劉興玲

北師大版八年級數(shù)學(xué)（上）第五章“位置的確定”、第六章“一次函數(shù)”主要學(xué)習(xí)了一些函數(shù)的基礎(chǔ)知識和簡單函數(shù)，如函數(shù)及其表示方法、正比例函數(shù)、一次函數(shù)，為了利用圖像研究函數(shù)變量之間的關(guān)系，建立了平面直角坐標(biāo)系，平面直角坐標(biāo)系建立后，點的坐標(biāo)（有序?qū)崝?shù)對）與坐標(biāo)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)；不同的坐標(biāo)與不同的點一一對應(yīng)；函數(shù)關(guān)系與動點軌跡一一對應(yīng)，把抽象的函數(shù)關(guān)系與形象直觀的圖形聯(lián)系起來，通過解讀圖像，了解抽象的數(shù)量關(guān)系，這種“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法。

在“一次函數(shù)”的教材教學(xué)中，在“函數(shù)及其圖像”這一節(jié)中只是簡單地介紹了由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖像的基本步驟，這也是比較抽象的一節(jié)課。學(xué)生只能機(jī)械地從一般步驟去畫出函數(shù)圖像，但是對于函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)與該圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式之間的關(guān)系卻難以理解，但這一點正是以后學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的關(guān)鍵所在，因為學(xué)生對函數(shù)知識學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)最根本的表現(xiàn)就在分析解析式、識別函數(shù)圖像的能力方面。在對函數(shù)圖像的解圖、識圖以及利用函數(shù)圖像解決其他問題中起著至關(guān)重要的作用。根據(jù)本人對“函數(shù)”這一章十多年的教學(xué)經(jīng)驗和對學(xué)生反應(yīng)情況的了解，我覺得在“函數(shù)圖像”這一節(jié)的教學(xué)過程中穿插這樣一節(jié)課的教學(xué)是非常有必要的，它將對學(xué)生學(xué)習(xí)以后的有關(guān)具體函數(shù)有很大的幫助，下面我就這一點認(rèn)識總結(jié)如下。

根據(jù)函數(shù)圖像的基本步驟：①列表；②描點；③連線。我們可以對一給定的函數(shù)解析式，例如：y=-x+2畫出它所對應(yīng)的圖像。

第一步：列表，由于該函數(shù)自變量取值范圍是全體實數(shù)，我們可以列表如下：

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第二步：把每一對自變量的值和相應(yīng)的函數(shù)值作為一對有序數(shù)對，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點。

第三步：用平滑曲線連結(jié)，就可以得到該函數(shù)解析式所對應(yīng)的圖像，如下圖所示：

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但由于該函數(shù)的解析式的自變量取值范圍是全體實數(shù)，而在列表時又絕不可能把所有x的值和它所對應(yīng)的y值全部列至表中，這樣只能描出部分點。例如，當(dāng)x=0.1時，y=1.9，由于這一對數(shù)不是整數(shù)，描點時會造成不便，所以我們在表中沒有列出，但它們又確實可以列到表中，因此有序數(shù)對（0.1，1.9）完全可以作為描該函數(shù)圖像時的一個點的坐標(biāo)，可以肯定盡管沒有描出該點，但（0.1，1.9）肯定在函數(shù)y=-x+2的圖像上，這就是說，只要是滿足解析式y(tǒng)=-x+2的一對值，就可以在列表時列出，也就完全可以作為描出該函數(shù)圖像時的一個點，當(dāng)然這對數(shù)值所確定的點也就肯定在該函數(shù)的圖像上。例如，點P（0.001，1.999）要用描點的方法觀察它是否在函數(shù)y=-x+2的圖像上基本是不可能的，但由于它的橫縱坐標(biāo)完全滿足解析式y(tǒng)=-x+2，所以可以肯定點P就在函數(shù)y=-x+2的圖像上。

反之，若點Q（a，b）在函數(shù)y=-x+2的圖像上，那么（a，b）這一對值就肯定能列到表中，因此也肯定滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+2，即x=a時y=b，綜合上述分析過程，可以總結(jié)下面一條結(jié)論：點P（a，b）在函數(shù)y=f（x）的圖像上？圳P（a，b）滿足解析式y(tǒng)=f（x）（所謂滿足就是對函數(shù)解析式y(tǒng)=f（x）而言：當(dāng)x=a時，y=b）。

利用上述結(jié)論我們解答下列各題：

例1：在函數(shù)y=2x-5的圖像上的一個點是（ ）。

A（-2，1） B（2，1）

C（-1，2） D（1，2）

解：由于當(dāng)x=2時，y=-1，選項B的坐標(biāo)（2，-1）滿足該函數(shù)解析式，所以（B）中的點在該函數(shù)圖像上。

例2：在拋物線y=x2-4x-4的一個點是（ ）。

A（4，4） B（3，-1）

C（-2，-8） D（-■，-■）

解：由于當(dāng)x=■時，y=-■，所以正確答案為（D）。

例3：在函數(shù)y=x3-1的圖像上的點是（ ）。

A（2，0） B（2，-1）

C（2，7） D（2，-7）

解：由于當(dāng)x=2時，y=7所以正確答案是C。

以上三題，例1、例2的函數(shù)及其圖像在此階段學(xué)生并沒有學(xué)，例3的函數(shù)圖像根本就不可能學(xué)到，但只要學(xué)生理解這條結(jié)論完全可以解答。

例4：函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過點A（2，4），B（-3，6），求a，b。

解：由題意可知，點A（2，4），B（-3，6）在函數(shù)y=ax+b的圖像上，那么這兩個點的坐標(biāo)必滿足該解析式即4=2a+b6=3a+b構(gòu)成二元一次方程組，可解出a，b。

這道例題所反映的解題思路就是在我們這一章用的最為普遍的待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。

在我們沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)之前，利用上述結(jié)論完全可以解答此題，在以后的二次函數(shù)，反比例函數(shù)中求解析式的題型中，還會大量碰到。

例5：有一函數(shù)解析式y(tǒng)=■（k≠0）所描出的圖像如圖所示，求k。

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解：通過觀察該圖像發(fā)現(xiàn)該不知名的函數(shù)圖像上有一點P（3，4），那么根據(jù)上述結(jié)論，P（3，4）的坐標(biāo)必滿足該函數(shù)解析式，所以x=3時，y=4，即4=■？圳k=12。

在此題的解答過程中，盡管學(xué)生并沒有學(xué)過反比例函數(shù)，也不知道該圖像的名稱叫雙曲線，但利用所總結(jié)的結(jié)論，完全可以解答。

以上就是我認(rèn)為在學(xué)習(xí)了“函數(shù)圖像”以后和還沒有學(xué)習(xí)具體函數(shù)之前應(yīng)穿插的一節(jié)非常重要的內(nèi)容，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可讓學(xué)生更深層地了解函數(shù)圖像與函數(shù)解析式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)習(xí)以后的具體函數(shù)的圖像及由圖像研究函數(shù)性質(zhì)掃清了障礙，尤其對通過各函數(shù)中的待定方法求函數(shù)解析式這一難點，完全可以讓學(xué)生輕松掌握，對他們以后學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)會產(chǎn)生比較深遠(yuǎn)的影響，這也是我十多年的教學(xué)過程中對此知識的一點粗略的見解，僅供參考。

（責(zé)編 趙建榮）