熊 凱，宗 紅，湯 亮

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

0 引 言

高分辨率對地觀測要求對星上有效載荷進(jìn)行精確的指向控制，或通過衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)獲取有效載荷光軸指向信息.在星上姿態(tài)確定系統(tǒng)中，由星敏感器和陀螺構(gòu)成的星光慣性姿態(tài)確定(SIAD，stellar intertial attitude determination)系統(tǒng)精度較高.是眾多航天任務(wù)的首選[1].

星光慣性姿態(tài)確定系統(tǒng)的性能依賴于星敏感器的精度，而星敏感器觀測量中通常包含低頻誤差.星敏感器低頻誤差主要是由于太陽照射角度變化產(chǎn)生的冷熱交變的熱環(huán)境，使得星敏感器本體及其安裝結(jié)構(gòu)形變造成的.由于太陽照射角度依軌道周期變化，星敏感器低頻誤差可視為周期信號，其變化周期近似等于衛(wèi)星軌道周期.據(jù)報(bào)導(dǎo)，在多個(gè)航天器上都發(fā)現(xiàn)了周期性的星敏感器低頻誤差的影響，如PROBA衛(wèi)星、CHAMP衛(wèi)星和ALOS衛(wèi)星等[2-4].傳統(tǒng)的姿態(tài)確定卡爾曼濾波算法未考慮星敏感器低頻誤差的影響，很難直接利用卡爾曼濾波消除星敏感器低頻誤差.存在星敏感器低頻誤差的情況下，將會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星姿態(tài)確定精度降低.

文獻(xiàn)[5]中給出了一種星敏感器低頻誤差校準(zhǔn)方法.該方法中，將低頻誤差建模為一階高斯-馬爾可夫過程，并將其于衛(wèi)星姿態(tài)和陀螺漂移一起進(jìn)行估計(jì).該方法的不足之處在于對陀螺測量精度的要求非常高.在以往工作中，曾提出一種基于多模型自適應(yīng)估計(jì)(MMAE，multiple model adaptive estimation)的星敏感器低頻誤差校準(zhǔn)方法，其基本思路是采用MMAE算法，利用陀螺漂移估計(jì)值的頻譜對低頻誤差參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[6]，該方法的局限性在于MMAE算法復(fù)雜，計(jì)算量較大，不利于在軌應(yīng)用.

本文研究一種適合工程應(yīng)用的星敏感器低頻誤差在軌校準(zhǔn)方法，基本思路是將星敏感器低頻誤差參數(shù)擴(kuò)充為狀態(tài)，將衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和低頻誤差數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，用于建立誤差校準(zhǔn)模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)擴(kuò)維卡爾曼濾波(A-KF)，同時(shí)對衛(wèi)星姿態(tài)、陀螺漂移和星敏感器低頻誤差參數(shù)進(jìn)行估計(jì).與文獻(xiàn)[5]中的方法不同，星敏感器低頻誤差被建模為傅里葉級數(shù)，而不是高斯-馬爾可夫過程，通過AKF估計(jì)傅里葉級數(shù)的系數(shù)，而不是低頻誤差本身.與文獻(xiàn)[6]中給出的基于MMAE的方法相比，基于A-KF的校準(zhǔn)方法的優(yōu)勢在于計(jì)算量小，原理直觀，更易于在軌實(shí)現(xiàn).此外，本文分析了基于A-KF的校準(zhǔn)方法的性能，指出低頻誤差校準(zhǔn)方法的有效性與低頻誤差的幅度大小有關(guān)，相關(guān)內(nèi)容在以往的工作中并未揭示出來.

