【摘要】數(shù)學(xué)與哲學(xué)是密切聯(lián)系、相輔相成的.數(shù)學(xué)理論中蘊(yùn)含了豐富的哲學(xué)思想，哲學(xué)思想又指導(dǎo)著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展.研究哲學(xué)思想和數(shù)學(xué)理論的聯(lián)系，是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的需要，也是研究數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)的需要.以微積分為例，探討微積分中豐富、典型、深刻的辯證法思想，用哲學(xué)思想來(lái)指導(dǎo)教學(xué)和學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生站在較高的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的觀察能力、思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】哲學(xué)；思想；微積分；理論；聯(lián)系

一、 哲學(xué)與數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，哲學(xué)是研究客觀世界的本質(zhì)及規(guī)律的科學(xué)，是自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的概括和總結(jié)，是理論化、系統(tǒng)化的世界觀和方法論.

數(shù)學(xué)從量的角度分析問(wèn)題，哲學(xué)從質(zhì)的角度分析問(wèn)題.質(zhì)與量是表征事物基本規(guī)定性的哲學(xué)范疇，量是質(zhì)的等級(jí)、規(guī)模、范圍、排列次序和結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)，是事物可以由數(shù)和形來(lái)表示的規(guī)定性.事物是質(zhì)與量的統(tǒng)一體，質(zhì)的內(nèi)容必須借助于一定的量來(lái)表現(xiàn).數(shù)學(xué)是研究量的科學(xué)，通過(guò)量的分析，揭示事物的性質(zhì)特征.哲學(xué)是人類思維的結(jié)晶和提煉，浩瀚星云，蒼茫大地，蕓蕓眾生，陰陽(yáng)和諧，無(wú)一不在其視野中，無(wú)一不被其包羅收容.

數(shù)學(xué)和哲學(xué)具有共同的特點(diǎn)，即高度的抽象性、廣泛的應(yīng)用性和邏輯的嚴(yán)密性.

數(shù)學(xué)與哲學(xué)聯(lián)系緊密、交相輝映、齊驅(qū)并進(jìn).數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著哲學(xué)，并以其成果推動(dòng)著人類哲學(xué)思想的發(fā)展，同時(shí)哲學(xué)作為世界觀，為數(shù)學(xué)發(fā)展提供指導(dǎo)作用，哲學(xué)作為方法論，為數(shù)學(xué)提供認(rèn)識(shí)工具和探索工具.

哲學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，數(shù)學(xué)家B.Demollins說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們就無(wú)法看穿哲學(xué)的深度；沒(méi)有哲學(xué)，人們也無(wú)法看穿數(shù)學(xué)的深度；而若沒(méi)有兩者，人們就什么也看不透.”迪卡爾說(shuō)：“哲學(xué)與數(shù)學(xué)的統(tǒng)一：美麗的夢(mèng).”

二、哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家

縱觀數(shù)學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展歷史可以看到，推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的巨匠往往是哲學(xué)家，又有好多哲學(xué)家精通數(shù)學(xué).弗雷格說(shuō)過(guò)：“一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，至少是半個(gè)哲學(xué)家；一個(gè)好的哲學(xué)家，至少是半個(gè)數(shù)學(xué)家.”在他們眼里，數(shù)學(xué)與哲學(xué)是同宗同源的.

西方第一位哲學(xué)家古希臘的泰勒斯是希臘幾何學(xué)的鼻祖.古希臘的畢達(dá)哥拉斯，發(fā)現(xiàn)了勾股定理，得出了“萬(wàn)物皆數(shù)”的著名哲學(xué)命題.柏拉圖對(duì)嚴(yán)密定義和邏輯證明的堅(jiān)持，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)化，他相信數(shù)是一種獨(dú)特的客觀存在，由此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)上的“柏拉圖主義”.亞里士多德，是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人，為幾何學(xué)奠定了鞏固的基礎(chǔ)，他的公理化思想促進(jìn)了幾何學(xué)的誕生和發(fā)展.哲學(xué)家赫拉克利特提出的樸素的辯證法思想促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.笛卡兒于17世紀(jì)上半葉劃時(shí)代地在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了變量概念和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，被譽(yù)為是“數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，導(dǎo)致了微積分的誕生，進(jìn)而推動(dòng)了自然科學(xué)的發(fā)展.萊布尼茨創(chuàng)建了微積分，并發(fā)明了優(yōu)越的微積分符號(hào)，他在哲學(xué)上是客觀唯心主義者，“單子論”是他的著名哲學(xué)觀點(diǎn).哥白尼的日心說(shuō)揭開(kāi)了現(xiàn)代科學(xué)的序幕，支撐他信念的是畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)化哲學(xué)：萬(wàn)物皆數(shù)，天體是永恒神圣的，必然按照最完美和最和諧的圓周做勻速運(yùn)動(dòng).希爾伯特直言不諱，他關(guān)于無(wú)限的形式主義思想來(lái)自康德的哲學(xué)觀念.羅素從分析哲學(xué)的基本立場(chǎng)出發(fā)，堅(jiān)持邏輯即數(shù)學(xué)的青年時(shí)代，數(shù)學(xué)即邏輯的壯年時(shí)代的觀點(diǎn).

