魯明軍，崔金勇，陳 熙，陳泓吉

(1．上海華測(cè)導(dǎo)航技術(shù)有限公司，上海 200233； 2．云南登潤(rùn)科技有限公司，云南 昆明 650034； 3．中國(guó)人民解放軍62106 部隊(duì)，遼寧大連 116000)

0 引言

變形現(xiàn)象以各種各樣的形式存在于自然界中，比如塌方，滑坡，地殼形變，工程建筑物的沉降和位移等。當(dāng)變形體的變形量超過(guò)一定的范圍，就會(huì)導(dǎo)致災(zāi)害的發(fā)生，危及人類的生命財(cái)產(chǎn)安全，給人類社會(huì)帶來(lái)巨大的損失和傷害。這些災(zāi)害的發(fā)生都與變形有關(guān)，因此，變形監(jiān)測(cè)的研究受到了世界各國(guó)的廣泛關(guān)注。

變形監(jiān)測(cè)是對(duì)監(jiān)視對(duì)象或物體(簡(jiǎn)稱變形體)進(jìn)行測(cè)量以確定其空間位置隨時(shí)間的變化特征。變形監(jiān)測(cè)是為變形分析和預(yù)報(bào)提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，在變形監(jiān)測(cè)的工作中，監(jiān)測(cè)是為了獲得相關(guān)的數(shù)據(jù)，是變形監(jiān)測(cè)的基礎(chǔ);分析是對(duì)所獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行合理化的處理，是變形監(jiān)測(cè)的手段;預(yù)報(bào)是根據(jù)之前的工作，來(lái)推測(cè)變形體的變化趨勢(shì)，確定是否會(huì)引發(fā)災(zāi)害以及在災(zāi)害發(fā)生前采取措施來(lái)盡可能阻止災(zāi)害的發(fā)生或者減少災(zāi)害帶來(lái)的損失，是變形監(jiān)測(cè)的最終目的。因此，變形分析與預(yù)報(bào)一直是測(cè)繪專業(yè)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義［1-5］。

1 研究方法及技術(shù)路線

本文對(duì)某高層建筑的沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論模型來(lái)處理，進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)的分析和預(yù)報(bào)。觀測(cè)數(shù)據(jù)為3 個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的12 期沉降值，分別采用每個(gè)點(diǎn)的前n 期(n 大于或等于4)數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型，并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途?，作出n期以后的沉降預(yù)報(bào)，并與實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行比較，評(píng)定預(yù)報(bào)效果，并得出一些有益的結(jié)論。

2 灰色系統(tǒng)理論概況及模型

灰色系統(tǒng)理論指出用離散的隨機(jī)數(shù)，經(jīng)過(guò)生成變?yōu)殡S機(jī)性被顯著削弱的較有規(guī)律的生成數(shù)，這樣便可以對(duì)變化過(guò)程做較長(zhǎng)時(shí)間的描述，進(jìn)而建立微分方程形式的模型?；疑Ｐ偷慕⒂幸韵聨讉€(gè)步驟:

2．1 原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理(累加生成)

記原始數(shù)據(jù)序列X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，對(duì)其進(jìn)行一次累加生成，得到生成列X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}。

2．2 計(jì)算灰參數(shù)a，b(對(duì)生成列建立一階微分方程并求解)

式中:a，b 是灰參數(shù)，其白化值為^a = a，[ ]bT。運(yùn)用最小二乘原理，可解得:

式(2)中:

將式(3)、(4)結(jié)合式(2)可解出^a，由此即可確定灰參數(shù)a，b 的值。

2．3 建立模型

將^a 代入式(1)，便可解出微分方程式，得:

式(5)即為GM(1，1)模型的具體表達(dá)式，至此，模型建立完畢。

對(duì)^x(1)(k +1)作累減生成，可以還原數(shù)據(jù):

式(5)、式(6)即為灰色系統(tǒng)分析與預(yù)報(bào)的兩個(gè)基本模型，當(dāng)k≤n 時(shí)，稱^x(0)(k)為模型模擬值;當(dāng)k=n，稱^x(0)(k)為模型濾波值;當(dāng)k ＞n 時(shí)，稱^x(0)(k)為模型預(yù)測(cè)值。

2．4 模型的檢驗(yàn)

模型的檢驗(yàn)方法有關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，殘差檢驗(yàn)和后驗(yàn)檢驗(yàn)3 種方法。關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)是考察模型值與建模序列曲線的相似程度;殘差大小檢驗(yàn)是對(duì)模型值和實(shí)際值的誤差進(jìn)行逐點(diǎn)的檢驗(yàn);后驗(yàn)差檢驗(yàn)則是對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行的檢驗(yàn)，用后驗(yàn)差比值C 和小誤差概率P 來(lái)共同描述。根據(jù)式(6)可以得到:^x(0)={^x(0)(1)，^x(0)(2)，…，^x(0)(n)}，計(jì)算殘差e(k)= x(0)(k)－^x(0)(k)，k=1，2，…，n。

