張淑萍 趙桂欽

引言：研究了標準動態(tài)矩陣控制（DMC）算法在模型嚴重失配情形下的性能下降問題，然后針對多模型不確定性對象，提出了一種改進的魯棒DMC算法——基于多模型加權(quán)優(yōu)化的魯棒DMC算法（RDMC）.將標準預(yù)測控制算法的三個基本原理，即預(yù)測模型，滾動優(yōu)化和反饋校正，擴展為多模型預(yù)測，多模型加權(quán)滾動優(yōu)化，多模型反饋校正及反饋因子的在線校正四個部分.還針對Wood/Berry乙醇—水雙組分精餾塔模型做了詳細的仿真研究。

動態(tài)矩陣控制（DMC）在過程工業(yè)上的應(yīng)用獲得了極大的成功，也是目前應(yīng)用最為廣泛和商業(yè)化實現(xiàn)最好的優(yōu)化算法[1，2].標準DMC算法采用的是標稱模型，即通過現(xiàn)場測試或機理分析得到的標稱階躍響應(yīng)模型，理論分析和工程實踐都證實在所用模型與實際過程模型很接近時，控制效果是良好的，但是當模型和實際對象相差比較大，其控制效果將大打折扣.實際工業(yè)過程中，要獲得一個工業(yè)過程或裝置的準確數(shù)學模型幾乎是不可能的，何況許多對象本身就具有時變性和非線性.面對復雜的工業(yè)對象，如何有效地將許多成熟的控制算法應(yīng)用上去，是非常有意義和富有挑戰(zhàn)性的。

我們針對某煉油廠進行多變量約束優(yōu)化控制研究時發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)的過程都是具有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié).就控制而言，這樣的對象應(yīng)該是十分簡單的，而事實卻是，對整個裝置而言，對象的緩慢時變性和工作點的頻繁變動是不可避免的，特別是在高度競爭的市場經(jīng)濟環(huán)境下，根據(jù)庫存、價格、季節(jié)等因素的變化，定期或不定期地調(diào)整產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，改變局部或整個裝置的工作點，已成為企業(yè)生存的必由之路.這就要求控制和優(yōu)化算法都必須具備某種程度的魯棒性能，以解決上述變化產(chǎn)生的模型不確定性問題.本文正是從這些實際問題入手，結(jié)合現(xiàn)有的理論成果，提出了基于多模型加權(quán)優(yōu)化的多變量魯棒DMC算法。

一、基于多模型加權(quán)優(yōu)化的多變量RDMC算法

大多數(shù)魯棒控制算法中，對參數(shù)攝動系統(tǒng)進行魯棒優(yōu)化設(shè)計時，總是針對參數(shù)域中某一關(guān)鍵性的點進行的，如標稱點或參數(shù)攝動的邊界點等，這樣只能獲得該點意義上的最優(yōu)控制，很難兼顧系統(tǒng)[]在參數(shù)域其他點的性能.標稱法和最小最大法是這類方法中常見的兩種方法.實際應(yīng)用中，往往要求在不犧牲性能的條件下，能同時兼顧多個工作點，這對于采用單一模型的算法來說是很困難的.有文獻提出在概率描述框架下，通過對系統(tǒng)的不同參數(shù)攝動狀態(tài)進行概率加權(quán)綜合二次性能指標尋優(yōu)，實現(xiàn)整個參數(shù)域的一體化設(shè)計[3].這種基于概率魯棒優(yōu)化的思想對于時變特征明顯、而且模型參數(shù)攝動概率與優(yōu)化計算中采用的概率相吻合的情形，總體優(yōu)化性能是好的，在統(tǒng)計意義上可以說兼?zhèn)淞藰朔Q法和最大最小法的優(yōu)點.但問題在于，對于實際工業(yè)過程，現(xiàn)場的變化十分復雜，模型的不確定性很難用一成不變的規(guī)律來描述.例如在催化裂化裝置中，原料油成分的改變、催化劑的改變、工作點的轉(zhuǎn)移、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的改變等因素，都可以成為控制對象模型參數(shù)攝動的原因.因而如果對象模型的攝動因素不用某種在線機制來不斷地更新和調(diào)整，那么，得到的所謂魯棒優(yōu)化控制器仍然經(jīng)不起現(xiàn)場實際實用考驗的。

