凌明祥,王玨,寧菲,盧永剛,李明海,黎啟勝
(中國工程物理研究院總體工程研究所,四川 綿陽 621900)
精密離心機是標定、校準加速度計等慣性儀表在高過載條件下輸出性能及參數的測試設備,其產生的加速度準確度直接影響被測慣性儀表的檢定精度[1]。因此,提高精密離心機輸出加速度的準確度對慣導系統(tǒng)具有重要的理論意義及實用價值。
對于加速度相對標準不確定度為10-6量級的高精度精密離心機,在建立加速度載荷模型時除了考慮離心力、重力外,還需要分析由地球自轉而作用在加速度計上的科里奧利力以及月球和太陽的作用力。此外,精密離心機中存在的各種失準角使得上述各力產生的加速度在加速度計輸入軸上進行再分配,故輸入到加速度計上的加速度是上述各種力與各種失準角綜合作用的結果。文獻[2-4]建立的精密離心機輸出加速度載荷模型中含有科氏加速度,但沒有分析失準角的影響。以往研制精密離心機的精度指標相對較低,大多數學者未考慮月球和太陽對精密離心機的影響。但對于精度為10-6量級的高精度精密離心機,月球和太陽作用力的影響是否能忽略需要仔細研究。文獻[5]建立的精密離心機加速度載荷模型只考慮了地球和月球之間的萬有引力。實際上,月球對精密離心機的作用力是地球的萬有引力與地月之間的“慣性離心力”的合力[6]。筆者計算、分析了科里奧利力以及月球和太陽作用力對10-6量級精密離心機的影響,為相關精度的精密離心機研制提供參考。
加速度相對標準不確定度為10-6量級的精密離心機機械系統(tǒng)主要由基座、空氣軸承、轉盤、定位平臺以及加速度計夾具等組成。雖然是高精密加工與裝配,實際上轉盤徑向與本地水平面之間存在一定夾角,稱為轉盤徑向相對地面的俯仰失準角(圖1中的λ1)。加速度計輸入軸與轉盤徑向不平行,即出現加速度計的安裝失準角,用加速度計輸入軸相對轉盤的俯仰失準角λ2及加速度計輸入軸與轉盤徑向之間的方位失準角β來表示,如圖1所示。
以轉盤徑向與加速度計質量中心線的交點為坐標原點,轉盤徑向為x軸(向外為正)建立轉盤的空間坐標系o0-x0y0z0,其中z軸垂直于轉盤表面指向天空為正。理想情況下,待標定加速度計的輸入軸、擺軸和輸出軸分別沿轉盤徑向x0軸、y0軸和z0軸。當存在安裝失準角時,加速度計坐標系o1-x1y1z1可看作是在轉盤坐標系o0-x0y0z0基礎上,先繞y0軸旋轉λ2角度,再繞z0軸旋轉β角度后形成。采用齊次變換方法,加速度計坐標系相對于轉盤坐標系的姿態(tài)矩陣為:
圖1 俯仰失準角與方位失準角示意Fig.1 Misalignment angles
由于地球自轉,處于地球表面隨精密離心機一起旋轉的加速度計要受到科里奧利力的影響,根據達朗貝爾原理,該力對加速度計產生的加速度(在此簡稱科氏加速度)為[7]:
式中:Fc為科里奧利力;m為加速度計質量;v為加速度計的線速度;ωε為地球自轉角速度。
如圖2所示,設以角速度ω按逆時針方向旋轉的精密離心機位于北半球,其所在地的緯度為θ,轉盤徑向相對于地表的俯仰失準角為λ1。地球自轉角速度ωε可分解為與轉盤表面平行的分量ω1以及與轉盤表面垂直的分量ω2。根據矢量叉乘定義,的方向垂直于轉盤表面,的方向沿轉盤為徑向且指向外為正,大小為:
圖2 精密離心機上地球角速度分解Fig.2 Rotational angular velocity of the earth decomposing on precise centrifuge
式中:α為加速度計線速度與地球自轉角速度水平分量之間的夾角,α=ωt;R為精密離心機工作半徑。
由于俯仰失準角λ2和方位失準角β的影響,科氏加速度將在加速度計輸入軸上進行分配。由前文所建立的失準角齊次變換矩陣,加速度計三個軸上感知到的科氏加速度為:
忽略計算過程,當精密離心機沿逆時針方向旋轉時,輸入到加速度計輸入軸上的科氏加速度為:
