江本赤

(安徽國(guó)防科技職業(yè)學(xué)院，安徽 六安 237011)

B樣條是于1946年首次由Schoenberg提出的[1]。B樣條曲線具有局部控制能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，可在不改變曲線階數(shù)的情況下增加控制點(diǎn)[2]。在CAD/CAM中，B樣條常用來(lái)表達(dá)幾何形狀。在工程力學(xué)中，B樣條還用作機(jī)件的應(yīng)力和位移分析[3-4]。而在分析B樣條曲線形狀時(shí)，通常需要求出其曲率[5-6]。不同于簡(jiǎn)單曲線的曲率計(jì)算，B樣條曲線的曲率求解則復(fù)雜得多，目前常見(jiàn)的方法是先求出其導(dǎo)曲線，而對(duì)B樣條的求導(dǎo)非常復(fù)雜，極容易出錯(cuò)。

鑒于上述情況，本文提出一種簡(jiǎn)易的曲率計(jì)算方法。具體做法是先對(duì)原B樣條曲線進(jìn)行相對(duì)簡(jiǎn)單的降階處理，然后直接利用曲率計(jì)算公式即可。該算法可避免對(duì)B樣條曲線的求導(dǎo)運(yùn)算，對(duì)于減低運(yùn)算量具有積極意義。

1 B樣條曲線定義

一條p次B樣條曲線定義為

(1)

式中：Pi是控制頂點(diǎn)，Ni,p(u)是p次基函數(shù)，它定義在節(jié)點(diǎn)矢量U上，并在區(qū)間[ui,ui+p+1)上非零，其數(shù)值按照式(2)和(3)求取。

(2)

(3)

節(jié)點(diǎn)矢量U中a和b的重復(fù)度都為p+1，除非特別聲明，通常取a=0，b=1。

2 曲率求解算法

根據(jù)文獻(xiàn)[3]中的表述，對(duì)p次B樣條曲線的定義公式進(jìn)行形式化求導(dǎo)，可得一階導(dǎo)曲線，其公式為：

(4)

現(xiàn)將式(1)記為C1(u)，并改寫(xiě)成：

(5)

可見(jiàn)式(5)的形式與B樣條曲線的定義公式完全一致?？梢灾苯訉1(u)看作降階處理后的(p-1)次B樣條曲線，其對(duì)應(yīng)的曲線參數(shù)分別為控制頂點(diǎn)Qi、節(jié)點(diǎn)矢量U1。其中，控制頂點(diǎn)Qi的坐標(biāo)值可以對(duì)照式(4)和(5)求出，即Qi=p(Pi+1-Pi)/(ui+p+1-ui+1)；節(jié)點(diǎn)矢量U1可以通過(guò)去掉原節(jié)點(diǎn)矢量U中的第一個(gè)和最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)得到(即將端點(diǎn)的重復(fù)度降低1次)。如此就完成了對(duì)原B樣條曲線的一次降階處理。若需二階導(dǎo)數(shù)，則亦無(wú)需對(duì)原公式進(jìn)行復(fù)雜的二次求導(dǎo)，只需在此基礎(chǔ)上進(jìn)行第二次降階處理，即以C1(u)為原函數(shù)，再次利用式(5)即可得到曲線C2(u)。

參數(shù)ui處所對(duì)應(yīng)的曲率值為Ki，其數(shù)值按照式(6)求取。

(6)

對(duì)于二維平面曲線，C1(u)和C2(u)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)分別為(x′,y′)和(x″,y″)，將所得的坐標(biāo)值代入式(7)即可。

(7)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證上述算法，下面分別以一條二次和一條三次B樣條曲線為例，求解其曲率分布曲線。先來(lái)考察二次曲線，其參數(shù)為U=[0,0,0,0.025,0.1, 0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 0.9, 0.975, 1, 1, 1]；P=[0,1；0,0；6,0；4,2；1,11；5,16；11,16；15,11；12,2；10,0；16,0；16,1]；p=2。它描述的是一個(gè)“Ω”形曲線，如圖1所示。利用上述算法求出的曲率分布見(jiàn)圖2。

再來(lái)考察三次曲線，其參數(shù)為U=[0,0,0,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8, 0.9, 1, 1, 1, 1]；控制頂點(diǎn)坐標(biāo)值為P=[0,1；1,3；2,5；3,4.2；4,3.4；5,2.5；6,2；7,3；8,5；9,6；10,4；12,1]；p=3。它描述的是一個(gè)“M”形曲線，如圖3所示。利用上述算法求出的曲率分布見(jiàn)圖4。

由上面兩個(gè)舉例可以看出，所求出的曲率分布曲線符合實(shí)際情況，驗(yàn)證了所提算法的正確性和可行性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文從B樣條定義公式出發(fā)，在分析其求導(dǎo)公式形式的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了低次B樣條曲線的參數(shù)簡(jiǎn)易求法，完成了對(duì)原B樣條曲線的降階處理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了相對(duì)的曲率求解算法。該算法避免了對(duì)B樣條曲線進(jìn)行復(fù)雜的多次求導(dǎo)運(yùn)算，具有一定的工程意義。

[1]Schoenberg I J.Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions[J].Quart, Appl.Maths 4, 1946, 4(45-99):112-114.

[2]康蘭,趙文.基于散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的B樣條曲線反求方法[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2009,(9):221-223.

[3]施法中.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M].北京:高等教育出版社,2011.

[4]郭風(fēng)華,楊興強(qiáng).調(diào)整節(jié)點(diǎn)矢量對(duì)B樣條曲線的影響[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué), 2005, 27(11): 109-111.

[5]Jena M K, Shunmugaraj P,Das P C.A subdivision algorithm for trigonometric spline curves[J].Computer Aided Geometric Design, 2002(19):71-88.

[6]秦開(kāi)懷,孫家廣,范剛.三次NURBS曲線的插值方法[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，1993，5(3):179-183.