孫興華

變式指改變形式，即不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物的本質(zhì)特征不變的情況下，使事物的非本質(zhì)屬性不斷變化，以揭示其本質(zhì)屬性的過程. 變式分為：概念性變式和過程性變式.

概念性變式是反映事物本質(zhì)屬性的一種思維形式. 數(shù)學(xué)概念是反映思考對象空間形式、數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式. 數(shù)學(xué)概念可分為兩個重要方面：一是概念的“質(zhì)”，也就是概念的內(nèi)涵（對象的本質(zhì)屬性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象）. 根據(jù)概念的外延將概念性變式分為概念變式和非概念變式. 屬于概念的外延集合的變式稱為概念變式，其中又可以根據(jù)其在教學(xué)中的作用分為概念的標(biāo)準(zhǔn)變式和非標(biāo)準(zhǔn)變式. 標(biāo)準(zhǔn)變式有助于準(zhǔn)確理解概念，但局限了概念外延的范圍；非標(biāo)準(zhǔn)變式從多角度理解了概念，有助于概念的完整把握. 另一類是不屬于概念的外延集合，但與概念對象有某些共同的非本質(zhì)屬性的變式，稱為非概念變式. 非概念變式的形式很多，其中包括用于揭示概念對立面的反例變式. 非概念變式主要來源于概念之間的邏輯關(guān)系和學(xué)生常見的錯誤. 非概念變式，一方面可以幫助學(xué)生建立相關(guān)概念之間的聯(lián)系；另一方面也可以預(yù)防或者澄清學(xué)生在概念理解時(shí)可能出現(xiàn)的混淆，從而確切地把握概念變式的本質(zhì)特征. 概念性變式的目的是讓學(xué)生獲得對概念的多角度理解.

數(shù)學(xué)教學(xué)包括兩種類型的活動：一種是陳述性知識（即概念），另一種是程序性知識（即過程）. 由于程序性知識是動態(tài)的，采用靜止的概念性變式不能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程. 因此，顧泠沅先生在20世紀(jì)80年代初提出了“過程性變式”，將數(shù)學(xué)變式從概念教學(xué)推廣到活動經(jīng)驗(yàn)的教學(xué). 數(shù)學(xué)活動過程的基本特征是層次性. 它包含為解決問題而采用的一系列不同步驟和策略. 過程性變式的主要教學(xué)含義是在數(shù)學(xué)活動過程中，通過有層次的推進(jìn)，使學(xué)生分步解決問題，積累多種活動經(jīng)驗(yàn). 采用程序性變式，學(xué)生能夠解決問題，并形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法.

概念性變式與過程性變式的主要區(qū)別在于：概念性變式是靜態(tài)的，側(cè)重于對象之間的比較，通過概念對象和非概念對象的變異突出概念的本質(zhì)屬性及其固有的邊界；而過程性變式是動態(tài)的，側(cè)重于過程之間的聯(lián)系，通過對數(shù)學(xué)活動過程的析離或分割，在前后知識之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪戒亯|.

一、形成和明確數(shù)學(xué)概念的過程中，利用變式啟發(fā)學(xué)生積極參與觀察、分析、概括，培養(yǎng)準(zhǔn)確表達(dá)的言語能力

在概念思維中，人們形成一個概念就要在思維過程中對一類事物共有的本質(zhì)進(jìn)行概括. 這種概括是否明確，影響所形成的概念是否真實(shí)、正確. 可見，能否對事物屬性進(jìn)行正確概括是人的思維能力的重要組成部分. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生積極參與形成和明確概念的全過程，從中訓(xùn)練能正確概括的語言表達(dá)能力. 在這方面，變式訓(xùn)練能發(fā)揮積極作用.

