胡君嫦

運(yùn)用變換思想解題方法一直都是中學(xué)數(shù)學(xué)考試對(duì)數(shù)學(xué)解題思想方法考查的一個(gè)重要考點(diǎn)和中學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)解題手段，也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文將重點(diǎn)歸納總結(jié)變換思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的具體方面的應(yīng)用，并運(yùn)用實(shí)例展示變換法的靈活使用.

線性變換是關(guān)于變量的一次變換，應(yīng)用線性變換解決不等式問(wèn)題，可以使不等式問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易.常見(jiàn)的線性變換的方法有：均值線性變換、增值線性變換、幾何線性變換、和差線性變換、比值線性變換、分式線性變換；本文主要討論前面三種線性變換方法.

1.均值線性變換

在不等式的證明中，若含有多個(gè)實(shí)數(shù)的和等于一個(gè)常數(shù)，即a1+a2+a3+…+an=k，可引入?yún)?shù)t1，t2，…，tn，使a1=kn+t1，a2=kn+t2，…an=kn+tn，其中t1+t2+…+tn=0.我們把這種變換稱為均值線性變換.

例1已知a，b∈R且a+b=1，求證： a+22+b+22≥252.

證明∵a，b∈R且a+b=1，∴設(shè)a=12+t，b=12-tt∈R.

則a+22+b+22=12+t+22+12-t+22

=252+2t2≥252，即不等式得證.

小結(jié)在中學(xué)數(shù)學(xué)里，均值不等式常用到以下結(jié)論：11a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22.

2.增值線性變換

如果不等式中的已知條件存在若干實(shí)數(shù)，那么可以將各個(gè)較大的實(shí)數(shù)表示成其中an≥an-1≥…≥a2≥a1≥a0最小的數(shù)加上某個(gè)非負(fù)的差數(shù)，再代入有關(guān)的不等式中進(jìn)行論證.若，則可令an=a0+tn，an-1=a0+tn-1，…，a2=a0+t2，a1=a0+t1，其中tn≥tn-1≥…≥t2≥t1，并稱它們?yōu)樵隽?，我們把這種變換稱為增量線性變換.

例2若a≥b≥0，求證：2ab-b2+a2-b2≥a.

證明∵a≥b≥0，設(shè)a=b+hh≥0，

∴2bb+h-b2+b+h2-b2=b2+2bh+h2+2bh ≥b+h=a，得證.

小結(jié)如何利用已知不等式a≥b≥0是證明本題的關(guān)鍵，因?yàn)閍≥b，a-b≥0，所以設(shè)a-b=h（h≥0），a=b+h（h≥0），這樣就把已知的不等式關(guān)系換成相等關(guān)系.

3.幾何線性變換

本文主要討論關(guān)于三角形的幾何線性變換，如：設(shè)a，b，c是三角形的邊長(zhǎng)，由于

三角形總存在內(nèi)切圓，可令a=z+y，b=x+z，c=x+y（其中x，y，z∈R），把幾何不等式化為代數(shù)不等式，這是解幾何不等式的常見(jiàn)方法.

例3已知a，b，c是△ABC三邊的長(zhǎng)，求證：a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+c2a2.

證明作△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)D，E，F(xiàn)為切點(diǎn).令

x=AD，y=BD，z=CE（其中x，y，z∈R+），∴a=z+y，b=x+z，c=x+y，則原不

等式化為y2z+z+z2x+x+x2y+y≥2x+2y+2z的形式.

又∵x，y，z∈R+，由均值不等式可得

y2z+z≥2y，z2x+x≥2z，x2y+y≥2x，

∴y2z+z+z2x+x+x2y+y≥2x+2y+2z成立.

故原不等式成立，得證.

小結(jié)我們利用幾何線性變換把幾何不等式化為代數(shù)不等式，這是解幾何不等式的常見(jiàn)方法.充分利用圖形的幾何性質(zhì)，把握數(shù)與形的聯(lián)系，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.