當精密離心機順時針方向旋轉時,式(6)中aI取負。該式適用于各種加速度不確定度指標的精密離心機,但式中待測分量有3個,不僅會增加測量系統(tǒng)的復雜程度,同時還會增大加速度不確定度評定值,需要對其進行簡化。
四川地區(qū)緯度θ取30.7°,地球自轉角速度取ωε=7.29×10-5r/s,sinα取最大為1。對加速度范圍為(1~100)g的精密離心機,其角速度ω按a=R·ω2近似計算,得到ω的范圍為:3.13~31.3 r/s,取ω=3.13 r/s進行計算。為了簡化問題,λ1,λ2和β按相同的量值變化,記為λ,即:λ=λ1=λ2=β。
精密離心機的失準角一般不會超過100"。在該范圍內,相對科氏加速度a′1(科氏加速度除以精密離心機輸出加速度值)隨失準角λ變化的曲線關系如圖3所示,其量值在10-5數量級變化。因此,對于加速度相對標準不確定度為10-6量級的精密離心機,必須考慮科氏加速度的影響。
圖3 相對科氏加速度隨失準角的變化關系Fig.3 Coriolis acceleration curve with misalignment angle
若將式(6)的科氏加速度數學模型簡化為aI=2ωωεRsinθ,經計算失準角λ1,λ2和β小于100"時,該簡化運算產生的最大相對誤差不超過2×10-8,該相對誤差遠遠低于10-6。因此,按照失準角不會超過100"的假設,對于精度為10-6量級的精密離心機,加速度計輸入軸上感知到的科氏加速度可簡化為:
當精密離心機順時針旋轉時,式(7)取負。實際上,以上分析過程留有一定余量,即式(7)在一定程度上也適用于更大失準角以及更高加速度不確定度指標要求的精密離心機。
繞轉著的天體要受到相互之間的萬有引力和由于繞轉而產生的慣性離心力的作用[8]。就整個天體而言,萬有引力與慣性離心力平衡,但對于地球表面的質點此二力并不平衡。相對地月系統(tǒng),精密離心機可近似為質點,如圖4所示。精密離心機受到月球的作用力為月球與精密離心機之間的萬有引力與地月之間的慣性離心力的合力。
圖4 月球對精密離心機的作用力Fig.4 Moon force on precision centrifuge
由月球對精密離心機的作用力產生的加速度為:
式中:G為萬有引力常數;M為月球質量;H為地月中心的平均距離;x為月球中心至精密離心機的平均距離。
由于地月之間的距離遠大于地球半徑,因此月球對精密離心機的作用力產生的加速度可簡化為:
式中:h為地球半徑;“±”號表示精密離心機和月球在地球同側或異側;加速度am的方向隨著月球繞地球的旋轉而變化,當am的方向與待標定加速度計的輸入軸相同時,加速度計輸入軸上感知到的am最大,代入相關數據計算可得此時am的最大值約為1.11×10-6m/s2。一般精密離心機用于加速度計1g以上范圍的標校,因此對精度為10-6量級的精密離心機,可以忽略月球作用力對精密離心機的影響。
按照上述原理,同樣可計算出太陽對精密離心機的作用力大約是月球對精密離心機作用力的0.45倍。當月球、太陽以及精密離心機處于同一直線上時,月球和太陽對精密離心機的作用力最大,最大作用力產生的加速度不超過1.6×10-6m/s2。因此對精度為10-6量級的精密離心機,可以忽略月球和太陽作用力的影響。但對于更高精度的精密離心機則需要進一步分析月球和太陽作用力的影響。
考慮精密離心機中失準角的影響,采用齊次變換建立了加速度計輸入軸上感知的科氏加速度數學模型,并對科氏加速度進行了量級分析和簡化。計算結果表明必須考慮科里奧利力對加速度相對標準不確定度為10-6量級的精密離心機的影響。此外,計算出月球和太陽對精密離心機的作用合力產生的加速度最大不超過1.6×10-6m/s2。對于精度為10-6量級的精密離心機,可以忽略月球和太陽作用力的影響。
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