基于多模型加權(quán)優(yōu)化的RDMC算法，在借鑒了上述概率魯棒優(yōu)化思想的基礎(chǔ)上，將經(jīng)典DMC中的模型預(yù)測和滾動優(yōu)化分別擴展為多模型預(yù)測和多模型加權(quán)優(yōu)化，并且加入了多模型優(yōu)化加權(quán)因子的在線自校正機制.在多個預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，通過大小不同的加權(quán)因子對不同的預(yù)測模型給予不同程度的重視，以反映各模型對未來時刻輸出的可能貢獻。

（一）多模型預(yù)測

對于維線性多變量系統(tǒng)的預(yù)測輸出可通過單變量預(yù)測的輸出疊加而成.假設(shè)不確定性系統(tǒng)是由L個確定性系統(tǒng)的某種組合. 那么，在第j個輸入分量的一步增量作用下，第i個輸出分量在第l個基模型下的N步預(yù)測輸出為

， （1）

其中： ；

；

.

這里表示輸出對輸入的階躍響應(yīng)系數(shù)矢量， 和分別為k時刻控制作用不變和變化時的未來預(yù)測輸出矢量，N為模型長度。

同樣，我們可以得到連續(xù)M個輸入增量作用下，L個基模型的P步預(yù)測輸出.下面用向量形式給出預(yù)測模型的表達式：

， （2）

其中：

以上各表達式中，，且P ≤ N.

（二）多模型加權(quán)滾動優(yōu)化

多變量情形下的多模型加權(quán)滾動優(yōu)化性能指標可用下式表示：

； （3）

其中，， ，為模型優(yōu)化加權(quán)系數(shù)，先假定它是事先根據(jù)經(jīng)驗確定的，后面我們會看到，優(yōu)化加權(quán)系數(shù)可以通過自校正算法在線獲得.上式中的其余向量和矩陣為：

不難發(fā)現(xiàn)，誤差權(quán)陣Q和控制權(quán)陣R相對各基模型是不變的，這是因為Q和R代表的意義是未來各個時刻輸出偏差和控制增量的加權(quán)，僅與時刻有關(guān)，故沒必要將其設(shè)為依基模型而變的.各基模型的重要性體現(xiàn)在模型的優(yōu)化加權(quán)系數(shù)的權(quán)值中。

在不考慮約束的情況下，由預(yù)測模型（2）可求出使性能指標（3）最優(yōu)的未來M個控制增量構(gòu)成的向量為：

； （4）

其中，.盡管每次優(yōu)化時都計算出未來M個控制增量，但僅執(zhí)行當前時刻的控制增量：

， （5）

其中， .

（三）多模型反饋校正

反饋校正是根據(jù)上一時刻對當前時刻的預(yù)測輸出與當前時刻的采樣值之差經(jīng)過加權(quán)來求出的，由于采用了多模型結(jié)構(gòu)，所以共有L組預(yù)測輸出，同樣就會有L組誤差向量：

. （6）

有了誤差向量，就可以對未來的預(yù)測初始值做出校正：

， （7）

其中，H為校正矩陣，通常取為塊對角陣， S為p個移位矩陣構(gòu)成的塊對角矩陣，即

；；

這里，；.

（四）優(yōu)化加權(quán)因子在線自校正

首先，我們要在對各個基模型過去若干個周期的預(yù)測誤差進行分析的基礎(chǔ)上，給出MIMO情形下各基模型與實際對象之間的距離的定義。

定義 對于維離散時間系統(tǒng)，假設(shè)描述它的模型為，那么，在時刻k，模型與實際對象之間在過去共T個間隔上的距離可以用下式來表示

. （8）

利用上面的定義， 我們可以得到，在多模型框架下，每個時刻RDMC中每個基模型與實際對象之間的距離：

； （9）

其中，.在上述定義的基礎(chǔ)上，可以得到如下形式的優(yōu)化加權(quán)因子校正表達式：

. （10）

二、Wood/Berry精餾塔仿真實例

在石化工業(yè)裝置中，精餾過程的應(yīng)用是極為廣泛的.下面的仿真研究中，我們采用一個被文獻中廣泛采用的試驗性的乙醇/水系統(tǒng)精餾塔模型來作研究，精餾塔模型為：

.

