靳 暢，周 鋐，慕 樂

(同濟大學(xué)新能源汽車工程中心，上海 201804)

前言

近年來，對于動力總成系統(tǒng)振動噪聲的研究及優(yōu)化日趨成熟，動力總成對車內(nèi)振動噪聲的貢獻得到了有效控制。這使得其它振動源所引起的車內(nèi)振動噪聲顯得突出，其中路面激勵是重要的一方面。在粗糙路面激勵下，輪胎和車輪既會衰減路面激勵能量又能產(chǎn)生新的激勵，從而成為新的激勵源。路面通過接觸面對輪胎不斷進行局部壓縮和釋放，同時不斷地發(fā)生滾擠和釋放，共同形成包括垂向力Fz、側(cè)向力Fy、縱向力Fx、翻轉(zhuǎn)力矩Mx、牽引力矩My和回正力矩Mz的車輪軸頭六分力載荷，引起車內(nèi)的振動和噪聲。測量軸頭載荷對車內(nèi)振動噪聲的預(yù)測和控制具有重要的作用［1－2］。目前普遍采用車輪力傳感器獲取軸頭載荷信號，但是設(shè)備價格十分昂貴，安裝較復(fù)雜，需要輪輞適配等裝置。本文中嘗試采用基于頻響函數(shù)載荷識別方法，結(jié)合剛體動力學(xué)理論來間接估計軸頭力載荷。

1 基本理論

本文中闡述了頻響函數(shù)法估計車輪軸頭六分力的基本理論。提出頻響函數(shù)法識別車輪軸頭載荷，借助于剛體動力學(xué)的基本理論，采用附加剛體質(zhì)量的方法推導(dǎo)出響應(yīng)點到軸頭六分力的頻響函數(shù)，為實車工況下車輪軸頭載荷的估計提供理論依據(jù)。

1.1 頻響函數(shù)法載荷識別

國內(nèi)外研究人員對頻響函數(shù)法識別載荷的研究已進行多年。文獻［3］中首先采用頻域法通過加速度響應(yīng)識別了直升機主軸的動態(tài)載荷;文獻［4］中用動應(yīng)變測量作為已知信息并使用頻域方法識別動載荷，建立了較系統(tǒng)的頻域識別方法;文獻［5］中指出測量響應(yīng)的數(shù)目超過待識別載荷數(shù)目能夠在一定程度上減輕頻響函數(shù)病態(tài)和平滑濾掉噪聲產(chǎn)生的誤差;文獻［6］中研究了載荷位置未知情況下的載荷識別問題，采用的是頻響函數(shù)直接求逆法，在求逆過程中利用了奇異值分解技術(shù);文獻［7］中用頻域方法識別直升機的動載荷;文獻［8］中將隨機振動的虛擬激勵法做了逆向推廣，用確定性方式求解了平穩(wěn)隨機振動的荷載譜識別問題;文獻［9］中提出改進的頻響函數(shù)矩陣求逆算法使頻響函數(shù)由長方陣改為簡單的方陣形式，再將計算出的激勵力求平均;文獻［10］中用逆虛擬激勵法識別隨機載荷譜并用試驗進行了驗證。

對于振動噪聲的研究，在車輪軸頭載荷估計中，可以將懸架系統(tǒng)視為多輸入多輸出的線性系統(tǒng)［11］，輸入f是車輪作用在軸頭的力載荷，輸出X是懸架側(cè)的振動響應(yīng)，懸架系統(tǒng)的特性［H(ω)］是懸架側(cè)振動響應(yīng)到軸頭載荷的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)。對于線性時不變的系統(tǒng)，如果輸入是隨機且部分相關(guān)的，那么系統(tǒng)的響應(yīng)也是隨機且部分相關(guān)的。根據(jù)隨機振動理論［1］，輸入和輸出信號用功率譜密度表示，分別為［Gf(ω)］和［Gx(ω)］，響應(yīng)的自功率譜密度矩陣可以表示為

式中H表示共軛裝置。若已知響應(yīng)的自功率譜密度矩陣［Gx(ω)］和懸架系統(tǒng)的特性［H(ω)］，可以得到軸頭載荷［Gf(ω)］:

式中+表示頻響函數(shù)的偽逆矩陣。

1.2 剛體動力學(xué)

從式(2)可知，獲取軸頭力載荷的關(guān)鍵是對懸架系統(tǒng)頻響函數(shù)［H(ω)］的識別。本文中利用附加剛體質(zhì)量的慣性參數(shù)推導(dǎo)頻響函數(shù)［12］。以直角慣性坐標系(oxyz)為運動參考系，其原點o與靜止剛體的原點相重合。剛體的微振動可用質(zhì)心的3個移動 xc、yc、zc和繞參考軸的 3 個微轉(zhuǎn)動 θxc、θyc、θzc來描述。剛體上任一點 qi(x¨i，y¨i，z¨i)的運動加速度可以看作是剛體模態(tài)的疊加［13］，可表示為

式中:［qi］為i點運動加速度向量;［Ψi］為在小角度擾動下的剛體模態(tài)線性變換矩陣;［K］為模態(tài)向量參與向量。

設(shè)剛體模態(tài)以原點o的x、y、z3個方向的平動和繞x、y、z3個軸的轉(zhuǎn)動來描述，若將o點的剛體模態(tài)轉(zhuǎn)化為單位位移，則模態(tài)參與向量［K］就等同于o點在 x、y、z3個方向的平動和繞 x、y、z3 個軸的轉(zhuǎn)動，可表示為

式中:xci、yci和zci為 i點相對于 o 點的幾何坐標;x¨c、y¨c、z¨c、θ¨

xc、θ¨

yc、θ¨zc為剛體的運動加速度。

若已知模態(tài)參與向量［K］，就可以確定剛體上任一點的運動。為計算模態(tài)參與向量，至少需要6個運動加速度，因此應(yīng)至少獲得剛體上2個點的運動加速度向量。為提高數(shù)值計算的精度，使運動加速度響應(yīng)數(shù)大于模態(tài)參與向量的6個自由度，產(chǎn)生的增廣系統(tǒng)為

式(5)還可表示為

通過式(6)求得的模態(tài)參與向量［K］代表了剛體的全部運動特性。為減少測量信號產(chǎn)生的誤差，提高估計的準確度，引入一個計權(quán)矩陣［W］:

式中［W］為一個對角元素有0的單位陣，在計算模態(tài)參與向量［K］時，測量信號差的通道被剔除。

設(shè)模態(tài)參與向量［K］是由測得的剛體上的實際加速度響應(yīng)［qm］乘以線性變換矩陣［Ψ］的偽逆矩陣得到:

將計算得到的模態(tài)參與向量帶入式(6)，剛體上每一點的平動計算如下:

若每通道測量的信號都很理想，則計算得到的剛體上的響應(yīng)與測量的相一致。但由于實際信號測量存在誤差，為剔除測量信號差的通道，定義測量信號在頻域內(nèi)的歸一化誤差:

在所關(guān)心的頻率內(nèi)，每通道信號誤差的均值可定為

式中n為譜線數(shù)。平均誤差大的信號在模態(tài)參與向量的計算中應(yīng)予以剔除:

運用以上剛體動力學(xué)理論，在車輪軸頭處安裝一個已知質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的剛體質(zhì)量塊，通過剛體的慣性參數(shù)推導(dǎo)出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到作用于軸頭與剛體質(zhì)量安裝面中心軸頭力的頻響函數(shù)。

若有力作用在剛體質(zhì)量上m點，該點的隨體坐標轉(zhuǎn)化為作用于原點的廣義力［14］為

式中:［FTa］為原點o的6自由度合力向量;［Fam］為作用在剛體上m點的力向量;［Ωm］為小角度擾動下作用力和原點合力的線性變換矩陣。

式(13)可寫成如下形式:

式中:Fxm、Fym和Fzm為作用在剛體上m點的分力;xcm、ycm和zcm為m點相對于o點的幾何坐標。

當有多個力作用在剛體上時，原點合力的估計為

將式(15)寫成:

作用在原點的合力FTa與作用在剛體質(zhì)量上的軸頭六分力FR可推出剛體的運動方程:

式中:［M］為6×6的慣性參數(shù)矩陣;［A］為原點的加速度向量;［FTa］為外力在原點產(chǎn)生的合力;［FR］為作用在剛體質(zhì)量上的軸頭六分力。