1 低頻誤差校準(zhǔn)方法

KF(Kalman filter)是基于系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)的.對于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)模型而言，狀態(tài)量由誤差四元數(shù)和陀螺漂移誤差構(gòu)成，其表達(dá)式如下:

基于前面所定義的狀態(tài)，離散形式的狀態(tài)方程可以寫為如下所示的線性形式:

式中

式中，wk是系統(tǒng)噪聲向量，通常假定為0均值隨機(jī)變量，其方差為

式中，Qk是已知正定矩陣.在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fk中，τ表示時(shí)間步長，In×n表示n×n階單位陣，0m×n表示m×n階0矩陣，是星體角速率

衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的測量方程形式為

vk是測量噪聲向量，通常假定為0均值隨機(jī)變量，其方差陣為

式中，Rk是已知正定矩陣.表示星敏感器低頻誤差對觀測量的影響.考慮到星敏感器低頻誤差可視為周期信號，并且其信號周期近似等于軌道周期，Δk的3個(gè)分量可建模為傅里葉級數(shù)的形式

式中，T為衛(wèi)星軌道周期，M為正常數(shù)，axj、bxj、ayj、byj、azj和bzj為未知的低頻誤差系數(shù).

基于前述系統(tǒng)模型和觀測模型，可以設(shè)計(jì)KF算法，用于處理觀測量yk，獲取狀態(tài)量的最優(yōu)估計(jì).KF的標(biāo)準(zhǔn)形式如下所示:

傳統(tǒng)KF是在假設(shè)模型與實(shí)際系統(tǒng)相一致的情況下推導(dǎo)得到的，在模型與實(shí)際系統(tǒng)不一致，即存在模型不確定性的情況下，通過KF得到的狀態(tài)估計(jì)不是最優(yōu)的.這會(huì)導(dǎo)致估計(jì)得到的衛(wèi)星姿態(tài)信息不準(zhǔn)確.

為了削弱星敏感器低頻誤差的影響，提出一種基于A-KF低頻誤差校準(zhǔn)方法.基本思路為:將低頻誤差參數(shù)擴(kuò)充為狀態(tài)，使得A-KF算法能夠同時(shí)對衛(wèi)星姿態(tài)和低頻誤差參數(shù)axj、bxj、ayj、byj、azj和bzj進(jìn)行估計(jì).本文僅考慮傅里葉級數(shù)的一階項(xiàng)，也就是說，令M=1.此時(shí)，Δk可簡寫為

對于所設(shè)計(jì)的A-KF，擴(kuò)維的狀態(tài)中包括誤差四元數(shù)、陀螺漂移誤差和低頻誤差參數(shù).此時(shí)，狀態(tài)向量寫為xk和θk的組合，即，其中，向量θk=[ax1bx1ay1by1az1bz1]T由低頻誤差校準(zhǔn)參數(shù)組成.相應(yīng)的，可構(gòu)造得到如下形式的狀態(tài)方程:

考慮到低頻誤差參數(shù)θk的變化非常緩慢，在幾個(gè)軌道周期的校準(zhǔn)過程中可以忽略不計(jì)向量θk的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為6×6階單位陣，相應(yīng)的系統(tǒng)噪聲設(shè)為0.

基于擴(kuò)維的狀態(tài)量，相應(yīng)的觀測方程可寫為

其中，

針對如式(16)～(17)所示的系統(tǒng)，A-KF算法可寫為

2 校準(zhǔn)方法效能評估

本節(jié)通過理論推導(dǎo)分析低頻誤差校準(zhǔn)對衛(wèi)星姿態(tài)確定精度的影響，并對校準(zhǔn)方法的應(yīng)用提出一些建議.對于傳統(tǒng)的姿態(tài)確定KF算法，估計(jì)誤差定義為真實(shí)狀態(tài)和估計(jì)狀態(tài)之差，即