模型中各變量的物理意義如表1所示，時間單位為分鐘.采樣周期取1分鐘.

表1 Wood/Berry 乙醇/水雙組分精餾塔變量總匯

Table 1 The Wood/Gerry ethanol/water two-element distillation column variables

在真實系統(tǒng)中，模型不可能絕對精確，假設(shè)幾種失配情形下輸入輸出傳遞函數(shù)陣分別為：

，，

，.

設(shè)實際對象的輸入輸出傳遞函數(shù)陣為，假設(shè)不考慮進料的干擾，即認為進料量固定在2.45 lb/min 不變，控制要求為（1） 塔頂成分由穩(wěn)態(tài)值96.25%上升到新的穩(wěn)態(tài)值96.85%；（2） 塔底成分由穩(wěn)態(tài)值0.5%降到新的穩(wěn)態(tài)值0.4%.

我們用基于多模型加權(quán)優(yōu)化的RDMC對Wood/Berry 精餾塔進行控制，各控制參數(shù)為： ，，，

L=4， N=60， P=30， M=10.

我們共做了6組仿實驗來比較各種控制算法的性能. 仿真結(jié)果如圖1和圖2所示，圖中各曲線所對應(yīng)的控制算法如下：（1）實線， 經(jīng)過自校正的RDMC；（2）短劃線， 平均取值（各取0.25）的RDMC；（3）點線， 標稱模型采用G1（s）的DMC；（4）點-短劃線， 標稱模型采用G2（s）的DMC；（5）標稱模型采用G3（s）的DMC；（6）雙點-長劃線， 標稱模型采用G4（s）的DMC.

經(jīng)過比較之后可以發(fā)現(xiàn)， 在各種模型失配情形下， 經(jīng)過自校正的RDMC具有最佳的控制效果.在多次的實驗之中， 我們還發(fā)現(xiàn)， 無論的初始值如何選取， 在沒有外來強制干擾的情形下， 校正后的值總是趨近于某組基本恒定的數(shù)值， 這正說明本文提出的自校正算法的數(shù)值穩(wěn)定性， 同時也表明，前面關(guān)于模型與對象之間的距離的定義，能夠基本真實地反映各基模型同真實對象的之間的“差距”或失配程度。

三、結(jié)論

本文針對多模型不確定性對象，提出并詳細描述了一種改進的魯棒DMC算法——基于多模型加權(quán)優(yōu)化的RDMC.并將該算法應(yīng)用在Wood/Berry乙醇—水雙組分精餾塔模型做了詳細的仿真研究.仿真結(jié)果表明，基于多模型加權(quán)優(yōu)化的RDMC，較好地解決了多模型失配模式下DMC算法的性能魯棒性問題，這一魯棒DMC控制算法特別適合于解決石化裝置中那些因切換工作點，調(diào)整產(chǎn)品結(jié)構(gòu)導致對象特性遷移產(chǎn)生模型失配而導致的控制品質(zhì)下降問題。

參考文獻

[1] Cutler C R， Ramaker B L. Dynamic Matrix Control -- A Computer Control Algorithm. AICHE National Mtg.， Houston， Texas， 1979， WP5-B.

[2] 竺建敏. 高級過程控制的閉環(huán)實時優(yōu)化. 石油煉制與化工， 1995， 26（7）： 42-48.

[3] 岳紅， 蔣慰孫， 顧幸生. 概率魯棒LQ優(yōu)化設(shè)計. 控制與決策， 1997，12（1）：31-36.

（作者單位：1.內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學院；2.上海交通大學）

作者簡介

張淑萍（1968-），女，高級工程師。

趙桂欽（1970-），女，副教授。