仇圣國

(揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝鎮(zhèn)麾村小學(xué)，江蘇揚(yáng)州，225236)

數(shù)學(xué)發(fā)展模型思想之我見

仇圣國

(揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝鎮(zhèn)麾村小學(xué)，江蘇揚(yáng)州，225236)

數(shù)學(xué)模型是為了解決一定問題，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉、概括出來的原型的替代物，模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。這就要求教師能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主的建模過程，感悟數(shù)學(xué)的思想與方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的生成與積淀。

數(shù)學(xué)；發(fā)展模型；建模

數(shù)學(xué)模型指根據(jù)所觀察到的現(xiàn)象及其實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸納成的一套反映對象某些主要數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體方法。這種科學(xué)方法常用來描述對象的變化規(guī)律。與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》提出的“問題情境—建立模型—解釋應(yīng)用與拓展”的基本模式相比，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》建立模型思想的要求更為明確:教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。作為教師，我們應(yīng)該從哪些方面來運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想呢?

一、豐富表象，提煉模型

數(shù)學(xué)本是對現(xiàn)實(shí)生活和一種抽象，而數(shù)學(xué)模型更是多次抽象后的結(jié)果，這就使之離學(xué)生有了一定距離。教師教學(xué)要縮小“認(rèn)識起點(diǎn)”與“數(shù)學(xué)模型”之間的距離或者搭起兩者之間的橋梁，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的發(fā)展。

(一)借助實(shí)物、基本圖形建立表象

小學(xué)生的形象思維優(yōu)于抽象思維，把抽象的數(shù)學(xué)變形象，教師可以借助學(xué)生生活中常見形象的物體圖形等豐富學(xué)生的表象，表象越豐富，知識的構(gòu)建就越容易。

(二)借助抽象的數(shù)學(xué)圖形建立表象

“形象”，除了眼前可見的事物之外，還包括學(xué)生頭腦中經(jīng)由具體事物抽象得到的表象。學(xué)生在數(shù)學(xué)中遇到的困難，有時(shí)是因?yàn)閷W(xué)生對于文字描述數(shù)量關(guān)系理解上的偏頗——難以理解或把握不住要點(diǎn)，無法對其形成準(zhǔn)確而鮮明的表象。這時(shí)可以借助形象的力量，把文字所描述的、所要揭示的、所要表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)通過圖示(圖形、圖表等)的方式形象表示出來，給抽象的數(shù)學(xué)披上形象的外衣，從而化繁為簡，提煉模型。

如蘇教版五年級下冊《解決問題的策略——倒推》，學(xué)生對如何使用倒推策略有點(diǎn)搞不清，如計(jì)算的先后順序以及計(jì)算的方法相同還是相反總會出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。如何讓學(xué)生的認(rèn)知突破“繁雜”，回歸“簡潔”?在倒推數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)中，我們可以借助流程圖，清楚地表示把數(shù)量變化的表象。例:小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多1張送給小明，自己還剩25張。小軍原來有多少張郵票?可以先順著思路畫出變化流程圖，再根據(jù)此圖從后向前倒推出小軍原來的畫片的張數(shù)，所以小軍原來有52張畫片。有了這樣的流程圖，學(xué)生建構(gòu)起倒推流程變化的數(shù)學(xué)模型，數(shù)量關(guān)系一目了然，為學(xué)生運(yùn)用倒推的策略提供了數(shù)學(xué)化的思維過程，特別是對于一些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的題目，更能起到化繁為簡、化難為易的效果。

二、類比轉(zhuǎn)化，遷移模型

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要包含兩類，一類是應(yīng)用歸納推理的概括學(xué)習(xí)，如新內(nèi)容，新領(lǐng)域、新概念等，另一類是應(yīng)用類比等邏輯推理的遷移學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)是從已知遷移到未知或從舊知識推出新知識再加以建構(gòu)的過程。看似不同的內(nèi)容，看似紛繁的現(xiàn)象中，其實(shí)往往又蘊(yùn)涵著相同的東西。對于相似結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)化遷移的方法用得特別多。教師可以通過對問題情境有的放矢，促使學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，靈巧地利用已有知識遷移出新的數(shù)學(xué)模型。

