牛印寶，汪永超，王宇，王杰

(四川大學制造科學與工程學院，四川成都610065)

0 前言

切削速度的選擇是機械加工過程中的一個重要環(huán)節(jié)，是切削用量三大要素之一，切削速度直接影響著加工時間、生產成本、刀具耐用度、能源消耗和加工質量［1］。在過去的加工過程中人們往往根據切削用量手冊或者根據人工經驗進行切削速度的選擇，但是這種方法不能夠進行切削速度優(yōu)劣的定量計算和判斷從而說服力不足，并且這種方法也很容易造成資源的浪費和生產效率的低下，這是不符合綠色制造的準則的。

面向綠色制造的切削速度的優(yōu)化選擇是一個十分復雜的過程，一般來說能夠滿足工業(yè)要求的切削速度有很多種，但是哪一種速度相對來說能夠使加工時間最短、加工成本最低、能源消耗最少、環(huán)境污染程度最輕、刀具耐用度最長以及加工質量最好這是很難抉擇的，要想解決這一問題就必須建立一個和切削速度有關的數學模型，并對數學模型進行優(yōu)化以達到目的。文中在建立的數學模型基礎上采用層次分析法和灰度關聯(lián)法對模型進行分析和求解，這兩方法相結合能夠很好地對切削速度進行優(yōu)化選擇。

1 數學模型建立

1.1 指標函數的確定

通常，在對任何一個變量進行優(yōu)化選擇時都要有其一定的指標，否則優(yōu)化就無從談起。不僅如此，在文中使用到的層次分析法中必須要有指標作為其決策層，而且指標也必須要和待優(yōu)化的變量有一定的關系。文中使用加工時間(Tv)、生產成本(Cv)、能源消耗(Rv)和刀具耐用度(T)作為數學模型的指標函數。在實際生產中加工的質量只要符合要求就行，不必要求質量越高越好，否則反而會增加不必要的成本，因此加工質量作為指標的作用不大，但是可以作為約束條件使用。在生產設備和生產方式確定的情況下制造業(yè)對資源的消耗主要是能源的消耗，并且能源的消耗和環(huán)境污染也是同向的，能源消耗的越少對環(huán)境的污染就越少。綜上，只選擇Tv、Cv、Rv、T4 項作為模型的指標函數。

1.1.1 加工時間

加工時間的函數表達式:

式中:tm為工序的切削時間;tl為工序過程中輔助時間;tc為一次換刀時間;T為刀具耐用度;L為切削長度;d為切削工件的直徑;z為單面加工余量;Cr為刀具的耐用度系數;Kr為修正系數;m，xv，yv為對刀具耐用度的影響系數;f為進給量;ap為背吃刀量。

1.1.2 生產成本

生產成本指標函數可以表示為:

式中:M為單位時間內工廠的開支，主要包括的有勞動生產費和機床管理費;C為包括刀具的磨刀費、折舊費和更換費等相關的費用。

1.1.3 能源消耗

對于能源消耗它主要是以功率的形式體現(xiàn)出來的，故在此只需得到加工過程中功率消耗的表達式就可。在制造企業(yè)加工過程中消耗功率的方面有很多，主要的包括電機空轉功率和切削加工的切削功率。具體的函數表達式如下:

式中:Pu為電機空載功率;Pc為切削功率;α 為功率平衡系數，其范圍1.15～1.25;Fc為主切削力;CFc為與加工材料和切削條件有關的參數;為經驗系數;為切削力修正系數。

1.1.4 刀具耐用度

刀具耐用度和生產效率以及生產成本有著密切的關系把它作為決策指標還是很有必要的，其函數形式如下:

1.2 模型的約束條件

在實際的生產過程中切削速度的選擇還要受到很多條件限制，不能夠隨意選取。約束條件就像函數的定義域一樣，規(guī)定了在優(yōu)化選擇時應該滿足的基本條件。本模型切削速度的約束條件有如下幾種:

(1)切削速度應該滿足機床主軸轉速的約束:

式中:nmin，nmax分別為機床主軸允許的最低轉速和最高轉速，d為切削工件的直徑。

(2)切削力應小于機床主軸最大進給力:

式中:Fmax為機床進給機構允許的最大抗力。

(3)切削功率要小于機床的有效功率:

式中:η 為機床的傳功功率，一般取η=0.75～0.85;Pmax為機床主電機傳動功率。

(4)加工質量約束

工件表面的加工質量雖然和切削速度有關系，但是我們并沒有把它加入到指標函數中而是把它作為約束條件，這樣更顯合理。

加工質量約束:

式中:R為工件表面粗造度;Rmax為工件允許的最大表面粗造度。

以上的幾個約束條件是進行速度優(yōu)化選擇時必須要遵守的。假設有n個可供選擇的切削速度方案，其中不滿足上面約束條件的有m個那么只需對剩余的n-m個切削速度方案進行優(yōu)化選擇即可。

1.3 模型的描述

在以綠色制造為宗旨的加工生產中切削速度的選擇是一件很困難的事情，因為切削速度影響著很多因素，其主要包括加工時間、加工成本、能源消耗和刀具的耐用度等。切削速度加大雖然能夠使加工時間變短，但會增加能源的消耗以及刀具的磨損有可能還會加大成本;切削速度過小則會使加工時間增長，導致生產效率低下，這些都不能夠滿足綠色制造的要求。因此在對不同切削速度進行優(yōu)化選擇時一定要建立好數學模型［2］。假設有n中切削速度方案，那么切削速度的優(yōu)化決策方案(X)可以用一個n維的列向量來描述，如下:

對此優(yōu)化方案進行求解過程其實就是在滿足式(5)、(6)、(7)、(8)的基礎上求X*，使得

式中:Optimum(Tv(v)，Cv(v)，Rv(v)，T(v))為最優(yōu)綠色性(加工時間最短、加工成本最少、能源消耗最少、刀具使用時間最長);v* 為最優(yōu)的切削速度方案。

2 模型求解

由以上的分析不難看出面向綠色制造的切削速度的選擇是一個典型的多屬性、多目標的優(yōu)化問題，里面的很多屬性都難以定量分析，只能將定性分析和定量計算以及邏輯判斷相結合的方式來解決這些問題。文中采用層次分析法結合灰色關聯(lián)分析法來求解該模型。

2.1 使用層次分析法確定指標權重

層次分析法(AHP:Analytic Hierarchy Process)是由美國著名運籌學家薩蒂(T L SAATY)教授提出來的一種系統(tǒng)分析方法。這種方法把一個復雜的問題按照屬性邏輯關系逐層分解，形成一個層次結構來加以分析，以簡化問題的難度，并在逐層分解的基礎上加以綜合，給出復雜問題的求解結果［3］。

2.1.1 層次分析法的實施步驟

(1)建立層次結構圖

首先要將評價的目標分解為各種組成因素，將這些因素再按屬性關系分解為次級組成因素，如此層層分解形成一個有序的層次結構，如目標層O、指標層U、方案層A等。所設計的層次結構圖如圖1所示。

圖1 層次結構圖

(2)構造判斷矩陣

針對上層要素Oi，假設U1，U2，…，Un是n個與Oi有關聯(lián)的下層要素，要分析U層各要素針對Oi的相對重要程度，就可以構造一個n×n階的判斷矩陣，如表1。

表1 判斷矩陣

在進行標度判斷時傳統(tǒng)的1—9 標度一致性比較差，故文中采用en/5標度來代替1—9 標度，兩種標度的關系如表2。

表2 標度定義

(3)一致性檢驗

一致性檢驗是指判斷矩陣中各個要素的重要性判斷是否一致，不能出現(xiàn)矛盾。一致性判斷的公式如下:

式中:C.Ⅰ.為一致性指標，值越小表明判斷矩陣的一致性越好;λmax為矩陣的最大特征值;n為矩陣階數;R.Ⅰ.為平均隨機一致性指標，不同階數的值可查表得到;C.R.為一致性比值，當C.R.＜0.1 時判斷矩陣具有滿意的一致性，若不滿足此要求則要重新確立判斷矩陣。

(4)確定指標權重

根據層次分析法原理，指標權重的確定就是求判斷矩陣的特征根和特征向量，特征向量就是各指標的權重向量，特征值可以用來判斷特征矩陣是否滿足一致性，只有滿足一致性所求的權重向量才有效。在層次分析法中一般采用近似計算的方法，常用的方法有“方根法”和“求和法”［3］，這里不再詳細介紹具體公式。