再計(jì)算原始系列x(0)及殘差序列e 的方差:式中

得出S1和S2后，計(jì)算后驗(yàn)差比值C=S2/S1，以及小誤差概率P。P 的計(jì)算公式為:

根據(jù)模型精度等級(jí)(見(jiàn)表1)判別式，模型等級(jí)精度=max{C 所在的級(jí)別，P 所在的級(jí)別}。

表1 模型精度等級(jí)Tab．1 Model accuracy class

3 灰色系統(tǒng)在某建筑物沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

以某高層寫字樓為例，介紹灰色系統(tǒng)在建筑物沉降監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用。該高層寫字樓為框架結(jié)構(gòu)，總建筑面積2 586 m2，基礎(chǔ)土層為高壓縮土，其中地下2 層，地面20 層。根據(jù)建筑物變形觀測(cè)規(guī)范要求，在建筑物施工及運(yùn)營(yíng)的一段時(shí)間內(nèi)(觀測(cè)時(shí)間見(jiàn)數(shù)據(jù)記錄表2)，對(duì)其進(jìn)行了沉降觀測(cè)，布置了3 個(gè)水準(zhǔn)基點(diǎn)(點(diǎn)位均位于地基穩(wěn)定區(qū)域)，組成水準(zhǔn)網(wǎng)，在主樓一層柱墻+0．2 m ～+0．5 m標(biāo)高處埋設(shè)觀測(cè)點(diǎn)24 個(gè)。采用視線高法對(duì)各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行高程測(cè)量。觀測(cè)路線，如圖1 所示。部分?jǐn)?shù)據(jù)記錄，如表2 所示。

圖1 觀測(cè)平面圖Fig．1 Observation plane figure

表2 數(shù)據(jù)記錄Tab．2 Data record sheet

表2 ( 續(xù)) 數(shù)據(jù)記錄

3．1 常規(guī)灰色模型的數(shù)據(jù)處理

選擇1 號(hào)點(diǎn)的前5 期觀測(cè)數(shù)據(jù)，Y(0)={0，-6，-11，-14，-16}。令X(0)=KY(0)，K = -1，則X(0)={0，6，11，14，16}，對(duì)X(0)進(jìn)行一次累加生成得，X(1)={0，6，17，31，47}，對(duì)此生成序列建立一階微分方程dX(1)/dt +aX(1)=b，由X(1)可得數(shù)據(jù)矩陣B:，則

^a = ［a，b］T= (BTB)－1BTYN，代入數(shù)據(jù)得^a =［-0．2632 6．654］T，代 入 微 分 方 程。計(jì) 算 得:^x(1)(k +1)= 25．27e0．2632k－25．27，對(duì)^x(1)(k+1)做累減生成(IAGO)可得還原數(shù)據(jù)^x(0)(k+1)=^x(1)(k+1)-x(1)(k)，因?yàn)閅(0)(k)=K0X(0)(k)，K0= -1，則Y(0)的還原數(shù)據(jù)具體如下:y(0)(1)=0，y(0)(2)= -7．6，y(0)(3)= -9．9，y(0)(4)= -12．9，y(0)(5)= -16．8。

3．1．1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

由殘差計(jì)算公式可得:e(1)=0，e(2)=1．6，e(3)= -1．1，e(4)= -1．1，e(5)=0．8。記原始數(shù)列Y(0)及殘差數(shù)列e 的方差分別為S21、S22。由ˉe(k)= 0．04 ，ˉx(0)= － 9．4 可得:S21=33．44，S1=5．7827;S22 =1．1224，S2=1．0594;驗(yàn)差比值C = S2/S1=0．18;小概率誤差P={|e(k)| ＜0．6745·S1}=1;模型精度等級(jí)=max{P 所在的級(jí)別，C 所在的級(jí)別}，將計(jì)算得出的C 和P與模型精度等級(jí)表比較，判定出該模型的精度為1 級(jí)。

3．1．2 利用模型進(jìn)行預(yù)報(bào)

利用模型對(duì)1 號(hào)點(diǎn)的6 -12 期沉降值進(jìn)行預(yù)測(cè)，后7 期數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)結(jié)果，見(jiàn)表3。

表3 后7 期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果Tab．3 Seven periods of data forecast results of that followed