低頻誤差校準(zhǔn)基于A-KF進(jìn)行，A-KF的估計(jì)誤差定義為

審計(jì)方式應(yīng)當(dāng)隨著新型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的運(yùn)用而作出一些調(diào)整，可以通過搭建審計(jì)數(shù)據(jù)的綜合分析平臺，從而建設(shè)和完善有關(guān)國家與人民的重點(diǎn)領(lǐng)域聯(lián)網(wǎng)審計(jì)系統(tǒng)，對于一些半結(jié)構(gòu)化、非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，我們可以通過一些專業(yè)工具的使用來對其進(jìn)行處理，從而能夠?qū)σ恍┮?guī)模較為龐大的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行高效地匯合和處理。如：在地稅審計(jì)過程中，可通過地稅聯(lián)網(wǎng)審計(jì)系統(tǒng)，對全省得地稅數(shù)據(jù)進(jìn)行集中地整理分析，走出一條“數(shù)據(jù)集中采集、集中統(tǒng)一分析、疑點(diǎn)分布落實(shí)、資源充分共享”的大數(shù)據(jù)審計(jì)模式，使全省的地稅聯(lián)動(dòng)審計(jì)得以實(shí)現(xiàn)。

定理1 推導(dǎo)了傳統(tǒng)KF和A-KF的狀態(tài)估計(jì)誤差方差陣.

定理1.考慮如式(16)和式(17)所示的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，濾波算法如式(13)、(14)、(19)和(20)所示，令

如果低頻誤差校準(zhǔn)參數(shù)的估計(jì)誤差滿足如下條件:

那么狀態(tài)估計(jì)誤差滿足如下不等式:

限于篇幅，略去定理的證明過程.

定理2給出了定理1中條件(25)成立的充分條件.

定理2.考慮如式(16)和式(17)所示的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，利用如式(19)和式(20)所示的A-KF算法估計(jì)低頻誤差參數(shù)θk，如果參數(shù)θk滿足如下不等式:

定理的證明過程略.由定理2可知，在低頻誤差參數(shù)足夠小的情況下，校準(zhǔn)誤差會(huì)大于低頻誤差參數(shù)真值.結(jié)合定理1和定理2，得到如下論斷:星敏感器低頻誤差校準(zhǔn)對衛(wèi)星姿態(tài)確定精度的影響取決于校準(zhǔn)誤差和實(shí)際低頻誤差參數(shù)的大小對比.如果校準(zhǔn)誤差大于低頻誤差參數(shù)，那么校準(zhǔn)誤差將會(huì)影響狀態(tài)估計(jì)，導(dǎo)致姿態(tài)確定精度下降，此時(shí)，不宜進(jìn)行校準(zhǔn).相反，如果低頻誤差參數(shù)大于校準(zhǔn)誤差，那么通過校準(zhǔn)將消弱低頻誤差的影響，從而提高衛(wèi)星姿態(tài)確定精度.本文指出了低頻誤差大小和校準(zhǔn)方法使用效果之間的關(guān)系，說明同一種誤差校準(zhǔn)方法應(yīng)用于不同對象時(shí)，可能會(huì)得到截然不同的效果，這一結(jié)果在以往低頻誤差校準(zhǔn)研究中并未涉及.基于A-KF的低頻誤差校準(zhǔn)方法適合應(yīng)用于低頻誤差幅度較大的場合.實(shí)際工作中，建議事先對校準(zhǔn)誤差和低頻誤差進(jìn)行對比，其中，校準(zhǔn)誤差的大小可通過數(shù)學(xué)仿真確定，低頻誤差的幅度可基于星上遙測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.

3 校準(zhǔn)方法性能分析

本節(jié)通過計(jì)算CRLB(Cramer-Rao lower bound)分析本文所給出的校準(zhǔn)方法理論上所能達(dá)到的估計(jì)精度.CRLB是一種經(jīng)典的性能評估工具，能夠針對特定系統(tǒng)，給出狀態(tài)估計(jì)所能達(dá)到的理論下界，或極限精度.CRLB通過系統(tǒng)模型、觀測模型，以及相應(yīng)的噪聲方差陣計(jì)算得到，其取值反映了系統(tǒng)的本質(zhì)屬性，與具體的濾波方法無關(guān)，分析過程中不需要進(jìn)行濾波解算.