式(17)展開寫為:

式中:M 為剛體的質(zhì)量;Ixx、Ixy、Ixz、Iyx、Iyy、Iyz、Izx、Izy和Izz為剛體的轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)。

1.3 懸架響應(yīng)點到軸頭力的頻響函數(shù)估計

根據(jù)式(12)，剛體質(zhì)量原點的加速度向量可以表示為

式中［am］為剛體質(zhì)量上的作用力產(chǎn)生的加速度響應(yīng)向量。

剛體上的作用力和加速度響應(yīng)的關(guān)系為

式中［Hm］為剛體質(zhì)量上響應(yīng)點到作用力的頻響函數(shù)矩陣。

式中［Hc］為6×6的頻響函數(shù)矩陣，剛體質(zhì)量原點的加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。

作用力到懸架側(cè)加速度響應(yīng)的頻響函數(shù)［Has］可以通過測量得到:

式中［s］為懸架側(cè)的加速度響應(yīng)。

將式(23)代入式(25)可以得到:

將式(24)代入式(26)，得到軸頭力與懸架側(cè)加速度響應(yīng)的關(guān)系式:

式中［Hs］為懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。

通過式(28)估計出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到作用于軸頭與剛體質(zhì)量安裝面中心的軸頭力之間的頻響函數(shù)，再根據(jù)式(2)可以確定軸頭六分力:

式中:［Gs］為實際工況下懸架側(cè)加速度響應(yīng)自功率譜密度;［Hs］為計算的懸架加速度響應(yīng)到軸頭力的頻響函數(shù);［Gf］為待估計的軸頭六分力的自功率譜密度。

2 試驗過程

2.1 頻響函數(shù)的測量

根據(jù)式(24)和式(28)，需要測量剛體質(zhì)量塊上加速度響應(yīng)到剛體質(zhì)量塊上激勵的頻響函數(shù)以及懸架側(cè)響應(yīng)點到剛體質(zhì)量塊上激勵的頻響函數(shù)，以此計算懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。采用錘擊法測量頻響函數(shù)，根據(jù)安裝、試驗要求以及剛體假設(shè)，設(shè)計一質(zhì)量塊如圖1所示，質(zhì)量塊應(yīng)避免與軸頭及懸架上其他部件產(chǎn)生干涉，非對稱及偏心的設(shè)計有利于角加速度的測量。另外，水平和垂直面保證加速度計的安裝和其坐標位置的準確性。為確保質(zhì)量塊的剛體性質(zhì)，材料選用鋁，厚度為20mm，慣性參數(shù)矩陣為

通過試驗得到其第一階固有頻率為1 672Hz。由于路面激勵引起的車內(nèi)振動噪聲頻率主要集中在150Hz以內(nèi)［15］，所以設(shè)計的質(zhì)量塊在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)滿足剛體的假設(shè)。拆除試驗車輛右前輪，通過5個車輪安裝螺栓將質(zhì)量塊緊固在轉(zhuǎn)子上如圖2所示。為保持頻響函數(shù)測量的自由邊界條件，采用如圖3所示的空氣彈簧支撐右前懸架。

根據(jù)式(5)，為了求得質(zhì)量塊原點的加速度和角加速度，需要質(zhì)量塊上至少有6個加速度響應(yīng)，為提高計算精度，在質(zhì)量塊上布置15個響應(yīng)點，位置如圖4中M1～M5所示。為了得到懸架側(cè)的加速度響應(yīng)，在懸架側(cè)5個點布置三向加速度計。根據(jù)式(15)可以計算出外力作用在原點處的合力，包括縱向力、側(cè)向力、垂向力、繞X的力矩、繞Y的力矩和繞Z的力矩6個分力，因此至少需要6個激勵點，為提高測量及數(shù)值計算精度，選擇14個激勵點，包括4個X向、5個Y向和5個Z向，均勻分布在質(zhì)量塊上，位置如圖5所示。試驗采用錘擊法，使用橡膠錘頭保證中低頻的激勵能量。每個激勵點敲擊5次，進行平均，得到質(zhì)量塊以及懸架側(cè)的頻響函數(shù)。

