向 華，楊招軍

(湖南大學金融與統計學院，湖南 長沙 410079)

1 引言

公司證券的定價和最優(yōu)資本結構一直是現代公司金融學的研究熱點，如Leland[1-4], Goldstein 等[5], Albul[6]等都以公司資產價值或收益流服從幾何布朗運動為假設來給出資產定價和分析最優(yōu)資本結構問題。然而現實經濟中很多不確定因素如金融危機、通貨膨脹等，一旦發(fā)生往往導致資產價值瞬間大幅縮水，從而使價值發(fā)生跳躍。而連續(xù)變化的幾何布朗運動顯然不能刻劃這些因素。此外Ammannn和Genser[7]就指出收益流服從幾何布朗不大現實，其非負特性難以解釋公司創(chuàng)立初期的負收益流及經營性損失現象。鑒于幾何布朗運動難以反映復雜的經濟背景，因此有學者嘗試用新的擴散過程來替代幾何布朗運動。例如Hilberink和Rogers[8]提出了一個跳模型來分析公司最優(yōu)資本結構和內生的破產機制。但由于其模型是一個只有下跳的勒維過程(Levy process)，對于現實市場資產價值向上跳躍的情況不能刻劃。其次Le Courtois和Quittard-Pinon[9]給出了一個具有雙邊跳的勒維過程作為資產價值過程。但他們的模型沒有連續(xù)部分，因而反映不出市場運行平穩(wěn)時資產價值連續(xù)變化的動態(tài)。

基于以上跳模型的不足，本文利用Kou[10]提出的一類特殊的勒維過程即：雙指數跳擴散過程作為資產價值過程。本質上它是把Merton[11]的正態(tài)跳擴散模型中的跳幅度服從的正太分布換成雙指數分布。該過程具有兩大非常好的性質：一是雙指數跳擴散過程具有雙邊的跳，既有上跳，又有下跳，這樣更符合真實市場情況。且與正態(tài)分布相比, 雙指數分布擁有資產收益率分布的尖峰和厚尾特性。二是它的無記憶便于計算停時的拉普拉斯轉換，因而容易得到公司權益資本的解析解。此外無記憶性質也有助于解決跳擴散過程中資產價值跨越問題。比如當價值V在停時τ首次觸發(fā)到障礙水平VB時，由于有跳可能Vτ剛好等于VB，也有可能Vτ跨越VB，使得Vτ≠VB。用雙指數跳擴散過程作為資產價值過程來研究資產定價和最優(yōu)資本結構問題的相關文獻有Dao Bin[12]，Chen Nan和Kou[13]。不過他們研究的都是基于具有平穩(wěn)的，時間齊性的滾動性債券(roll-over debt)，該類債券具有任意的到期時間且公司通過連續(xù)地回購和發(fā)行以達到債券的總面值和總券息的不變。其類似于市場中的償債基金(sink funds)[14-15]。而Dao Bin[12]著重分析的是該類債券的到期期限對資本結構的影響。而Chen Nan和Kou[13]主要研究了信用差價和隱含波動率。與他們研究的根本區(qū)別是：本文資本結構考慮的是與Leland[1], Goldstein[5]，Albul[6]一樣為公司普遍發(fā)行的普通債券。因此對它的研究更具有現實意義。本文的主要貢獻是：把Leland[7]的資產模型拓展為跳擴散模型，以此來研究跳風險對于資產定價和資本結構的影響。利用均衡定價的方法給出了公司證券的定價和分析了受跳風險影響的最優(yōu)資本結構問題。更為重要的是我們獲得了債券價值，股權價值和公司總價值的解析解。據我們所知只有Leland[1-2], Leland和Toft[3], Goldstein[4], Albul[5]等利用幾何布朗運動和Dao Bin[12]，Chen Nan和Kou[13]利用雙指數分布得到了解析解。利用結果進行對比發(fā)現，代表跳風險的泊松強度對企業(yè)資本價值、最優(yōu)資本結構、破產成本、收益率差價等都具有顯著的影響。與幾何布朗運動相比跳風險降低了公司價值和債券價值以及公司最優(yōu)杠桿率，但同時增加了債券收益率差價和股權價值。