有時，進行層次分析時其結構層次數不止一層，此時就要求出其最終權重集。假設上一層要素U1，U2，…，Um的權重已經確定，其數值為w1，w2，…，wm;且本層各要素A1，A2，…，An對Ui的各層權重結果為w1i，w2i，…，wni，那么本層最終的權重集為:

其中i=1，2，3…，m;j=1，2，3，…，n。

2.2 使用灰度關聯(lián)法計算關聯(lián)矩陣

在使用灰度關聯(lián)法計算關聯(lián)矩陣時，需要確定原始矩陣和參考指標體系、指標值無量綱化以及計算關聯(lián)系數［5］。

2.2.1 原始矩陣和參考指標體系的確定

假設在一個優(yōu)化問題中有n個備選方案，每個方案都有w個指標，那么就可構造出一個n×w的原始矩陣，如下:

參考指標在確定時應該遵循一個原則，即:它是從各個方案指標值中選取的最優(yōu)值或者是常規(guī)下的理想值作為自己的指標數值。如果選取a0=［a01，a02，…，a0w］作為參考指標那么a01，a02，…，a0w都是參考指標中的最優(yōu)值。

2.2.2 指標值量綱一化

由于不同指標的原始序列的量綱是不一致的，因此，需進行量綱一化處理以統(tǒng)一量綱。量綱一化的常見的方法有初始值法、均值化法和區(qū)間值化法。文中使用區(qū)間值法對指標進行量綱一化的處理，具體公式如下:

指標最優(yōu)值為最大值時:

指標最優(yōu)值為最小值時:

經過量綱一化處理后就可以得到如下的矩陣:

此時前面選取的參考指標就變成了e0=［1，1，…，1］。

2.2.3 計算關聯(lián)系數

關聯(lián)系數的意義就是比較各方案指標和理想指標之間的關聯(lián)程度，公式如下:

式中:ρ 為分辨率，ρ=0～1，一般取0.5 為宜［4］。

事實上經過量綱一化之后，上述公式可以簡化為:

關聯(lián)系數求出之后，就可得到關聯(lián)矩陣，如下:

2.3 計算關聯(lián)度

關聯(lián)度的計算是切削速度進行優(yōu)化選擇時的關鍵步驟，只要計算出了各個方案相對于最優(yōu)方案的關聯(lián)度，就可直接定量的比較出那種方案是最符合綠色制造要求的，即綠色度最高的。

關聯(lián)度的計算就是將上面求到的最終權重集引入到關聯(lián)矩陣中，公式如下:

式中:Q為可比較的數據集;ε 為關聯(lián)矩陣;W 為指標的權重向量。

從上述公式就可以得到一個與最優(yōu)方案有關的數據集，經過比較它們值的大小就可確定哪種方案和最優(yōu)方案最接近，即為最優(yōu)切削速度方案［6］。

3 結束語

所研究的切削速速度的優(yōu)選方法在理論上有很強的可行性，對于某些評價方案來說它們的指標值都是通過經驗判斷或模糊處理得到的，這有一定的誤差，而文中的指標值都是由公式直接得到，不會有人為的誤差，而且文中采用的是改進標度的層次分析法能夠使計算出來的結果具有更高的準確性。此外在進行模型求解時，可以使用MATLAB 工具，在MATLAB 中建立實現(xiàn)此功能的M 文件，只需將要比較的切削速度輸入進去就可判斷哪一個綠色度最高。此方法方便快捷可以很好地解決切削速度難選擇的問題，與傳統(tǒng)的方法相比更高速、精密、清潔，完全符合綠色制造的要求。

［1］王杰，李方信，肖素梅.機械制造工程學［M］.北京:北京郵電大學出版社，2003.

［2］江志剛，張華.綠色制造企業(yè)生產過程多目標集成決策指標體系研究術［J］.機械設計與制造，2008(8):232-234.

［3］謝家平.綠色設計評價與優(yōu)化［M］.武漢:中國地質大學出版社，2004.

［4］李友賓，李苗苗，路世昌.基于層次-灰色關聯(lián)分析的虛擬企業(yè)戰(zhàn)略伙伴選擇［J］.遼寧工程技術大學學報:社會科學版，2006，8(1):59-61.

［5］陳婀娜.基于灰色系統(tǒng)理論的數控機床選型決策［J］.微機計算機信息，2006，22(6):138-139.

［6］于志慧，丁毅.基于灰色綜合評價法的包裝評價模型研究［J］.包裝工程，2012，33(3):59-62.