生產(chǎn)力的發(fā)展。同時，人口的快速增加給經(jīng)濟發(fā)展帶來巨大的人口壓力，破壞了經(jīng)濟增長所需要的良好的經(jīng)濟環(huán)境，從而促進經(jīng)濟增長所必需的經(jīng)濟改革就難以實現(xiàn)。

2.政策建議

第一，合理放松計劃生育政策，加強人口素質。1978年計劃生育政策作為一項基本國策被提出，有效的控制了我國人口總量，為仍是發(fā)展中國家的中國創(chuàng)造了良好的發(fā)展環(huán)境。政策出臺30多年來，也出現(xiàn)了一些問題：城市人口控制過于嚴格，農(nóng)村人口相對寬松，形成越是發(fā)達地區(qū)生育率越低、越是貧困地區(qū)生育率越高的局面。這種局面的出現(xiàn)，導致我國人口素質偏低，我國應及時出臺相應政策，鼓勵發(fā)達地區(qū)和高素質人群多生孩子，提高人口整體素質。人口素質的提高將加快技術吸收速度，促進經(jīng)濟增長。

第二，調(diào)整產(chǎn)業(yè)結構，加快城市化進程?？柖嗄Ｐ椭腥丝谠鲩L促進經(jīng)濟發(fā)展是建立在資本充分投入，二、三產(chǎn)業(yè)高度發(fā)達的基礎上。我國第一產(chǎn)業(yè)人口比重過大，第二產(chǎn)業(yè)有所增長，第三產(chǎn)業(yè)還處于落后階段。如果能將農(nóng)業(yè)人口適度轉向二、三產(chǎn)業(yè)，充分利用閑置的技術裝備，將形成規(guī)模經(jīng)濟，促進勞動分工和技術進步。在農(nóng)業(yè)人口轉向二、三產(chǎn)業(yè)的同時，將伴隨著農(nóng)村人口不斷涌向城市，我國應該推薦城市化建設，為農(nóng)民進城創(chuàng)造條件。

第三，人口與經(jīng)濟協(xié)調(diào)發(fā)展?；诳柖嗄Ｐ偷南嚓P分析，我們發(fā)現(xiàn)將人口規(guī)?？刂圃谂c資本和技術水平相適應的區(qū)間，能夠促進經(jīng)濟發(fā)展；背離了這一區(qū)間，將阻礙經(jīng)濟發(fā)展。始終保持人口與經(jīng)濟協(xié)調(diào)發(fā)展將是維持經(jīng)濟均衡、長期增長的重要手段。

[1]Ulrich Teichmann.Aggregate Population and Economic Growth Correlations：The Role of the Components of Demographic Change[J].Demography，1995，（32）.

[2]郎永清.人口效應及其對中國經(jīng)濟增長的影響[J].人口與經(jīng)濟，2007，（4）.

[3]郭慶旺.卡爾多經(jīng)濟增長模型述評[J].財經(jīng)問題研究，1990，（2）.

[4]嚴成樑、王弟海.統(tǒng)一增長理論研究述評[J].經(jīng)濟學動態(tài)，2012，（1）.

（責任編輯 周吟吟）

陳為（1961—），男，湖北應城人，武漢理工大學經(jīng)濟學院教授，湖北省人民政府咨詢委員會委員，主要研究理論經(jīng)濟學和區(qū)域經(jīng)濟學；海同（1990—），男，山東菏澤人，武漢理工大學經(jīng)濟學院區(qū)域經(jīng)濟學碩士研究生；尹蓓蓓（1988—），女，河北邢臺人，武漢理工大學經(jīng)濟學院區(qū)域經(jīng)濟學碩士研究生。

F126

A

1671-7155(2014)04-0059-05

2014-06-02