李建偉，龐立軍，賈 偉，田 超

(哈爾濱大電機(jī)研究所，黑龍江 哈爾濱 150040)

0 引言

發(fā)電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)子在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)行，定子和轉(zhuǎn)子之間的氣隙均勻。此時(shí)定轉(zhuǎn)子徑向各點(diǎn)所受的磁拉力是均勻的，其在徑向上所受合力為零。這種均勻的磁拉力對(duì)定轉(zhuǎn)子的剛度有加強(qiáng)作用。實(shí)際上，由于制造質(zhì)量或安裝不當(dāng)，就會(huì)引起定轉(zhuǎn)子之間氣隙的不均勻。此時(shí)，定轉(zhuǎn)子就會(huì)受到沿徑向激發(fā)的電磁力。由于這種電磁力是氣隙不均衡引起的，故稱(chēng)之為不平衡磁拉力。不平衡磁拉力引起的故障對(duì)電機(jī)的運(yùn)行產(chǎn)生較大的影響，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲，加快電機(jī)主軸的磨損，縮短電機(jī)壽命，對(duì)于柔性轉(zhuǎn)子，可能造成定轉(zhuǎn)子的接觸。因此，研究不平衡磁拉力對(duì)定轉(zhuǎn)子的影響，直接關(guān)系著電機(jī)動(dòng)力學(xué)和系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究[1－2]。

不平衡磁拉力產(chǎn)生的原因可歸結(jié)為以下幾類(lèi):1)由于定轉(zhuǎn)子不同心、定子內(nèi)腔或轉(zhuǎn)子外圓有缺陷、轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心、大軸不直以及轉(zhuǎn)子匝間短路等等;2)由于定子分?jǐn)?shù)槽次諧波磁動(dòng)勢(shì)、定子并聯(lián)支路內(nèi)環(huán)流產(chǎn)生磁勢(shì)、分塊定子合縫不好、定子繞組固定不夠等原因引起定子以極頻或整倍數(shù)頻振動(dòng)。雖然產(chǎn)生不平衡磁拉力的原因較多，但主要可歸結(jié)為電機(jī)中磁路和電路的不對(duì)稱(chēng)所致[3]。

國(guó)外對(duì)不平衡磁拉力的研究工作開(kāi)展較早。1900年，Behrend[4]提出假設(shè)，氣隙中的磁密與氣隙長(zhǎng)度成反比，對(duì)不平衡磁拉力進(jìn)行了討論，得出磁拉力的線性表達(dá)式。接下來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)，眾多學(xué)者從不同角度獲得了與Behrend關(guān)系相近的一些結(jié)果，無(wú)一例外的都是線性關(guān)系。直至上世紀(jì)90年代開(kāi)始，更多的學(xué)者從不同的理論和實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果出發(fā)，發(fā)現(xiàn)不平衡磁拉力和偏心之間存在復(fù)雜的非線性關(guān)系。1996年，曲鳳波、孫玉田[5]通過(guò)電磁場(chǎng)有限元計(jì)算發(fā)現(xiàn)偏心與不平衡磁拉力之間存在著3次函數(shù)的非線性關(guān)系。姜培林[6]通過(guò)保角變換簡(jiǎn)化邊界條件，使用氣隙磁導(dǎo)來(lái)計(jì)算氣隙磁密，推導(dǎo)出不平衡磁拉力的非線性表達(dá)式。2003年，郭丹[7]把氣隙磁導(dǎo)展開(kāi)為級(jí)數(shù)的形式，通過(guò)轉(zhuǎn)子或定子表面的Maxwell應(yīng)力積分計(jì)算得到不平衡磁拉力的非線性解析表達(dá)式。

不平衡磁拉力對(duì)定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的的研究非常關(guān)鍵，因此有必要對(duì)各不平衡磁拉力的計(jì)算進(jìn)行分析和對(duì)比。本文研究了不平衡磁拉力幾種表達(dá)式，為進(jìn)一步深入研究定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡磁拉力下的低頻振動(dòng)及其動(dòng)力學(xué)特性提供研究基礎(chǔ)。

1 不平衡磁拉力的計(jì)算方法

1.1 線性解析表達(dá)式

計(jì)算氣隙不均勻產(chǎn)生的電磁拉力的傳統(tǒng)方法是利用經(jīng)驗(yàn)公式，根據(jù)結(jié)構(gòu)形式的不同而得出。多年來(lái)，不均勻磁拉力簡(jiǎn)化成與偏心率成正比的線性關(guān)系[1]可以表達(dá)為如下形式:

其中L和D為轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度和直徑，m;B為磁密度，T;β為系數(shù)，它與發(fā)電機(jī)的類(lèi)型、磁場(chǎng)分布、槽、阻尼和繞組結(jié)構(gòu)等有關(guān)。一般為0.2至0.5，e為偏心距，δ為正常間隙，m。

