宋利軍

重點難點

本部分內(nèi)容包括直線與平面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì).

重點：①理解線面平行的定義，掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握面面平行的判定定理和性質(zhì)定理. ②能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.

難點：掌握“線線平行”“線面平行”和“面面平行”這三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

方法突破

線面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找出一條直線與這條直線平行，就可斷定這條直線必與這個平面平行. 線面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面與已知平面相交，其交線必與已知直線平行. 兩個平面平行問題的判定與證明，是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題，即“線面平行，則面面平行”，必須注意這里的“線面”是指一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面.

1. 判定線線平行的三種方法

（1）公理4：證明兩直線同時平行于第三條直線.

（2）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，且經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線與交線平行.

推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m l∥m.

（3）平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.

推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b a∥b.

2. 判定線面平行的三種方法

（1）根據(jù)線面平行的判定定理：如果不在某個平面內(nèi)的一條直線與該平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行.

推理模式：l α，m α，l∥m l∥α.

使用定理時，一定要說明“平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行”，若不注明該條件，則證明過程就不完備.

（2）面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面.

推理模式：α∥β，a α a∥β.

（3）向量法（詳見例4）.

3. 判定面面平行的三種方法

（1）根據(jù)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.

推理模式：a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α β∥α.

（2）平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.

推理模式：a∩b=P，a α，b α，a′∩b′=P′，a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′ α∥β.

（3）向量法：如果兩個不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定兩個平面平行.

典例精講

例1 ?（2014年高考遼寧卷）已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面. 下列說法正確的是（ ? ?）

A. 若m∥α，n∥α，則m∥n

B. 若m⊥α，n α，則m⊥n

C. 若m⊥α，m⊥n，則n∥α

D. 若m∥α，m⊥n，則n⊥α

思索 ?本題主要考查空間線、面的位置關(guān)系，意在考查同學們的空間想象能力和推理論證能力.

解答此類問題，首先是要對概念認識清楚、定理理解透徹，其次是要具備較強的空間想象能力，能通過對題設(shè)條件的分析想象出所研究的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系，從而做出正確判斷和簡單的論證.

破解 ?選項A中，平行于同一平面的兩條直線可以平行、相交、異面，故選項A是錯誤的;選項B中，由線面垂直的性質(zhì)知：直線垂直于平面，則直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，故選項B正確;選項C中，n可能在平面α內(nèi)，故選項C錯誤;選項D中，兩直線垂直，其中一條直線與一個平面平行，則另一條直線和這個平面可以平行、相交，也可以在平面內(nèi)，故選項D錯誤. 本題也可以通過舉反例的方式來說明其他選項是錯誤的，從而得到正確的選項. 選B.

例2 ?如圖1，在三棱錐S-ABC中，AS=AB. 過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是側(cè)棱SA，SC的中點. 求證：平面EFG∥平面ABC.

圖1

思索 ?證明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG內(nèi)找到兩條相交直線與平面ABC平行，而線面平行的判定定理告訴我們，要證明線面平行，需要轉(zhuǎn)化為證明線線平行. 因此，證明該題的關(guān)鍵是在平面內(nèi)最為恰當?shù)奈恢谜页鲆粭l直線與該直線平行.

破解 ?（1）因為E，G分別是側(cè)棱SA，SC的中點，所以EG∥AC.

因為AC 平面ABC，EG 平面ABC，所以EG∥平面ABC.

因為AS=AB，AF⊥SB，所以F為SB的中點，所以EF∥AB.

因為AB 平面ABC，EF 平面ABC，所以EF∥平面ABC.

因為EF∩EG=E，EF，EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

例3 ?（2014年高考湖北卷）如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點. 求證：

（1）直線BC1∥平面EFPQ;

（2）直線AC1⊥平面PQMN.

圖2

思索 ?本題主要考查空間線線和線面位置關(guān)系等知識，意在考查同學們的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.

（1）要證直線BC1∥平面EFPQ，只要在平面EFPQ內(nèi)找一條直線與BC1平行即可，F(xiàn)，P分別是AD，DD1的中點，易證FP∥AD1，而AD1∥BC1，即得線面平行;

（2）要證線面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，只要在平面PQMN中找兩條相交直線與AC1垂直即可，從條件看易證BD⊥平面ACC1，再由線面垂直的性質(zhì)得到BD⊥AC1，進而證明MN⊥AC1;同理可證PN⊥AC1，從而證明線面垂直.