本文余下內容安排如下：第二節(jié)是模型框架，介紹了雙指數跳擴散過程和破產停時的拉普拉斯轉換；第三節(jié)給出了公司證券的均衡定價，分析了內生最優(yōu)破產邊界和債券價值的性質；第四節(jié)為最優(yōu)資本結構；第五節(jié)給出了數值結果及比較靜態(tài)分析。第六節(jié)是全文的總結。

2 模型框架

本文假定公司資產價值服從雙指數跳擴散過程來研究公司證券定價和最優(yōu)資本結構問題。資產定價是金融學的核心內容，其基本準則是收益與風險的權衡。最簡單的資產定價理論是風險中性定價，其本質是只在乎平均收益，而對風險是中性的(即風險不影響資產價格)，盡管這不是一個嚴格完美的方法，但因其計算簡單，仍然得到廣泛使用，既考慮系統風險溢價、又考慮非系統風險溢價的定價方法是Hodges和Neuberger[16]提出的效用無差別定價，經濟學上這是最合理的定價方法，但是很難得到解析解，數值計算也比較復雜。作為上述兩個方法的折衷，另一資產定價方法就是均衡定價，如Merton[17]、Lucas[18]以及Ingersoll[19]。這一方法將資產的收益風險分為系統風險和非系統風險，定價時對系統風險要求有風險補償(風險溢價)，而對非系統風險是風險中性的，或認為非系統風險可以完全分散從而得到一個完備市場[20-21]。因為均衡定價方法兼具經濟學的合理性和計算的簡單性，這一方法得到廣泛使用。均衡定價關鍵是確定對應的隨機折扣因子(state-price deflator)[22]。然后，根據Duffie (2001)，所有資產(均衡)價格等于其收益流與隨機折扣因子乘積的和在真實概率測度下的平均值?；蛘叩葍r地，資產價格等于其收益流以無風險利率貼現的和在等價鞅測度下的平均值。由于有跳風險中性測度不唯一，但根據Lucas理性期望均衡的觀點，只要代理人具有HARA型的效用函數，通過求解單一代理人最優(yōu)投資消費問題得到隨機折扣因子，進而得到對應的等價鞅測度[10]。因此本文就假定在這樣一個等價鞅測度Q之下資產價值Vt服從與文獻[8-9]一樣的跳擴散過程：

(1)

(2)

其中，V為資產初始值，我們規(guī)定Zk取值范圍為(-1,∞)，以保證價值過程{Vt,t≥0}嚴格取正值。以下記：

則Vt=VeXt?？芍猉t是勒維過程并且Xt的拉普拉斯指數G(·)滿足對任意t,β，有EQ[eβXt]=exp{G(β)t}。此外根據Cont和Tankov[23]有：

f(y)=pη1e-η1yI{y≥0}+qη2eη2yI{y<0},

η1>0,η2>0

其中p>0,q>0,(p+q=1)分別代表向上和向下跳的概率。特別對于-η2<β<η1，有：

對于破產觸發(fā)水平VB，令VB=Vel，則破產停時等價于：

τ=inf{t:Vt≤VB}=inf{t:VeXt≤Vel}=

inf{t:Xt≤l}=τl(X)

本文下節(jié)用到文獻[12]關于停時τl(X)的拉普拉斯轉換的結論即對任意的ρ>0，ξ>0，有：

(3)

(4)

(5)

(6)

