李源

摘 要：在時域內基于熱不可逆原理建立了直升機粘彈減擺器的模型。通過模型參數繪制出粘彈減擺器在受剪力作用時的應力應變關系，并對模型參數進行了粒子群優(yōu)化計算。結果表明：所建立的模型能夠很好地反映粘彈減擺器的非線性特性，通過粒子群優(yōu)化算法求解的模型參數使剪切應力應變關系曲線的總體誤差更小，更能反映實際的變化關系。

關鍵詞：粘彈減擺器；非線性模型；粒子群優(yōu)化；參數優(yōu)化

1 粘彈減擺器

1.1 主要作用及結構形式

直升機動力學問題一直是限制直升機發(fā)展的主要問題，而動力學問題又可以分為兩大類，即直升機動穩(wěn)定性問題和直升機動態(tài)響應問題。在動穩(wěn)定性問題中，“地面共振”和“空中共振”問題一直是人們關注的焦點，該問題一旦出現(xiàn)就會釀成災難性的事故，而粘彈減擺器作為直升機旋翼槳轂部分的重要零部件，能夠為直升機槳葉的擺振運動提供足夠的剛度和阻尼，用來抑制直升機的“地面共振”和“空中共振”，從而提高直升機的動力學穩(wěn)定性。

粘彈減擺器一般由硅橡膠和鋼板形成的層壓結構構成，其結構形式很多，一般有以下三種形式：板式粘彈減擺器、筒式粘彈減擺器和多層疊加式粘彈阻尼器，如圖1所示。

（a）板式粘彈減擺器 （b）筒式粘彈減擺器

（C）多層疊加式粘彈減擺器

圖1 粘彈減擺器的三種結構形式

1.2時域模型

E.C.Smith等人基于熱不可逆原理在時域內建立了線性滯彈位移場（Anelastic displacement field，ADF）材料模型，該模型是通過在無彈位移場將非線性彈簧和非線性Kelvin元件串聯(lián)而成，其單滯彈位移場的材料本構關系如下：

（1）

（2）

式中，？滓和？著分別是材料的總應力和總應變，？滓i和？著i分別是第i個滯彈性位移場的應力和應變，？滓■■和？著■■分別是第i個滯彈性位移場的滯彈性應力和滯彈性應變，N是滯彈性場的個數，Gu是材料的剪切模量，？贅i是第i個滯彈性場的松弛時間，ci是第i個滯彈性位移場與彈性位移場間的耦合系數。

當N=1時，廣義的線性ADF模型就變成單層ADF模型，該問題可以簡化成一個一維剪切問題，？著表示橫截面位移場的總位移，？著A表示滯彈位移場部分的位移，此時，就是用一個單層的ADF來建立滯彈性位移場的模型。如圖2所示：一個阻尼器和一個與其平行的彈性元件共同構成一個Kelvin元件，再與一個彈性元件串聯(lián)構成廣義的Maxwell模型。

現(xiàn)有的非線性粘彈性材料模型都是在線性單層ADF模型的基礎上發(fā)展而來的，如圖3所示，圖中穿越彈簧元件和阻尼元件的箭頭表示它們是非線性的，此時彈性元件和Kelvin模塊都具有非線性力學特性。

2 模型參數識別和驗證

2.1 模型參數識別

首先要確定出現(xiàn)在非線性ADF模型中的特征函數f、g和h，這三個特征函數是用來描述材料在受到各種變化力時的行為，這部分主要用來合成非線性ADF模型的參數。對于這三個未知的特征函數的方程形式，我們用Ku、Ka和d來表示，方程形式的選取加以修改如下：

（8）

（9）

（10）

（11）

在上述方程形式中，保留了基礎的低幅值線性材料特征，常數ku1、ka1和kd1分別相當于線性ADF模型中的參數Gu、c和？贅。模型中的參數可以通過非線性減擺器動態(tài)試驗數據來識別，識別出來的數據是力信號和位移信號，而模型的參數關系是關于應力和應變的，因此需要把力和位移的信號轉化為應力和應變的關系，其對應關系為：

（12）

（13）

于是式（8～11）中的系數可以通過試驗數據進行參數識別，首先對于第i時刻的應變值？著i，可根據式3求得相應的應力值？滓i，然后得到各時刻的模型預測值，對其進行優(yōu)化處理，就可以得到模型參數。

2.2 模型驗證

為了驗證該粘彈減擺器的非線性ADF模型的正確性，下面將模型參數理論值和實際試驗[8]數據通過應力應變曲線進行對比，如圖4所示，該圖是在無預偏置下粘彈減擺器模型理論值和實驗值的數據對比，圖中離散點是在4Hz簡諧激振力作用下所測出的剪切位移為1cm的試驗值，光滑曲線是通過非線性ADF模型識別出來的參數所繪制的應力應變滯遲回線。從圖中可以直觀地看出試驗值和理論值吻合良好，該非線性ADF模型較理想地表現(xiàn)出粘彈性材料的非線性特性。