牛頓和萊布尼茨建立了微積分，找到了描述無(wú)限和運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方式.牛頓的微積分概念本身就是一種哲學(xué)觀念，通過(guò)從幾何切線、瞬時(shí)速度等直觀問(wèn)題的抽象提煉，牛頓完全從哲學(xué)高度把握住了無(wú)限小的零和非零的辯證關(guān)系.這是一種高屋建瓴的概括，入木三分的洞察.牛頓的思想是思辨哲學(xué)的高峰，不僅是在數(shù)學(xué)上發(fā)展了一種學(xué)說(shuō)，形成一整套行之有效的算法，如極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分計(jì)算等，而且從哲學(xué)范疇上講，無(wú)限變動(dòng)問(wèn)題借助于強(qiáng)有力的分析數(shù)學(xué)思想得以在有限的范圍內(nèi)表述.恩格斯把微積分的發(fā)明看成是人類精神的最高勝利，至今還沒(méi)有其他一門學(xué)科能像數(shù)學(xué)那樣精確辯證地處理運(yùn)動(dòng)和靜止這對(duì)哲學(xué)范疇.進(jìn)入20世紀(jì)，圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究所產(chǎn)生的三大流派更是把兩者的關(guān)系推向了巔峰.

在我國(guó)歷史上，數(shù)學(xué)成果往往帶有一種哲學(xué)思辨的色彩，而哲學(xué)觀點(diǎn)又借助于數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述.如惠施提出的“至大無(wú)外，謂之大一；至小無(wú)內(nèi)，謂之小一”，可以說(shuō)是中國(guó)數(shù)學(xué)史上關(guān)于“無(wú)窮大”和“無(wú)窮小”這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念的最早表述，然而這一命題，卻是為論證他“泛愛(ài)萬(wàn)物，天地一體”的哲學(xué)觀.“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，揭示了一個(gè)趨于無(wú)限的分?jǐn)?shù)系列，是中國(guó)數(shù)學(xué)史上最早的極限概念的萌芽，但這一思想的提出，也是哲學(xué)思辨的產(chǎn)物.《周易》的整個(gè)體系是“生于數(shù)，積于數(shù)，成于數(shù)，變通于數(shù)”，提出了一種運(yùn)用數(shù)學(xué)手段去范圍天地、曲成萬(wàn)物的觀點(diǎn)，鼓勵(lì)人們?nèi)ジF極數(shù)的變化規(guī)律，這對(duì)于以后傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，也是有推動(dòng)和促進(jìn)作用的.《管子》可以稱為古代數(shù)學(xué)與哲學(xué)相結(jié)合的范例，在他的一整套法家理論中，哲學(xué)和計(jì)算卻是一個(gè)重要的部分和基本的原則.

哲學(xué)家芝諾于公元前5世紀(jì)提出了幾個(gè)著名的悖論，加上無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，使人們對(duì)于數(shù)學(xué)能否成為一門科學(xué)產(chǎn)生了懷疑，這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；由于初期的微積分邏輯上的缺陷，圍繞微積分基礎(chǔ)開(kāi)始了大論戰(zhàn)，英國(guó)的唯心主義者大主教貝克萊的攻擊最為激烈，數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家都紛紛介入，引起了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)；哲學(xué)家羅素在集合論中發(fā)現(xiàn)的“羅素悖論”，震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，引起了數(shù)學(xué)界、哲學(xué)界激烈的爭(zhēng)論，為第三次數(shù)學(xué)危機(jī).這三次數(shù)學(xué)危機(jī)，都和哲學(xué)家及其哲學(xué)思想相聯(lián)系，伴隨著哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家之間激烈的論戰(zhàn)，反映了尖銳的哲學(xué)思想斗爭(zhēng).

三、哲學(xué)思想與數(shù)學(xué)理論

哲學(xué)的觀點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)的思想，哲學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展.哲學(xué)以博大的胸懷容納了數(shù)學(xué)的理論，數(shù)學(xué)以廣泛而深?yuàn)W的知識(shí)豐富了哲學(xué)寶庫(kù).

對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的實(shí)質(zhì)和核心，是唯物辯證法的最基本的規(guī)律.任何事物自身都包含既相互聯(lián)系又相互排斥的兩個(gè)方面，兩者共處于矛盾的統(tǒng)一體中.運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從部分認(rèn)識(shí)整體，從近似認(rèn)識(shí)精確.