3．1．3 對(duì)1 號(hào)點(diǎn)選擇不同期數(shù)建模并進(jìn)行預(yù)報(bào)并比較

觀察圖2 可以發(fā)現(xiàn):建模期數(shù)越多，模型預(yù)測(cè)曲線就越接近于測(cè)量值曲線，預(yù)測(cè)趨勢(shì)越理想。注意到對(duì)該建筑物進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)時(shí)，還處于工程建設(shè)階段。7 期以后，工程竣工，建筑物的沉降進(jìn)入另一個(gè)階段。固也側(cè)面反映出，建模采用的數(shù)據(jù)樣本所包含的工程變形的情況越全面，模型的預(yù)報(bào)精度越高。對(duì)于第7 期，選擇前6 期建模所得的預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差要比選擇前5期建模所得的預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差要小，也就是精度更高。觀察其他組，也有相同情況。因此，可以得出:對(duì)同一期而言，建模所選用的數(shù)據(jù)樣本越大，所得的預(yù)報(bào)精度越高。對(duì)于常規(guī)GM 模型來(lái)說(shuō)，若要盡可能高精度地預(yù)測(cè)第n 期的變形值時(shí)，就需盡量選擇前n -1 期來(lái)建模。當(dāng)n 值比較大時(shí)，該方法雖然預(yù)測(cè)精度高，但是數(shù)據(jù)計(jì)算量也較大。

圖2 不同期數(shù)建模預(yù)測(cè)結(jié)果比較Fig．2 Comparison of forecast results modeled by using the different periods of data

3．2 基于灰色系統(tǒng)的等維滾動(dòng)預(yù)測(cè)

3．2．1 灰色系統(tǒng)的等維滾動(dòng)預(yù)測(cè)概念

選擇前n 期觀測(cè)數(shù)據(jù)，按照灰色系統(tǒng)理論建立模型并進(jìn)行預(yù)報(bào)，然后再去掉第一期數(shù)據(jù)，選擇第n +1 期測(cè)量值作為第二次建模的數(shù)據(jù)樣本，建模的維度依然為n，依次進(jìn)行下去，這就是灰色系統(tǒng)的等維滾動(dòng)預(yù)測(cè)。

3．2．2 等維滾動(dòng)預(yù)測(cè)

通過(guò)具體分析與預(yù)報(bào)來(lái)對(duì)比該方法與常規(guī)灰色系統(tǒng)建模方法的預(yù)報(bào)精度及優(yōu)缺點(diǎn)。選擇5 維、6 維、7 維，分別做4 次滾動(dòng)預(yù)測(cè)，由于篇幅限制，具體演算過(guò)程不再詳述。

3．2．3 預(yù)報(bào)值的分析對(duì)比

3．2．3．1 常規(guī)預(yù)測(cè)與滾動(dòng)預(yù)測(cè)的分析對(duì)比

通過(guò)3 組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn):對(duì)于同一期預(yù)測(cè)，滾動(dòng)預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差均要比常規(guī)預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差小很多。但也要注意到，3 組對(duì)比中，常規(guī)預(yù)測(cè)的建模樣本序列與滾動(dòng)預(yù)測(cè)的建模樣本序列中僅有1 個(gè)數(shù)據(jù)不一樣:第一組中，常規(guī)預(yù)測(cè)建模序列為1 -5 期，滾動(dòng)預(yù)測(cè)建模序列為2 -6 期;第二組中，常規(guī)預(yù)測(cè)建模序列為1 -6 期，滾動(dòng)預(yù)測(cè)建模序列為2 -7 期;第三組中，常規(guī)預(yù)測(cè)建模序列為1 -7 期，滾動(dòng)預(yù)測(cè)建模序列為2 -8期。固可以得出，在建模樣本的維度相同，建模所選擇的期數(shù)僅有1 期不相同時(shí)，滾動(dòng)預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)效果要比常規(guī)預(yù)測(cè)好很多。

選擇前5 期的常規(guī)預(yù)測(cè)與維度為5 的第一次滾動(dòng)預(yù)測(cè)比較，見(jiàn)表4。

表4 常規(guī)模型預(yù)測(cè)與滾動(dòng)預(yù)測(cè)的對(duì)比Tab．4 Comparison of forecast results between routine and rolling

用選擇前6 期、選擇前7 期的常規(guī)預(yù)測(cè)分別與維度為6、維度為7 的滾動(dòng)預(yù)測(cè)相比較，也得出相同結(jié)論。

3．2．3．2 等維滾動(dòng)預(yù)測(cè)之間的分析對(duì)比

5 維滾動(dòng)預(yù)測(cè)間的比較:第一次滾動(dòng)預(yù)測(cè)值的中誤差為9．339 mm，第二次預(yù)測(cè)中誤差為7．753 mm，第三次預(yù)測(cè)中誤差為7．100 mm，第四次預(yù)測(cè)中誤差為4．712 mm?？梢钥闯?隨著滾動(dòng)次數(shù)的增加，預(yù)測(cè)中誤差越小，也就是預(yù)測(cè)效果越好。