另外的一個(gè)不平衡磁拉力的線性表達(dá)式是王躍方[8]從系統(tǒng)的磁場(chǎng)儲(chǔ)能出發(fā)得到的:

令 Km= βDB2π/2μ0δ，其力學(xué)意義是單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)子發(fā)生單位偏心時(shí)所受的磁拉力，磁拉力與轉(zhuǎn)子直徑D、氣隙磁密的平方B2和偏心e成正比，而與氣隙的大小δ成反比，并且磁路飽和程度越高(即β值越小)，磁拉力數(shù)值就越小。

1.2 非線性解析表達(dá)式

由于線性模型誤差較大，采用數(shù)值方法計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確但過(guò)于繁瑣，人們一直希望建立電磁拉力的非線性近似公式。曲鳳波[5]等在數(shù)值分析的基礎(chǔ)上建立的近似計(jì)算公式為:

Kδ卡式系數(shù)，K1，K3待定系數(shù)。K1=0.8 ～1，K3=0.9 ～1.5。

姜培林[6]通過(guò)保角變換將電磁場(chǎng)的邊界條件簡(jiǎn)化，得到磁勢(shì)的解析表達(dá)式，磁通和磁勢(shì)梯度的函數(shù)，而磁拉力從表面積分可以得到?？紤]空載場(chǎng)，假設(shè)定子轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)系數(shù)為無(wú)窮大，氣隙中轉(zhuǎn)子的磁位為0，磁勢(shì)降為定值F0，氣隙中磁力線垂直于轉(zhuǎn)子表面，不平衡磁拉力及其剛度可表示成:

計(jì)算不平衡磁拉力的完全表達(dá)式常常通過(guò)一常數(shù)加上余弦函數(shù)形式模擬氣隙變化，然后轉(zhuǎn)換為Fourier級(jí)數(shù)的形式。氣隙基波磁動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為一已知幅值的正弦或余弦函數(shù)，不平衡磁拉力的計(jì)算可以采用以下方法[2]。

電機(jī)偏心轉(zhuǎn)子氣隙示意圖見(jiàn)圖1。設(shè)轉(zhuǎn)子中心距定子中心的距離為r，方向角為γ，轉(zhuǎn)子與定子間氣隙的位置角為α，則偏心轉(zhuǎn)子與定子間的氣隙近似為如下表達(dá)式:

其中δ0為轉(zhuǎn)子不偏心時(shí)的平均氣隙長(zhǎng)度。氣隙磁導(dǎo)為:

圖1 電機(jī)偏心轉(zhuǎn)子氣隙示意圖

式中展開(kāi)系數(shù)為:

在水輪發(fā)電機(jī)中，氣隙基波磁場(chǎng)對(duì)于電磁振動(dòng)影響較大，諧波磁場(chǎng)尤其是高次諧波磁場(chǎng)對(duì)于電磁振動(dòng)影響較小。因此，我們僅考慮氣隙基波磁勢(shì)的影響。根據(jù)電機(jī)原理，空載時(shí)三相同步電機(jī)的氣隙基波磁動(dòng)勢(shì)可表達(dá)為:

式中，F(xiàn)r為轉(zhuǎn)子激磁電流的基波磁動(dòng)勢(shì)，p為電機(jī)的磁極對(duì)數(shù)，ω為電頻率。對(duì)于水輪發(fā)電機(jī)，電頻率ω與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Ω和電機(jī)對(duì)數(shù)p滿足Ω=ω/p。由電磁場(chǎng)理論可知，氣隙磁密B有如下表達(dá)式:

垂直氣隙與轉(zhuǎn)子(空氣與鐵心)邊界的Maxwell應(yīng)力為:

其中，μ0為空氣中的導(dǎo)磁系數(shù)。由于水輪發(fā)電機(jī)組磁極對(duì)數(shù)往往較多，一般遠(yuǎn)大于3，所以氣隙磁導(dǎo)級(jí)數(shù)展開(kāi)到3級(jí)就足夠了。可由Maxwell應(yīng)力在轉(zhuǎn)子表面積分求的不平衡磁拉力和為:

轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度和直徑分別為L(zhǎng)及R。

2 不平衡磁拉力及其剛度計(jì)算方法的比較

從以上對(duì)不平衡磁拉力的表達(dá)式推導(dǎo)來(lái)看，

1)兩個(gè)線性的不平衡磁拉力的表達(dá)式，都與轉(zhuǎn)子直徑D、氣隙磁密的平方B2和偏心e成正比，而與氣隙的大小δ成反比，非常相似。不平衡磁拉力下的系統(tǒng)剛度是對(duì)偏心的導(dǎo)數(shù)。顯然，二者在其他參數(shù)一定的情況下，不平衡磁拉力下的剛度為一常數(shù);