下面簡要說明CRLB的計(jì)算方法.對于如式(2)和式(6)所示的系統(tǒng)模型，可以得到矩陣Jk，使得

CRLB定義為Fisher信息矩陣的逆.一般來說，較小的CRLB說明所研究的方法是可行的，能夠取得較高精度，相反，較大的CRLB說明所研究的方法估計(jì)誤差較大或不收斂.

計(jì)算CRLB的典型仿真條件如下:假定對地指向衛(wèi)星在周期100min，傾角98°的近圓軌道上運(yùn)行.星上安裝3個(gè)陀螺和2個(gè)星敏感器，陀螺的角度隨機(jī)游走和角速率隨機(jī)游走系數(shù)分別為4×10-4(°)/h0.5和5×10-3(°)/h1.5.假定星敏感器光軸指向測量隨機(jī)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為1″.

首先，基于典型仿真條件，通過CRLB分析低頻誤差校準(zhǔn)方法的性能.對應(yīng)低頻誤差校準(zhǔn)參數(shù)ax1、ay1和az1的CRLB的平方根曲線如圖1(a)所示.圖中，實(shí)線表示典型仿真條件下計(jì)算得到的估計(jì)誤差下界.bx1、by1和bz1的曲線與之類似，不再贅述.

不難看出，對于典型仿真條件，本文所給出的低頻誤差校準(zhǔn)方法是有效的.為了分析測量噪聲對誤差校準(zhǔn)的影響，將測量噪聲取為典型值的10倍和100倍，并計(jì)算CRLB，相應(yīng)的CRLB平方根曲線如圖1(a)所示.在一定的誤差水平內(nèi)，測量噪聲對誤差校準(zhǔn)性能的影響較小.

接下來，分析系統(tǒng)噪聲對校準(zhǔn)精度的影響.基于不同的系統(tǒng)噪聲方差陣，進(jìn)行3組仿真，系統(tǒng)噪聲先取為典型值，再放大10倍和100倍.對于不同的系統(tǒng)噪聲水平，對應(yīng)各個(gè)校準(zhǔn)參數(shù)的CRLB的平方根如圖1(b)所示.圖形顯示，計(jì)算得到的CRLB的取值隨系統(tǒng)噪聲的增大而增大.對于所研究的系統(tǒng)，系統(tǒng)噪聲主要由陀螺噪聲引起，校準(zhǔn)精度與陀螺精度有關(guān).

4 仿真結(jié)果

通過仿真分析星敏感器低頻誤差校準(zhǔn)方法的性能.利用通過靜態(tài)試驗(yàn)得到的三浮陀螺實(shí)測數(shù)據(jù)仿真產(chǎn)生陀螺觀測量，低頻誤差輪廓基于星敏感器遙測數(shù)據(jù)建立.

低頻誤差參數(shù)通過對2個(gè)星敏感器輸出的姿態(tài)四元數(shù)之差進(jìn)行傅里葉級數(shù)擬合得到，表1中給出了仿真中所用的典型低頻誤差參數(shù).

通過對比誤差校準(zhǔn)前后的衛(wèi)星姿態(tài)確定精度來說明校準(zhǔn)方法的有效性.首先，采用傳統(tǒng)姿態(tài)確定KF算法處理仿真得到的星敏感器和陀螺觀測數(shù)據(jù)，獲得衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)值.傳統(tǒng)KF的姿態(tài)誤差曲線如圖2(a)所示.

圖1 低頻誤差參數(shù)ax1、ay1、az1的CRLB曲線Fig.1 CRLB for low frequency error parameters ax1，ay1 and az1

表1 低頻誤差參數(shù)Tab.1 Low frequency error parameters

其次，利用第3節(jié)給出的低頻誤差校準(zhǔn)方法，得到的姿態(tài)估計(jì)誤差曲線如圖2(b)所示.與傳統(tǒng)KF的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對比，可以看出，KF不能有效消除星敏感器低頻誤差的影響，應(yīng)用低頻誤差校準(zhǔn)方法后，姿態(tài)確定誤差顯著減小.