如蘇教版五年級上冊《梯形的面積》，之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)過平行四邊形和三角形等圖形的面積計(jì)算公式及推導(dǎo)方法，可以放手讓學(xué)生探索，將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長方形、三角形，遷移出梯形面積的計(jì)算方法。

三、發(fā)現(xiàn)異同，拓展模型

拓展模型是對模型深度應(yīng)用的又一次提高。如果說前面的各環(huán)節(jié)是完成從現(xiàn)實(shí)到情境到數(shù)學(xué)問題的抽象、提煉，那么本環(huán)節(jié)可以看做是抽象數(shù)學(xué)知識之間的拓展、重塑、再創(chuàng)造。教師鼓勵(lì)學(xué)生比較其中的異同，展開思考，構(gòu)建出更具體的模型。

如蘇教版四年級上冊《找規(guī)律——間隔》，教材的第一個(gè)例題，讓學(xué)生建立“兩端物體的個(gè)數(shù)比中間物體的個(gè)數(shù)多1”這一間隔現(xiàn)象中的基本數(shù)學(xué)模型。其實(shí)，在間隔排列現(xiàn)象的物體中，由于條件的不同，模型也不完全相同。上面的情境中隱含了“兩種物體間隔地排成一排，而且兩端物體都相同”這一條件，如果把兩端物體的擺放規(guī)則改變，模型也要跟著改變。這就需要學(xué)生能根據(jù)具體情況拓展出的其他數(shù)學(xué)模型。如“一條走廊24米，每隔3米放一盆花，要放多少盆花?”先讓學(xué)生動手思考，兩端都放與兩端不放一樣嗎?學(xué)生通過畫圖可以發(fā)現(xiàn):24÷3＝8(個(gè))，如果兩端都放的話，要放8＋1＝9(盆)；如果兩端都不放的話，要放8－1＝7 (盆)；如果只放一端的話，放的花的盆數(shù)與間隔數(shù)相等，就是9盆。根據(jù)之前發(fā)現(xiàn)間隔現(xiàn)象的基本模型，可以拓展為三種情況:①兩端都放:花的盆數(shù)＝間隔數(shù)＋1；②兩端都不放:花的盆數(shù)＝間隔數(shù)－1；③只放一端:花的盆數(shù)＝間隔數(shù)。繼續(xù)拓展下去，如果這條走廊是環(huán)形的話，相當(dāng)于把兩端連起來，與上面的第三種只放一端類型是一樣的。這樣，根據(jù)情境先發(fā)現(xiàn)基本模型，再運(yùn)用這一模型解決問題時(shí)拓展出其他模型，加深了對建立模型的理解，促進(jìn)模型的內(nèi)化。

用建模思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是為了讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)模型，而更是要幫助學(xué)生從系統(tǒng)化的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界，更為重要的是，讓學(xué)生有效經(jīng)歷自主知識建構(gòu)的過程，同時(shí)自覺養(yǎng)成“模型化”處理數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣與數(shù)學(xué)觀念，真正感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，成長為富于數(shù)學(xué)智慧的人。

[1] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 唐劍嵐，周瑩，黃國文.初中生數(shù)學(xué)認(rèn)識信念量表的數(shù)學(xué)模型[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007 (3).

[3] 張勁松.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)教學(xué)[J].課程·教材·教法，2008(3).

G633.62

A

2095－3712(2014)12－0066－03

仇圣國(1979—)，江蘇揚(yáng)州人，本科，揚(yáng)州市江都區(qū)丁溝鎮(zhèn)麾村小學(xué)教師，小學(xué)高級。