2)上述3種不平衡磁拉力的非線性解析表達(dá)式，采用的假設(shè)和簡(jiǎn)化方法各不相同:

曲鳳波的3次函數(shù)表達(dá)式，基本假設(shè)是:1)由于水輪機(jī)發(fā)電極數(shù)很多，定子鐵心內(nèi)徑較大，而定轉(zhuǎn)子相對(duì)偏心量與定子鐵心內(nèi)徑相比小得多，而在一個(gè)極域內(nèi)由偏心引起的氣隙變化很小;2)由于求解區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)極，每極下定子槽數(shù)簡(jiǎn)化為整數(shù)。

姜培林對(duì)數(shù)表達(dá)式的假設(shè)為:假設(shè)定子轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)系數(shù)為無(wú)窮大，氣隙中轉(zhuǎn)子的磁位為0，磁勢(shì)降為定值F0，氣隙中磁力線垂直于轉(zhuǎn)子表面。

級(jí)數(shù)展開(kāi)的非線性表達(dá)式的前提假設(shè)是:轉(zhuǎn)子偏心距沿轉(zhuǎn)軸長(zhǎng)度不變。

3)在偏心很小的情況下，線性和非線性不平衡磁拉力的計(jì)算結(jié)果非常接近，而對(duì)于較大偏心的情形，線性表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果的誤差很大。根據(jù)姜培林模型的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，較大的偏心被定義成了4 mm。

3 算例

計(jì)算選取典型的SF320－48－12800－G型電機(jī)，其基本參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)的基本參數(shù)

圖2 不平衡磁拉力隨轉(zhuǎn)子偏心的變化

轉(zhuǎn)子相對(duì)于定子的偏心在0～2 mm變化時(shí)，4種關(guān)系(兩種線性關(guān)系只選取了一種)就該電機(jī)中的不平衡磁拉力隨偏心的變化曲線對(duì)比如圖2所示?？梢钥闯?，4種關(guān)系下的不平衡磁拉力出現(xiàn)偏差發(fā)生的位置遠(yuǎn)小于4 mm。而到了偏心2 mm，4種關(guān)系下的不平衡磁拉力范圍則3.6～8.64 T，偏差很大。

不平衡磁拉力隨氣隙的變化如圖3所示。在偏心一定的情況下，不平衡磁拉力與平均氣隙之間存在著反比關(guān)系(除姜培林的對(duì)數(shù)函數(shù)表示的不平衡磁拉力外)。

圖3 不平衡磁拉力隨氣隙的變化

4 防止不平衡磁拉力的措施

由于制造和裝備技術(shù)的限制，不平衡磁拉力不可能完全消除。由不平衡磁拉力的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，可從以下兩個(gè)方面削弱不平衡磁拉力:

1)降低轉(zhuǎn)子和定子之間的相對(duì)偏心。提高定子、轉(zhuǎn)子、軸承的加工正確性和配合。對(duì)于已經(jīng)出現(xiàn)的轉(zhuǎn)子不圓，可調(diào)整磁極的膠木墊，對(duì)松動(dòng)的線圈則需要加絕緣墊片緊固。

2)適當(dāng)?shù)脑黾悠骄鶜庀?。從上?jié)的分析來(lái)看，適當(dāng)?shù)卦龃髿庀?，可有效地降低不平衡磁拉力?/p>

5 結(jié)語(yǔ)

定子和轉(zhuǎn)子之間氣隙的不均產(chǎn)生了不平衡磁拉力。實(shí)際的制造和裝配過(guò)程中，不可避免地會(huì)產(chǎn)生不平衡磁拉力。分析和對(duì)比了幾種線性和非線性不平衡磁拉力的計(jì)算模型。線性和非線性不平衡磁拉力的在很小的偏心下就會(huì)產(chǎn)生明顯的差別，非線性不平衡磁拉力之間也存在著差別，包括建立模型的假設(shè)和計(jì)算的結(jié)果上。降低定子和轉(zhuǎn)子之間的相對(duì)偏心和適當(dāng)增加平均氣隙能夠有效的降低不平衡磁拉力。

[1]郭丹，馮輔周，諸福磊，何永勇.水輪發(fā)電機(jī)組電磁振動(dòng)研究綜述[C].第十屆全國(guó)設(shè)備監(jiān)測(cè)與診斷技術(shù)學(xué)術(shù)會(huì)議，2000，5:399－403.

[2]金鑫.基于ANSYS的水輪發(fā)電機(jī)機(jī)電耦合彎曲振動(dòng)響應(yīng)仿真[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué)，2011.

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