其中-β3,ρ,-β4,ρ為方程G(β)=ρ的四個實數根(兩正，兩負)中的兩個負實數根且：

-∞<-β4,ρ<-η2<-β3,ρ<0<β1,ρ<η1<β2,ρ<∞

3 公司證劵的均衡定價

我們假定公司的資本結構由債券和股權構成。公司債券與文[1，5-6]一樣為永久型的普通債券。普通債券具有避稅功能，稅率為θ,券息為C。公司破產發(fā)生在資產價值Vt低于某一水平VB時，在數學上是一個停時即τ=inf{t:Vt≤VB}。一旦破產，公司因破產清算會損失掉一部分資產價值即破產成本，我們設破產成本占公司剩余價值的比例為α，考慮債券持有人的絕對優(yōu)先原則，則清算后剩余資產(1-α)Vτ歸債券持有人。注意到有跳Vτ不一定等于VB。

3.1 公司證券的定價

對于債券價值，公司價值和股權價值我們用以下符號來表示：D(V,VB,C)表示公司普通債券價值，其中V為資產初始值；G(V,VB,C)表示公司總價值；E(V,VB,C)代表公司股權價值。

對于債券它的收益流由兩部分組成：一是在公司破產之前獲得的券息C，二是在破產時刻得到的公司剩余價值(1-α)Vτ。因此債券價值為：

由(3)(6)兩式得：

(7)

公司總價值G(V,VB,C)等于公司資產價值加上因發(fā)行債券而獲得的稅收價值，同時減去破產成本的價值。即：

(8)

公司股權價值E(V,VB,C)等于公司價值G(V,VB,C)減去債券價值D(V,VB,C)即：

E(V,VB,C)=G(V,VB,C)-D(V,VB,C)

由(7)(8)，股權價值為：

(9)

3.2 最優(yōu)破產邊界VB和債券的性質

我們假定公司破產由股權持有人控制，通過極大化股權者利益獲得最優(yōu)破產邊界，于是我們有如下命題。

命題1 假定公司股權持有者決定破產，那么最優(yōu)的破產觸發(fā)水平為：

(10)

將(10)代入(7)(8)(9)式便得到債券價值，公司價值和股權價值的解析解。

經變形化簡只需證β3,rβ4,r+β3,r+β4,r≥(1-α)×(1-θ)β3,rβ4,r即可。顯然該不等式恒成立, 于是命題1得證。

命題3 如果無風險債券的價值不低于有違約風險的債券價值，那么以下關系式總成立：

證明：由B(C)≥D(V,VB,C)，

其中：

g(x)=Axα1+Bxα2-Cxβ1-Dxβ2，0≤x≤1 如果0≤α1≤α2≤β1≤β2,A+B≥C+D,A>C，那么對任意的0≤x≤1，有g(x)>0。我們用D(x)表示債券，則：

且α1=α2=β3,r-1,β1=β2=β4,r-1。

由Kou和Wang Hui[24]知：0<β3,r<η2<β4,r，因此0≤α1≤α2≤β1≤β2,另外：

4 公司最優(yōu)資本結構

由于發(fā)行債券可以獲得稅收，但同時也會增加破產成本，因此公司最優(yōu)資本結構必須權衡稅收和破產成本的關系。公司最優(yōu)資本結構問題在數學上等價于求解如下優(yōu)化問題：

由關于券息C的一階條件，容易得到最優(yōu)券息C*滿足如下方程：

(11)

其中

。

從(11)可數值解出最優(yōu)券息C*。

5 數值結果分析

本節(jié)給出數值結果分析，為了便于對比分析我們參考了經典論文的參數選擇。

對于模型連續(xù)部分的參數我們取與Leland[1], Hiberink和Rogers[8]，Dao Bin[12]一樣。即無風險利率r=0.075，稅率θ=0.35，破產成本α=0.5，支付率δ=0.07。債券的券息C=(0,1,…,10)，初始值V=500。

5.1 債券價值作為券息的函數

(2)波動率越大，債券價值越小。這是因為波動率越大，資產價值越不穩(wěn)定且破產邊界也越高，因此債券價值越小。B子圖為不同強度下的債券價值隨券息變化的圖形。其中σ=0.15，對應的強度依次為+線λ=0，星線λ=1，實線λ=3，虛線λ=5。特別的λ=0代表資產價值服從幾何布朗運動。觀察到跳過程下的債券價值小于幾何布朗運動下的債券價值。且強度越大，債券價值越小。這表明跳風險降低了債券價值。當市場動蕩導致資產價值發(fā)生跳躍，債券價值會下跌。而當市場運行平穩(wěn)時則債券價值上漲。