3 模型參數的粒子群優(yōu)化計算

從模型驗證的應力應變關系曲線可以看到，根據非線性ADF模型繪出的關系曲線與實驗值基本一致，但是在中間部分區(qū)域與實驗值還是存在一些出入，為了更精確地反映出實際工作中粘彈減擺器的應力應變遲滯回線的特性，減少理論計算和實際實驗結果的誤差，下面將通過粒子群優(yōu)化算法來對模型參數進行優(yōu)化計算，并將通過優(yōu)化計算的結果繪制出的應力應變關系曲線計算所得的結果進行對比。

根據實驗獲得的頻率在4Hz時的剪切應力應變關系曲線如圖5所示：

通過實驗數據對模型參數進行粒子群優(yōu)化計算，首先計算幅值為0.1cm，頻率為4Hz時的應力應變關系曲線，如圖5中最里面的曲線，在圖上獲取一定數量的實驗點，根據非線性ADF模型和式（8～11）用粒子群優(yōu)化算法來計算參數ku1，ku2，ku3，ku4和ka1的值，選取五維的空間，學習因子c1=2，c2=2，慣性權重w=0.8，最大迭代次數為3000，初始化群體個體數目為30，通過MATLAB編程計算所得的優(yōu)化參數結果如下：

ku1=1.309 ku2=-2.254 ku3=2.184 ku4=3.151 ka1=0.012

計算所得的優(yōu)化極值為0.651，滿足優(yōu)化極值要求。endprint

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖6所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖7所示：

由圖7可見，使用粒子優(yōu)化算法計算所得的結果和使用一般算法所得的結果很相近，這是因為當幅值較小時，阻尼較小，粘彈減擺器非線性材料的動力學特性無法體現(xiàn)出來，幅值越小，材料的特性越接近線性，所以使用粒子優(yōu)化算法和一般算法所得的結果差異不大，當幅值足夠小時，兩者的計算結果接近重合。

下面將根據粒子群優(yōu)化算法來計算幅值為0.5cm，頻率為4Hz時的剪切應力應變關系曲線，如圖5中中間的曲線，同樣在圖上獲取一定數量的實驗點，用粒子群優(yōu)化算法通過MATLAB編程，計算所得的優(yōu)化參數結果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

計算所得的優(yōu)化極值為0.946，滿足優(yōu)化極值要求。

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖8所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖9所示：

從圖9中可以看出，使用粒子群優(yōu)化算法計算所繪制出的剪切應力應變關系曲線與實驗所得曲線誤差很小，幾乎重合一致，使用一般計算方法所得的曲線雖然也能較好地反應粘彈性材料的遲滯特性，但是在曲線擬合上還是存在一定的誤差，沒有使用粒子群優(yōu)化算法計算所得的結果精確。

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖10所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖11所示：

從圖11可以看出，使用一般計算方法所得出的曲線在中間部分與原實驗曲線存在一定的誤差，雖然也能較好地體現(xiàn)出非線性材料的遲滯特性，但是誤差較大；而使用粒子群優(yōu)化算法計算得出的曲線在中間90%的部分幾乎與原實驗曲線重合，兩者之間的誤差很小，可以說與原實驗曲線是相一致的；但在實驗兩端，兩種計算方法所得到的剪切應力應變關系曲線都不可避免的存在一定的誤差，這可能是由曲線兩端趨勢的突變引起的。

4 結束語

根據粘彈減擺器非線性ADF模型，用粒子群優(yōu)化算法對模型參數進行了優(yōu)化計算。優(yōu)化計算的模型參數不僅能夠反應幅值較小時的實驗應力應變曲線關系，當幅值變大時仍能夠很好的與實驗曲線相一致，較一般計算方法更為精確，可見所采用的粒子群優(yōu)化算法合理，且優(yōu)化方法有效可行。因此通過粒子群優(yōu)化算法計算的模型參數具有更廣的適用范圍，可以用來計算有靜位移作用下的剪切應力應變關系等。endprint

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖6所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖7所示：

由圖7可見，使用粒子優(yōu)化算法計算所得的結果和使用一般算法所得的結果很相近，這是因為當幅值較小時，阻尼較小，粘彈減擺器非線性材料的動力學特性無法體現(xiàn)出來，幅值越小，材料的特性越接近線性，所以使用粒子優(yōu)化算法和一般算法所得的結果差異不大，當幅值足夠小時，兩者的計算結果接近重合。