表5 滾動(dòng)預(yù)測(cè)的相互比較Tab．5 Comparison among rolling forecast results

通過(guò)計(jì)算，6 維、7 維也具有同樣的規(guī)律。由此，可以得出:在維度相同的情況下，滾動(dòng)預(yù)測(cè)的次數(shù)越多，其總體上預(yù)測(cè)的效果越好。同時(shí)，也要注意到，對(duì)單期預(yù)報(bào)來(lái)說(shuō)，并不是滾動(dòng)預(yù)測(cè)次數(shù)越多預(yù)測(cè)值越好。

3．2．3．3 滾動(dòng)預(yù)測(cè)值坐標(biāo)圖

下面給出滾動(dòng)預(yù)測(cè)的坐標(biāo)圖，見(jiàn)圖3 -5。在前文中，通過(guò)對(duì)點(diǎn)1、點(diǎn)2、點(diǎn)3 分別以前5 期、前6 期、前7 期、前8 期、前9期、前10 期、前11 期數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)樣本建模進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)以前11 期數(shù)據(jù)建立的模型預(yù)報(bào)效果最好，但是，它的建模序列也是最大的，達(dá)到11 維，而本文所做的滾動(dòng)預(yù)測(cè)所采用的樣本序列最大為7 維。若用前11 期的建模預(yù)測(cè)值與滾動(dòng)預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，顯然不合理。所以，這里選用以前8 期為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)所建立模型的預(yù)測(cè)值曲線與滾動(dòng)預(yù)測(cè)值曲線相比較。

由圖3 -5 可知:在1 到8 期內(nèi)，前8 期建模的預(yù)測(cè)值(常規(guī)預(yù)測(cè))與測(cè)量值相符合，但在9 到12 期間，滾動(dòng)預(yù)測(cè)都比前8 期建模的預(yù)測(cè)值更趨近于測(cè)量值。對(duì)于滾動(dòng)預(yù)測(cè)4 而言，在9 到12 期間中，它的預(yù)測(cè)效果最好，而在5 到8 期間預(yù)測(cè)的效果卻一般。就預(yù)報(bào)測(cè)量值的總體變化趨勢(shì)而言，滾動(dòng)預(yù)測(cè)4 更接近于實(shí)際情況，考慮到變形體的變形現(xiàn)象可能具有階段性，而滾動(dòng)預(yù)測(cè)是不斷的更新建模的樣本數(shù)據(jù)，這恰恰能夠?qū)⒆冃维F(xiàn)象的階段性吸納進(jìn)來(lái)，最終體現(xiàn)在模型的預(yù)測(cè)值上。

圖3 維度為5 的滾動(dòng)預(yù)測(cè)與以前8 期建模的預(yù)測(cè)曲線圖Fig．3 Graphs between 5 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

圖4 維度為6 的滾動(dòng)預(yù)測(cè)與以前8 期建模的預(yù)測(cè)曲線圖Fig．4 Graphs between 6 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

圖5 維度為7 的滾動(dòng)預(yù)測(cè)與以前8 期建模的預(yù)測(cè)曲線圖Fig．5 Graphs between 7 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

另外，從圖3 -5 中也可以看出:曲線圖體現(xiàn)出的規(guī)律與本文3．2．3．1 節(jié)與3．2．3．2 節(jié)中所得到得結(jié)論相符。另外，還可以看出，滾動(dòng)預(yù)測(cè)在短期預(yù)報(bào)中，只需要較少的數(shù)據(jù)就能獲得較高的預(yù)測(cè)精度，當(dāng)然，所選用的數(shù)據(jù)必須能體現(xiàn)變形體的變形現(xiàn)象的階段性。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)某高層建筑的變形監(jiān)測(cè)序列運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論方法建立不同的GM(1，1)對(duì)比分析不同模型的預(yù)報(bào)效果，筆者得出以下結(jié)論:

1)選擇的建模樣本數(shù)據(jù)越大，灰色系統(tǒng)理論模型的預(yù)測(cè)效果越好。

2)等維滾動(dòng)預(yù)測(cè)模型比常規(guī)的GM(1，1)建模更適合短期預(yù)測(cè)。在建模樣本維度相同，建模所選擇的期數(shù)僅有1 期不相同時(shí)，滾動(dòng)預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)效果要比常規(guī)預(yù)測(cè)好很多。

3)對(duì)于等維滾動(dòng)預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)，在維度相同的情況下，滾動(dòng)預(yù)測(cè)的次數(shù)越多，其總體上預(yù)測(cè)的效果越好。同時(shí)，也要注意，對(duì)單期預(yù)報(bào)來(lái)說(shuō)，并不是滾動(dòng)預(yù)測(cè)的次數(shù)越多預(yù)測(cè)值越好。

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