在“成正比例的量”的教學(xué)過程中，因?yàn)橛脭?shù)據(jù)列舉的方法表示數(shù)量的變化形式單一枯燥，不能引起學(xué)生的關(guān)注；而圖表表示量的多少具有概括性，它能清楚地表示兩個量變化的關(guān)系，而且數(shù)據(jù)的無窮盡，一個省略號，任由學(xué)生想象，滲透無限變化的思想. 另外，在折線統(tǒng)計(jì)圖中，當(dāng)折線趨于平直時(shí)，也就是一個量的變化不能引起另一個量的變化，它們不相聯(lián)的關(guān)系也能直觀地在學(xué)生頭腦里想象出來，所以利用圖形讓學(xué)生感悟相關(guān)聯(lián)的量會達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果. 教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析每幅圖兩個量變化的關(guān)系，從而使學(xué)生由抽象的數(shù)據(jù)結(jié)合具體的圖例正確理解“什么是兩個相關(guān)聯(lián)的量”，滲透一定的函數(shù)思想. 另外，從語言的表達(dá)角度看，形象化的圖形適合小學(xué)生認(rèn)知心理，便于小學(xué)生組織語言從數(shù)學(xué)的角度觀察數(shù)據(jù)的變化，引發(fā)認(rèn)識的共鳴.

二、在理解數(shù)學(xué)規(guī)律的過程中，利用變式使學(xué)生深刻認(rèn)知各種規(guī)律之間的聯(lián)系，從而培養(yǎng)多向變通的語言理解能力

數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，還有賴于掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算律和公式去進(jìn)行推理和演算. 由于數(shù)學(xué)規(guī)律的實(shí)質(zhì)也是人們對于概念之間存在的本質(zhì)聯(lián)系的概括，所以數(shù)學(xué)規(guī)律的關(guān)鍵在于理解概念之間的聯(lián)系. 對于這種聯(lián)系的任何形式的機(jī)械的理解，是不能熟練、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律的根源，是缺乏多向變通思維能力的結(jié)果. 在運(yùn)算規(guī)律和公式的教學(xué)中，也可利用變式，指導(dǎo)學(xué)生深刻理解運(yùn)算律和公式中概念的多種聯(lián)系，融會貫通，促進(jìn)學(xué)生對運(yùn)算規(guī)律和公式的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言.

三、在解題教學(xué)中適當(dāng)應(yīng)用變式，促進(jìn)學(xué)生把握問題本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

解題教學(xué)中，變式常常表現(xiàn)為兩類：一類為解題變式，即“一題多解”；另一類為題型變式，即“一題多變”. 就是說，教學(xué)中可以變換題目的條件或結(jié)論，變換題目的表現(xiàn)形式，而題目本身的實(shí)質(zhì)不變. 用這種方式進(jìn)行教學(xué)，可防止學(xué)生對所學(xué)的基礎(chǔ)知識或已掌握的基本技能陷于僵化，所以在教學(xué)中可借變式幫助學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練，更好地掌握、理解數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)思想解決問題.

四、運(yùn)用變式教學(xué)，可以確保學(xué)生參與教學(xué)活動的持續(xù)的熱情

課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，因此我們的教學(xué)要有吸引力，要能讓學(xué)生帶著自己已有的知識經(jīng)驗(yàn)參與其中，成為課堂學(xué)習(xí)的主人，這也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢. 而變式教學(xué)就可以注重教材前后知識的銜接，題目設(shè)計(jì)由易到難，形成一定的層次，循序漸進(jìn)，通過對各題的分析，概括出各題中共同的、本質(zhì)的東西，以達(dá)到由一題向另一題的遷移、對一般原理的進(jìn)一步認(rèn)識的目的，讓我們的數(shù)學(xué)活動有層次地推進(jìn)，永遠(yuǎn)給人以新鮮的感覺. 這樣能夠喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，產(chǎn)生主動參與的動力，保持其參與教學(xué)活動的興趣和熱情.

當(dāng)然，我們要抓住學(xué)生的心扉，還要以課堂教學(xué)內(nèi)容的新、奇，問題的挑戰(zhàn)性等不斷吸引學(xué)生，所以教學(xué)中教師不斷變更觀察問題的角度、同類問題的難易度等過程性變式，以此來刺激學(xué)生的感官，確保學(xué)生參與教學(xué)活動的持續(xù)的熱情，讓學(xué)生暢所欲言，發(fā)展學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的發(fā)展.