在微積分中，有些概念既對(duì)立又統(tǒng)一，比如常量與變量、有限與無(wú)限、微分與積分等，可以說(shuō)對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是貫穿于微積分的一條根本規(guī)律.極限概念是微積分的重要的概念，極限思想蘊(yùn)含著豐富的辯證思想，是變與不變、過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、近似與精確以及否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一.如數(shù)列極限limn→∞an=aε>0，N>0，n>Nan-a<ε，其中正數(shù)ε一方面具有絕對(duì)的任意性，這樣才能有an無(wú)限趨近于a，另一方面，正數(shù)ε又具有相對(duì)固定性，從而an-a<ε表明an無(wú)限趨近于a的漸近過(guò)程的不同階段，ε的絕對(duì)任意性是通過(guò)無(wú)限多個(gè)相對(duì)固定性的ε表現(xiàn)出來(lái)的，ε的這個(gè)兩重性質(zhì)既對(duì)立又統(tǒng)一，從而使數(shù)列極限的ε-N定義，從近似轉(zhuǎn)化到精確，又能從精確轉(zhuǎn)化到近似，它是極限定義的精髓.極限是數(shù)學(xué)中體現(xiàn)哲學(xué)觀點(diǎn)和方法的極具代表性的概念，它是人類從有限到無(wú)限認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，使我們充分認(rèn)識(shí)到有限到無(wú)限的過(guò)程，近似與精確的關(guān)系.

微分和積分是矛盾的兩個(gè)方面，是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，矛盾的雙方各以對(duì)立的一方為自己存在的條件，牛頓—萊布尼茲公式∫baf（x）dx=F（x）ba，F(xiàn)′（x）=f（x），x∈[a，b]，又進(jìn)一步揭示了積分與微分的內(nèi)在聯(lián)系，由此可見(jiàn)，這個(gè)基本公式是微分與積分對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其內(nèi)容是十分深刻的，被稱為微積分的基本公式.

運(yùn)動(dòng)與靜止之間的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，在微積分中通過(guò)連續(xù)與離散間相互轉(zhuǎn)化得到了淋漓盡致的揭示.數(shù)學(xué)是一門充滿了對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的學(xué)科.對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是指導(dǎo)我們進(jìn)行數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想武器.

在唯物辯證法中，任何事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體.量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證關(guān)系.量變是質(zhì)變的準(zhǔn)備，量的變化達(dá)到一定的度，就不可避免地引起質(zhì)變，只有質(zhì)的變化才是事物根本性質(zhì)的變化.微積分中從一元函數(shù)到二元函數(shù)，由于自變量的一個(gè)增加到二個(gè)，這個(gè)量變引起了質(zhì)變，首先表現(xiàn)在自變量的變化方式上，由原來(lái)的二種到現(xiàn)在的無(wú)窮多種更確切的說(shuō)是不可數(shù)種，使得二元函數(shù)許多性質(zhì)與一元函數(shù)有本質(zhì)的不同.

否定之否定規(guī)律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過(guò)程是經(jīng)歷兩次否定、三個(gè)階段，即由肯定達(dá)到對(duì)自身的否定，并再由否定進(jìn)到新的肯定——否定之否定.每一個(gè)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展都符合否定之否定規(guī)律.在理論最初形成時(shí)，該理論得到肯定，隨著實(shí)踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來(lái)并被否定，進(jìn)而數(shù)學(xué)家們開(kāi)始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結(jié)論，達(dá)到新的肯定.任何事物的內(nèi)部都包含著肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的對(duì)立統(tǒng)一.任何事物的內(nèi)在矛盾都可以歸結(jié)為肯定和否定兩個(gè)方面，唯物辯證法從事物肯定和否定的對(duì)立關(guān)系中，揭示了事物發(fā)展是辯證否定的過(guò)程.微積分中無(wú)界、不連續(xù)、不一致連續(xù)等概念的定義都是通過(guò)對(duì)它的對(duì)立面有界、連續(xù)、一致連續(xù)的否定而得到的.

定積分的幾何背景是曲邊梯形的面積，按照化整為零（分割區(qū)間），以直代曲，求近似值，取極限的思想求出面積（積分），這種思想方法應(yīng)用范圍的推廣便產(chǎn)生了無(wú)窮積分、瑕積分、多重積分、曲線積分、曲面積分.計(jì)算曲邊梯形的面積，首先將原來(lái)曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，在每個(gè)小曲邊梯形中，視曲邊為直邊，以直邊梯形面積之和作為大曲邊梯形面積近似，其次，分割無(wú)限加細(xì)，取極限，這樣小直邊梯形面積轉(zhuǎn)化為大曲梯形面積，實(shí)現(xiàn)了“以曲代直”，這種方法是由曲到直再由直到曲，體現(xiàn)的哲學(xué)思想是由變到不變的否定之否定的辯證法思想，這樣“化整為零，積零為整”的方法，是微積分最基本的思想方法之一.

微積分有著豐富、典型、深刻的辯證法思想，因此在微積分教學(xué)中，以哲學(xué)思想來(lái)指導(dǎo)教學(xué)和學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生站在較高的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的觀察能力、思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力.

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