2.2 路面激勵工況的信號采集

測量實車在路面激勵工況下懸架側(cè)的加速度響應(yīng)自功率譜密度。同時安裝Kistler S635應(yīng)變式車輪力傳感器，測量軸頭六分力，以驗證頻響函數(shù)法估計軸頭載荷的有效性。試驗在試車場進行，選取比利時道路作為路面激勵，車速為40km/h。由于車輪力傳感器所定義的坐標原點O'與本文中所定義的坐標原點O在Y向(車輛橫向)不重合，如圖6所示，驗證六分力結(jié)果須進行坐標變換:

3 軸頭六分力的估計

3.1 誤差通道的剔除

若在2.1節(jié)中剛體質(zhì)量上M1～M5測點頻響函數(shù)的測量都很理想，那么根據(jù)式(9)，計算得到的剛體質(zhì)量加速度響應(yīng)應(yīng)與測量所得的相一致。但實際條件下會導(dǎo)致測量誤差的存在。表1列出了根據(jù)式(11)計算的質(zhì)量塊上響應(yīng)點的測量誤差，其中大于0.1(即誤差大于10%)的信號在后面的計算中通過計權(quán)矩陣［W］被剔除。

表1 質(zhì)量塊上響應(yīng)的平均測量誤差

3.2 頻響函數(shù)的計算

根據(jù)式(24)和式(28)并通過2.1節(jié)的試驗計算出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到車輪軸頭垂向力Fz、側(cè)向力Fy、縱向力Fx、翻轉(zhuǎn)力矩Mx、牽引力矩My和回正力矩Mz6個分力的頻響函數(shù)［Hs］。圖7和圖8為計算得到的懸架中3個響應(yīng)點到軸頭縱向力Fx、牽引力矩My的頻響函數(shù)。

3.3 軸頭六分力的計算驗證

通過3.2節(jié)計算的懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)矩陣以及道路試驗得到的實車工況下懸架側(cè)加速度響應(yīng)的自功率譜密度，根據(jù)式(29)估計出車輪軸頭六分力載荷，并與車輪力傳感器直接測量的軸頭力做了對比，如圖9～圖14所示。

計算結(jié)果中，側(cè)向力Fy、垂向力Fz和回正力矩Mz與實測值存在一定偏差，產(chǎn)生的原因如下:

(1)用頻響函數(shù)法進行載荷識別對于輸入輸出是基于線性關(guān)系的假設(shè)，在實際測量中，懸架系統(tǒng)存在一定的非線性導(dǎo)致識別產(chǎn)生誤差;

(2)實車道路試驗時懸架側(cè)加速度響應(yīng)被重新布置，與測量頻響函數(shù)時的位置會有一些偏差，造成結(jié)果的偏差;

(3)在頻響函數(shù)測量過程中，由于空間限制，不能完全保證力錘每次激勵的位置與方向上的一致性，這會影響頻響函數(shù)測量的結(jié)果;

(4)在計算頻響函數(shù)［Hs］的逆時，對于非方陣只能求其廣義逆，會產(chǎn)生誤差，固有頻率附近頻響函數(shù)的病態(tài)和頻響函數(shù)的測量誤差，會出現(xiàn)數(shù)值計算的不穩(wěn)定性，當頻響函數(shù)矩陣階次較高時，常常由于矩陣的條件數(shù)較差造成病態(tài)，使誤差增大。

4 結(jié)論

闡述了頻響函數(shù)法估計車輪軸頭六分力的理論及試驗。提出頻響函數(shù)法識別車輪軸頭力載荷，采用附加剛體質(zhì)量的方法推導(dǎo)出懸架響應(yīng)點到軸頭六分力的頻響函數(shù)。設(shè)計了附加質(zhì)量塊進行頻響函數(shù)的測量，并安裝車輪力傳感器在比利時道路進行實車工況懸架響應(yīng)及軸頭力信號采集，驗證了所論述估計方法的有效性。發(fā)現(xiàn)部分估計結(jié)果有一定偏差，從頻響函數(shù)法識別載荷的假設(shè)前提、傳感器布置、頻響函數(shù)測量以及其求逆計算等方面闡述了可能導(dǎo)致偏差的原因，為進一步的研究提供了參考。

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