李家鑫 湯強(qiáng)

【摘要】待定系數(shù)法是我們中學(xué)數(shù)學(xué)所需學(xué)習(xí)和掌握的一種重要解題方法，它幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，如在代數(shù)領(lǐng)域中的多項(xiàng)式、函數(shù)、數(shù)列、不等式、矩陣等；在幾何領(lǐng)域中的解析幾何，具有廣泛的適用性.所以說(shuō)，它是我們解初等數(shù)學(xué)的常用、有效的方法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；待定系數(shù)法

待定系數(shù)法：即是先設(shè)出所求結(jié)果的含參解析式（關(guān)系結(jié)構(gòu)式），再根據(jù)已知條件，或?qū)?yīng)項(xiàng)（位置）的系數(shù)相等，建立關(guān)于參數(shù)的方程（組），最后解出參數(shù)，從而求得解析式（關(guān)系結(jié)構(gòu)式）.其實(shí)質(zhì)就是方程思想.下面我們從代數(shù)、幾何兩方面來(lái)列舉實(shí)例研究.

一、在代數(shù)中的應(yīng)用

1.多項(xiàng)式的因式分解

我們知道任何一個(gè)高次多項(xiàng)式（次數(shù)大于2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解成幾個(gè)一次或二次多項(xiàng)式的乘積形式，所以我們可先設(shè)出它的含參的因式分解結(jié)果形式，用待定系數(shù)法來(lái)解.

例1 因式分解多項(xiàng)式：x4+x2+2ax+1-a2.

解析 多項(xiàng)式x4+x2+2ax+1-a2可先分解成兩個(gè)二次多項(xiàng)式乘積的形式，設(shè)為：

x4+x2+2ax+1-a2=（x2+Ax+B）（x2+Cx+D），展開(kāi)等式右邊，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等得到：

C+A=0

B+D+AC=1

AD+BC=2a

BD=1-a2A=1，

B=1-a，

C=-1，

D=1+a.

所以，x4+x2+2ax+1-a2=（x2+x+1-a）（x2-x+1+a），而此兩個(gè)二次多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能再因式分解，故這就是因式分解的最終結(jié)果.

小結(jié) 解此題關(guān)鍵在于：寫出此多項(xiàng)式的含參因式分解形式，再展開(kāi)，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，建立方程組，求出參數(shù)即可.已確定所求函數(shù)的類型是此題解題的突破口.

2.求數(shù)列的通項(xiàng)式

求數(shù)列通項(xiàng)式方法有多種，而待定系數(shù)法是一種常見(jiàn)、重要的方法.主要適用于遞推式形如：an+1=λ·an+f（n）（其中f（n）可為常數(shù)、關(guān)于n的多項(xiàng)式，或關(guān)于n的指、對(duì)數(shù)式等）.

（Ⅰ） 當(dāng)f（n）=k（k為常數(shù)）時(shí)，即an+1=λ·an+k.

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an+2，求an.

解析 由已知遞推式an+1=3an+2，可構(gòu)造一個(gè)含參數(shù)λ的等價(jià)遞推式：an+1+λ=3（an+λ），然后將此式展開(kāi)移項(xiàng)，由和已知遞推式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，解出λ=1，所以得到： 新數(shù)列{an+1}是以首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)式公式得：an+1=4·3n-1，從而求出：an=4·3n-1-1.

小結(jié) 通過(guò)待定系數(shù)法對(duì)已知遞推式進(jìn)行等價(jià)變形，得到一個(gè)新的數(shù)列（等比數(shù)列），通過(guò)求此等比數(shù)列的通項(xiàng)式，從而解得已知數(shù)列的通項(xiàng)式.

（Ⅱ）當(dāng)f（n）=k·n+l（k，l為常數(shù)）時(shí)，即an+1=λ·an+（k·n+l）.

二、在解析幾何中的應(yīng)用

常用于求直線、切線、圓、圓錐曲線的方程等.

例3 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）和B12，3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)位置不確定，可采取分類討論的方法來(lái)求標(biāo)準(zhǔn)方程，但由于分類討論較復(fù)雜，這里可直接設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1（A≠B，A>0，B>0）.

由條件可得：4B=1

14A+3B=1A=1，

B=14.

即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y24=1.

小結(jié) 恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出橢圓方程，可以避免分類討論，達(dá)到運(yùn)算簡(jiǎn)便的目的.

通過(guò)以上例子的講解，相信同學(xué)們對(duì)待定系數(shù)法有了更進(jìn)一步的理解和掌握，在做題時(shí)不再是模棱兩可，而是有目的、有層次的，更清楚我們?cè)谇笫裁礃拥膯?wèn)題時(shí)，可選擇待定系數(shù)法和怎么去用待定系數(shù)法.簡(jiǎn)而言之，即當(dāng)所求問(wèn)題的一般形式（關(guān)系結(jié)構(gòu)）是我們已知的（直接能設(shè)出），這時(shí)就采用待定系數(shù)法來(lái)解，這也是用待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵之處.