胡春艷

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用（包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用）等階段。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，一些教師往往不注重概念的形成過(guò)程，只重視概念的運(yùn)用，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，這會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙學(xué)生能力的增強(qiáng)。造成這種現(xiàn)象的原因，一方面是由于教師的教學(xué)觀念比較陳舊，在教學(xué)中不重視學(xué)生的思維活動(dòng)，不能使學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程成為一個(gè)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程。另一方面是許多教師不知如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情境，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探索活動(dòng)。

一

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程呢？

1.回顧已有的相似概念，類比發(fā)現(xiàn)新的概念。

中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過(guò)的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。

例如在異面直線的距離的教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧過(guò)去學(xué)過(guò)的有關(guān)距離的概念（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離），并概括它們的共同點(diǎn)：各種距離概念都?xì)w結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生研究已有“距離”概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，讓學(xué)生覺(jué)得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到突然。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值類比、二次方程與一次方程的類比等。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過(guò)與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無(wú)限的類比，還有方法類比、結(jié)構(gòu)類比、形式類比等），可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類比設(shè)想，直到得出正確的結(jié)果。

2.與已有的相關(guān)概念進(jìn)行比較，歸納總結(jié)出新的數(shù)學(xué)概念。

有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。例如復(fù)數(shù)概念的引入，可以先回顧已經(jīng)歷過(guò)的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)：

正整數(shù)→自然數(shù)→非負(fù)有理數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)，然后教師提出問(wèn)題：上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？

實(shí)際問(wèn)題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程體現(xiàn)了如下規(guī)律：①每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素；②在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立；③擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問(wèn)題。

有了上述準(zhǔn)備后，教師提出問(wèn)題：負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方的事實(shí)說(shuō)明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？從而水到渠成地完成復(fù)數(shù)的概念的引入。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示相關(guān)概念的擴(kuò)充發(fā)展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。

3.聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生合理猜想得到新的數(shù)學(xué)概念。

許多數(shù)學(xué)概念間存在一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)創(chuàng)設(shè)成問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。

4.聯(lián)系生活，抽象與概括出新的數(shù)學(xué)概念。

有些數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí)生活，是從生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，對(duì)于這些概念的教學(xué)要通過(guò)一些感性材料，創(chuàng)設(shè)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。

例如在數(shù)軸概念的教學(xué)中可以創(chuàng)設(shè)下面的問(wèn)題情境：從小李家向東走20米是書(shū)店，向西走30米是學(xué)校。若規(guī)定向西走為正，向東走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書(shū)店應(yīng)記作什么？走到學(xué)校記作什么？接著要求學(xué)生將上述問(wèn)題用簡(jiǎn)單形象的圖示方法描述它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性：（1）可以用圖線表示事物的數(shù)量特征（可用同一直線上的線段來(lái)刻畫(huà)）（2）度量的起點(diǎn)（小李家）；（3）度量的單位（一個(gè)單位表示十米）；（4）有表示相反意義的方向（向西為正，向東為負(fù)）。

這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，對(duì)于“表示相反意義的方向”用箭頭“→”表示正方向，從而引進(jìn)“數(shù)軸”的概念。這樣做符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下深刻的印象，同時(shí)也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生思維能力和素質(zhì)的提高。

這類數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一定要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象，從特殊到一般。通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際例子，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一些問(wèn)題，讓學(xué)生從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，最后通過(guò)概括得出新的數(shù)學(xué)概念。

二

選擇適當(dāng)?shù)姆椒▌?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)自己構(gòu)建新的知識(shí)體系，在教學(xué)過(guò)程中我們有什么要注意的地方呢？

1.注意問(wèn)題的呈示方式。

有了合適的問(wèn)題情景，還必須注意問(wèn)題的呈示方式。我們認(rèn)為：?jiǎn)栴}的呈現(xiàn)要以學(xué)生主體的充分發(fā)揮為前提，重視知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和探索過(guò)程，重視學(xué)生的內(nèi)心體驗(yàn)。通過(guò)問(wèn)題的呈現(xiàn)，學(xué)生充分地展開(kāi)思維活動(dòng)（包括動(dòng)手、動(dòng)腦），教師應(yīng)留給學(xué)生一定的思考時(shí)間和空間，不要急于將答案告訴學(xué)生，應(yīng)把發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的機(jī)會(huì)提供給學(xué)生，讓學(xué)生的思維得到充分暴露。教師根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的一些問(wèn)題，有針對(duì)性地組織討論、辨析，并在關(guān)鍵處予以點(diǎn)撥，真正使學(xué)生體驗(yàn)到新的數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程。

2.教學(xué)形式要多樣化。

課堂教學(xué)從本質(zhì)上說(shuō)是一種“溝通”與“合作”的活動(dòng)，是教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相互作用以實(shí)現(xiàn)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的過(guò)程，要使這個(gè)過(guò)程順利進(jìn)行，必須充分調(diào)動(dòng)師生雙方的積極性和主動(dòng)性。為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，教學(xué)形式應(yīng)盡可能地多樣化。教學(xué)不能只是教師的講授，還應(yīng)包括學(xué)生的獨(dú)立自主探究，集體研究，小組討論或先學(xué)生獨(dú)立研究再相互交流，或帶著問(wèn)題自學(xué)等多種方式。這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。至于如何確定教學(xué)形式，這就要考慮所研究問(wèn)題的難易程度及學(xué)生的知識(shí)和思維水平。一般來(lái)說(shuō)，要盡可能地讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，只要學(xué)生有能力通過(guò)活動(dòng)解決的問(wèn)題，就應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立完成。對(duì)有一定難度的問(wèn)題，可先讓學(xué)生獨(dú)立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關(guān)鍵處作適當(dāng)點(diǎn)撥），最后師生一起探索得出結(jié)論。

3.滲透數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此教師應(yīng)注意將在解決問(wèn)題的過(guò)程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法顯化，對(duì)解決問(wèn)題的思維策略進(jìn)行提煉，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，提高自我探索、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的能力。要讓學(xué)生通過(guò)不斷實(shí)驗(yàn)、觀察，進(jìn)而得到發(fā)現(xiàn)的“科研”方法并逐步掌握。學(xué)生掌握這些方法將受益終身。

在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立提出問(wèn)題、獨(dú)立分析、解決問(wèn)題，還要鼓勵(lì)學(xué)生之間互相研討問(wèn)題，大膽向教師提問(wèn)題或提出創(chuàng)見(jiàn)性的觀點(diǎn)，努力營(yíng)造師生之間平等共同研討、分析解決問(wèn)題的民主氣氛，建立師生間和諧良好的人際關(guān)系，使課堂教學(xué)充滿活力。