破解 （1）如圖3，連結(jié)AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1，因為F，P分別是AD，DD1的中點，所以FP∥AD1. 從而BC1∥FP.

而FP 平面EFPQ，且BC ?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.

（2）如圖3，連結(jié)AC，BD，則AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1. 而AC1 平面ACC1，所以BD⊥AC1. 連結(jié)B1D1，因為M，N分別是A1B1，A1D1的中點，所以MN∥B1D1，故MN∥BD，從而MN⊥AC1. 同理可證PN⊥AC1. 又PN∩MN=N，所以直線AC1⊥平面PQMN.

圖3

例4 ?如圖4，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是線段EF的中點. 求證：AM∥平面BDE.

圖4

思索 ?設(shè)AC與BD相交于G，連結(jié)EG，證明四邊形AGEM是平行四邊形，可得EG∥AM，利用線面平行的判定定理可證.

破解 ?設(shè)AC與BD相交于G，連結(jié)EG，則G是AC的中點. 因為M是線段EF的中點，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四邊形AGEM是平行四邊形，所以EG∥AM. 因為AM不在平面BDE內(nèi)，EG在平面BDE內(nèi)，所以AM∥平面BDE.

變式練習

1. 下列命題正確的有_______.（填序號）

（1）若m α，n α，m，n是異面直線，則n∥α;

（2）若m α，n α，m，n是異面直線，則n與α相交;

（3）若m α，n∥α，m，n共面，則m∥n;

（4）若m∥α，n∥α，則m∥n.

2. 如圖5，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=CA= ，AD=CD=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD. 若E為線段BC的中點，求證：A1E∥平面DCC1D1.

圖5

3. 如圖6，在三棱錐S-ABC中，M，N，P分別為棱SA，SB，SC的中點，求證：平面MNP∥平面ABC.

圖6

4. 如圖7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D為AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1.

圖7

參考答案

1. ③ ?①中n與α可以相交，只要不過m上的點就行;②中n α包含n與α相交或平行;③正確，由線面平行的性質(zhì)即可得到;④平行于同一平面的兩直線異面或平行.

2. 因為AB=BC=CA= ，DA=DC=1，所以∠BAC=∠BCA=60°，∠DCA=30°. 連結(jié)AE，因為E為BC的中點，所以∠EAC=30°.所以∠EAC=∠DCA，所以AE∥DC.因為DC 平面DCC1D1，AE 平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1. 因為棱柱ABCD-A1B1C1D1，所以AA1∥DD1，因為DD1 平面DCC 1D1，AA1 平面DCC1D1，所以AA1∥平面DCC1D1.因為AA1 平面AA1E，AE 平面AA1E，AA1∩AE=A，所以平面A1AE∥平面DCC1D1. 因為A1E 平面AA1E，所以A1E∥平面DCC1D1.

3. 因為M，N，P分別為棱SA，SB，SC的中點，所以MN∥AB，PN∥BC. 因為MN 平面ABC，AB 平面ABC，PN 平面ABC，BC 平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因為MN∩PN=N，MN，PN 平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.

4. 證法一（利用線面平行的判定定理）：設(shè)C1B與CB1的交點為E，由已知得E為C1B的中點. 連結(jié)AC1，DE，則OE ?AC1. 又DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.

證法二（利用共線向量定理證明線面平行）：因為直三棱柱ABC-A1B1C1底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以AC，BC，CC1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由已知可得C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D ，2，0. 設(shè)CB1與C1B的交點為E，則E（0，2，2），因為 =- ，0，2， =（-3，0，4），所以 = ?，所以 ∥ . 因為DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.

證法三（利用法向量證明線面平行）：因為直三棱柱ABC-A1B1C1底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以 ， ， 為正交基底，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B （0，4，4），D ，2，0，故 =（-3，0，4）， =（0，4，4）， = ，2，0. 設(shè)平面CDB1的法向量為n=（x，y，z），則4y+4z=0， x+2y=0，故有n=（4，-3，3），所以 ·n=0. 因此 ⊥n. 又AC1不在平面CDB1內(nèi)，從而有AC1∥平面CDB1.