圖1 債券價值隨券息變化規(guī)律

5.2 收益率差價作為券息和杠桿率的函數

圖2 收益率差價隨券息和杠桿率變化規(guī)律

5.3 公司價值作為券息和杠桿率的函數

圖3 A子圖表明受跳風險影響的公司價值其變化趨勢與債券價值一樣，即隨券息增大而最終下降。不難發(fā)現公司價值是強度的減函數，且跳過程下的公司價值總是小于幾何布朗運動下的公司價值。觀察到跳過程下的公司價值當隨券息下降時，而幾何布朗運動下的公司價值依舊隨券息在增大。這表明跳風險降低了公司債券融資規(guī)模。從B子圖我們看到跳過程下的公司價值和最優(yōu)杠桿率遠低于幾何布朗運動下的公司價值和最優(yōu)杠桿率。杠桿率代表公司總資產中債券所占的比率，它是一個衡量公司負債風險的指標，從側面反應出公司的還款能力。最優(yōu)杠桿率可通過(11)式數值計算出C*，再把C*帶入(7)(8)式得最優(yōu)債券D*(V,VB,C*)，公司總價值G*(V,VB,C*)于是最優(yōu)的杠桿率為：

圖3 公司價值隨券息和杠桿率變化規(guī)律

我們看到幾何布朗運動下的最優(yōu)杠桿率大約是75%(這與Leland[1]Figure 7 的結論一致)。而跳風險下的公司最優(yōu)杠桿率依次約為12%(λ=5),16%(λ=3)，18%(λ=1)。這表明跳風險使得公司負債能力降低。

5.4 股權價值作為券息的函數

圖4分析的是股權價值隨券息變化的規(guī)律。我們觀察到與債券價值、公司價值變化不同，股權價值是強度的增函數。這說明資產價值越大起大落，股權持有人越受益。而且對比發(fā)現受跳風險影響的股權價值大于幾何布朗運動下的股權價值。這表明市場越動蕩，股權價值上漲，而市場趨于平穩(wěn)時，股權價值則下跌。

圖4 股權價值隨券息變化規(guī)律

6 結語

本文以雙指數跳擴散過程作為公司資產價值過程，來研究公司證券定價和最優(yōu)資本結構問題。我們利用均衡定價的方法給出了公司證券的定價。在假定由股權持有人決定公司破產條件下，我們得到了債券價值，股權價值和公司總價值的解析解。并且分析了無風險的債券價值與有違約風險債券價值之間關系。在一定的條件下即使有跳風險的影響，公司債券價值隨資產價值的增大而增大。數值結果分析表明跳風險對企業(yè)資本價值、最優(yōu)資本結構、收益率差價等都具有顯著的影響。對比發(fā)現跳過程下的債券價值，公司總價值均小于對應的幾何布朗運動下的價值，但是股權價值和收益率差價大于對應的幾何布朗運動下的價值。此外泊松強度越大即資產價值發(fā)生跳的頻率越大，公司債券價值、最優(yōu)杠桿率和總價值就越小。本文數值結果得到的跳模型下的最優(yōu)杠桿率不到20%,遠低于幾何布朗運動的高達75%的最優(yōu)杠桿率。這些結果對于企業(yè)的融資決策是有直接指導意義的，比如當市場處于動蕩時公司應減少債券發(fā)行的規(guī)模以降低破產概率，當市場運行平穩(wěn)時，應增加債券的規(guī)模。

最后指出自08年金融危機以來，為應對危機許多大公司開始發(fā)行一種新型的混合型證劵：或有可轉換債券。對于公司資本結構由普通債券，或有可轉換債券和股權構成的情況下，在跳過程下研究其定價和最優(yōu)資本結構是該領域一個值得進一步探索的研究方向。

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