接下來，分析低頻誤差的幅度較小時(shí)，誤差校準(zhǔn)對姿態(tài)確定精度的影響.將低頻誤差參數(shù)設(shè)置為表1中所示數(shù)據(jù)的1%時(shí)，通過傳統(tǒng)KF和A-KF得到的衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)誤差曲線如圖3所示.

正如本文所分析的，在低頻誤差較小的情況下，通過A-KF校準(zhǔn)后，相對于不進(jìn)行校準(zhǔn)的情況，姿態(tài)確定精度有所降低.此時(shí)，不宜進(jìn)行誤差校準(zhǔn).

圖2 低頻誤差取典型值情況下的衛(wèi)星姿態(tài)確定誤差曲線Fig.2 Satellite attitude determination error with typical low frequency error

對于不同的低頻誤差參數(shù)取值，通過傳統(tǒng)KF和A-KF得到的衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)誤差均方根(RMS)如表2所示，表中最后一列為均方根誤差的范數(shù).

表2 校準(zhǔn)前后姿態(tài)估計(jì)誤差對比Tab.2 Comparison between attitude estimation errors before calibration and after calibration

不難看出，低頻誤差幅度較大的情況下，A-KF的估計(jì)精度優(yōu)于傳統(tǒng)KF;低頻誤差幅度較小的情況下，傳統(tǒng)KF的估計(jì)精度優(yōu)于A-KF.

為了更清楚的說明低頻誤差校準(zhǔn)方法的有效性與低頻誤差幅度大小的關(guān)系，設(shè)置低頻誤差參數(shù)為多個(gè)不同值，測試傳統(tǒng)KF和A-KF的性能.低頻誤差參數(shù)分別設(shè)置為表1中數(shù)值的10%、20%、30%、50%、100%、200%和300%，仿真得到的三軸姿態(tài)估計(jì)誤差均方根的范數(shù)如圖4所示.

圖3 低頻誤差縮小情況下的衛(wèi)星姿態(tài)確定誤差曲線Fig.3 Satellite attitude determination error with decreased low frequency error

圖4 姿態(tài)確定精度和低頻誤差的關(guān)系Fig.4 Relation between attitude determination accuracy and low frequency error

顯然，隨著低頻誤差的增大，傳統(tǒng)KF的估計(jì)精度顯著降低，而A-KF估計(jì)精度降低的程度相對較小，逐漸體現(xiàn)出相對傳統(tǒng)KF的優(yōu)勢.對于典型低頻誤差參數(shù)量級和現(xiàn)有陀螺精度水平，通過校準(zhǔn)有利于提高衛(wèi)星定姿精度.

5 結(jié) 論

針對星敏感器低頻誤差影響衛(wèi)星姿態(tài)確定精度的問題，提出了將星敏感器低頻誤差建模為傅里葉級數(shù)，并通過A-KF估計(jì)低頻誤差參數(shù)的方法，通過理論推導(dǎo)和數(shù)學(xué)仿真詳細(xì)分析了低頻誤差校準(zhǔn)方法的性能.為了保證仿真的可信度，采用根據(jù)星敏感器遙測數(shù)據(jù)建立的低頻誤差模型，并將實(shí)測陀螺數(shù)據(jù)用于數(shù)學(xué)仿真.研究表明，當(dāng)校準(zhǔn)誤差小于低頻誤差參數(shù)真值時(shí)，通過低頻誤差校準(zhǔn)能夠提高衛(wèi)星姿態(tài)確定精度，相關(guān)分析結(jié)果能夠?yàn)榈皖l誤差校準(zhǔn)方法的設(shè)計(jì)和選用提供參考.

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