下面將根據粒子群優(yōu)化算法來計算幅值為0.5cm，頻率為4Hz時的剪切應力應變關系曲線，如圖5中中間的曲線，同樣在圖上獲取一定數量的實驗點，用粒子群優(yōu)化算法通過MATLAB編程，計算所得的優(yōu)化參數結果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

計算所得的優(yōu)化極值為0.946，滿足優(yōu)化極值要求。

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖8所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖9所示：

從圖9中可以看出，使用粒子群優(yōu)化算法計算所繪制出的剪切應力應變關系曲線與實驗所得曲線誤差很小，幾乎重合一致，使用一般計算方法所得的曲線雖然也能較好地反應粘彈性材料的遲滯特性，但是在曲線擬合上還是存在一定的誤差，沒有使用粒子群優(yōu)化算法計算所得的結果精確。

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖10所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖11所示：

從圖11可以看出，使用一般計算方法所得出的曲線在中間部分與原實驗曲線存在一定的誤差，雖然也能較好地體現(xiàn)出非線性材料的遲滯特性，但是誤差較大；而使用粒子群優(yōu)化算法計算得出的曲線在中間90%的部分幾乎與原實驗曲線重合，兩者之間的誤差很小，可以說與原實驗曲線是相一致的；但在實驗兩端，兩種計算方法所得到的剪切應力應變關系曲線都不可避免的存在一定的誤差，這可能是由曲線兩端趨勢的突變引起的。

4 結束語

根據粘彈減擺器非線性ADF模型，用粒子群優(yōu)化算法對模型參數進行了優(yōu)化計算。優(yōu)化計算的模型參數不僅能夠反應幅值較小時的實驗應力應變曲線關系，當幅值變大時仍能夠很好的與實驗曲線相一致，較一般計算方法更為精確，可見所采用的粒子群優(yōu)化算法合理，且優(yōu)化方法有效可行。因此通過粒子群優(yōu)化算法計算的模型參數具有更廣的適用范圍，可以用來計算有靜位移作用下的剪切應力應變關系等。endprint

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖6所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖7所示：

由圖7可見，使用粒子優(yōu)化算法計算所得的結果和使用一般算法所得的結果很相近，這是因為當幅值較小時，阻尼較小，粘彈減擺器非線性材料的動力學特性無法體現(xiàn)出來，幅值越小，材料的特性越接近線性，所以使用粒子優(yōu)化算法和一般算法所得的結果差異不大，當幅值足夠小時，兩者的計算結果接近重合。

下面將根據粒子群優(yōu)化算法來計算幅值為0.5cm，頻率為4Hz時的剪切應力應變關系曲線，如圖5中中間的曲線，同樣在圖上獲取一定數量的實驗點，用粒子群優(yōu)化算法通過MATLAB編程，計算所得的優(yōu)化參數結果如下：

ku1=0.866 ku2=-4.771 ku3=6.148 ku4=8.836 ka1=0.016

計算所得的優(yōu)化極值為0.946，滿足優(yōu)化極值要求。

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖8所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖9所示：

從圖9中可以看出，使用粒子群優(yōu)化算法計算所繪制出的剪切應力應變關系曲線與實驗所得曲線誤差很小，幾乎重合一致，使用一般計算方法所得的曲線雖然也能較好地反應粘彈性材料的遲滯特性，但是在曲線擬合上還是存在一定的誤差，沒有使用粒子群優(yōu)化算法計算所得的結果精確。

根據所計算的參數值描繪出剪切應力應變關系曲線如圖10所示，將該優(yōu)化曲線中使用一般算法計算的曲線相對比如圖11所示：

從圖11可以看出，使用一般計算方法所得出的曲線在中間部分與原實驗曲線存在一定的誤差，雖然也能較好地體現(xiàn)出非線性材料的遲滯特性，但是誤差較大；而使用粒子群優(yōu)化算法計算得出的曲線在中間90%的部分幾乎與原實驗曲線重合，兩者之間的誤差很小，可以說與原實驗曲線是相一致的；但在實驗兩端，兩種計算方法所得到的剪切應力應變關系曲線都不可避免的存在一定的誤差，這可能是由曲線兩端趨勢的突變引起的。

4 結束語

根據粘彈減擺器非線性ADF模型，用粒子群優(yōu)化算法對模型參數進行了優(yōu)化計算。優(yōu)化計算的模型參數不僅能夠反應幅值較小時的實驗應力應變曲線關系，當幅值變大時仍能夠很好的與實驗曲線相一致，較一般計算方法更為精確，可見所采用的粒子群優(yōu)化算法合理，且優(yōu)化方法有效可行。因此通過粒子群優(yōu)化算法計算的模型參數具有更廣的適用范圍，可以用來計算有靜位移作用下的剪切應力應變關系等。endprint