韓名君，李長波，錢 峰，陶玉貴

1.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽蕪湖，241000；2.安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院，安徽合肥，230601

隨著世界上半導(dǎo)體制造工藝的進(jìn)步，半導(dǎo)體器件的尺寸也是越來越小［1］；我國的半導(dǎo)體技術(shù)也在飛速發(fā)展，目前國內(nèi)的集成電路設(shè)計(jì)主要是著眼于65nm、45nm工藝。因此，集成電路設(shè)計(jì)人員迫切需要簡單而又有較高精確度的模型。而隨著器件的縮小，亞閾值電流極大地影響了器件的工作特性，這方面已經(jīng)成為科研人員研究的一個重點(diǎn)方向。目前的MOSFET電流模型研究主要分為兩大類：一類是從電荷出發(fā)，根據(jù)經(jīng)典的薄層電荷模型、耗盡層近似等得到相應(yīng)的電流模型，此類模型在計(jì)算時均要計(jì)算一個包含電勢的指數(shù)函數(shù)的積分，而過去的電勢計(jì)算多是一維模型或者是準(zhǔn)二維模型［2－4］，非常便于計(jì)算但是精確度不高，當(dāng)溝道長度縮小到納米級別時，誤差經(jīng)計(jì)算約為20%，因而不再適用于超短溝道情況；另一類模型是考慮器件的量子效應(yīng)，得到帶有量子效應(yīng)修正量的電流模型［5］，該類模型計(jì)算簡單，但是包含的修正量難以理解、難以測定，給設(shè)計(jì)人員帶來很大的麻煩，同時精確度也得不到保證。

基于以上分析，本文研究一種基于精確的二維電勢模型算法上的亞閾值電流模型，給出了包含二維電勢的指數(shù)函數(shù)積分的計(jì)算方法，并同時考慮了熱電子發(fā)射電流，最終得到了超短溝道亞閾值電流模型。通過與Medici［6］仿真結(jié)果比較，本文提出的模型能夠精確模擬亞閾值下的25～45nm MOSFET器件電流特性。

1 二維電勢模型

在亞閾值下，考慮如圖1所示襯底為均勻摻雜的NMOSFET模型，圖中Ⅰ區(qū)為SiO2區(qū)域，Ⅱ區(qū)位于溝道內(nèi)的耗盡層區(qū)域，Ⅰ區(qū)電勢ψΙ（x，y）滿足拉普拉斯方程及其邊界條件。

圖1 MOSFETs坐標(biāo)圖

氧化層電勢ψΙ（x，y）和耗盡層電勢ψⅡ（x，y）之間的邊界條件是：

式中，q為電子電量，εsi和εr對應(yīng)為硅和氧化層的介質(zhì)常，tox為氧化層厚度，L表示溝道長度，QS為界面電荷。令圖1中的柵極電勢為禁帶寬度，源極電勢，漏極電勢Vds＝Vd＋，Vg、Vs和Vd分別為柵源、源極、漏極外加電壓，襯底電勢VB＝－，ni為本征載流子濃度。

在耗盡層區(qū)域，MOSFET在亞閾值區(qū)可以忽略載流子的影響，這樣器件的耗盡層內(nèi)只有固定離化電荷。令0～d的區(qū)域?yàn)棰騾^(qū)，引入矩形等效源，得到耗盡層區(qū)域ψⅡ（x，y）的定解問題是：

在耗盡層底部有電勢能極值點(diǎn)，滿足條件：

根據(jù)文獻(xiàn)［8］提出的半解析法求解式（1）～（4），得到超短溝道下的二維電勢解析模型為：

其中的系數(shù)B0、Bn和am、bm、cm、dm為未知常數(shù)，用半解析法計(jì)算。

由此得到表面勢模型為：

2 亞閾值電流模型

根據(jù)文獻(xiàn)［4］，亞閾值漏電流的經(jīng)典表達(dá)式為：

其中等效耗盡層厚度為：

由于其中的閾值電壓Vth為未知量，可以將其設(shè)為Vth＝ηφf，φf＝，η為適配參數(shù)，經(jīng)典的長溝道閾值電壓定義為Vth＝2φf，η取2，而對超短溝道下的閾值電壓，由于DIBL效應(yīng)和短溝效應(yīng)等效應(yīng)的影響η＜2，經(jīng)仿真擬合可以取η≈1.8。

式（8）中的φs（0）和φs（L）則分別是源端和漏端電勢，根據(jù)圖1的MOSFET模型坐標(biāo)有φs（0）＝Vss和φs（L）＝Vds，W則是器件寬度，熱電壓為載流子遷移率。

式（6）中的φs（y）如果直接用于求解亞閾值電流非常困難，因此本文提出采用將φs（）y的求和項(xiàng)用最佳平方逼近法去逼近，設(shè)：

定義函數(shù)：

并對f（y）的平方項(xiàng)f（y）2作積分，得到：

將I分別對p0、p1和p2求導(dǎo)，并使求導(dǎo)結(jié)果為零，可以得到方程組：

計(jì)算解得p0、p1和p2，代入φs（）y后可以將φs（）y可以化簡為：

最后得到漏電流計(jì)算式為：

此為基于精確的二維電勢模型基礎(chǔ)上給出的亞閾值電流計(jì)算模型，適用于長溝道情況下。

隨著溝道長度的縮短，單純的計(jì)算式（16）而忽略熱電子發(fā)射電流，得到的結(jié)果與實(shí)際誤差較大，因此熱電子發(fā)射電流Ite不可忽略。當(dāng)漏極偏置電壓為零時，熱電子發(fā)射電流為零；而當(dāng)漏極偏置電壓逐漸增大時，此時的漏電流很大程度上取決于器件的熱電子發(fā)射電流，熱電子發(fā)射電流定義為：

其中，I0＝WδA＊T2，A＊為 Richardson常數(shù)，具體計(jì)算時為：

其中，A＊0＝1.0×106，L0＝50nm。

這樣，對于超短溝道MOSFET器件，亞閾值電流模型為漏電流和熱電子發(fā)射電流的并聯(lián)：

3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的正確性，將電流模型計(jì)算值與Medici模擬結(jié)果對比分析，柵氧化層厚度取2nm，界面電荷密度QS＝1e10cm－2。源、漏結(jié)中的摻雜濃度ND＝2e20cm－3，其余工藝參數(shù)則在參考國際半導(dǎo)體工藝路線圖（ITRS）的基礎(chǔ)上具體給定。

圖2為不同溝道長度下的亞閾值電流對數(shù)特性曲線，溝道長度L分別取25nm、30nm和35nm，漏電壓Vd＝0.2V。由圖可見，本文模型可以得到超短溝道情況下的精確亞閾值電流值。在計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)隨著溝道長度的縮短，熱電子電流增大，而隨著工藝的發(fā)展，溝道長度還在急劇縮短，因此，本文模型對預(yù)測40nm以下的溝道長度電流具有指導(dǎo)意義。

圖2 亞閾值電流隨L變化的曲線

圖3為不同漏極偏置電壓Vd下的亞閾值電流對數(shù)特性曲線，溝道長度取45nm，Vd從0.1V變化到1V，從圖中可以看出，在亞閾值情況下，本文模型與MEDICI結(jié)果吻合，誤差小于6%，因此該模型可以準(zhǔn)確預(yù)測漏致勢壘降低（DIBL）效應(yīng)對亞閾值電流的影響。

圖3 亞閾值電流隨Vd變化的曲線

圖4為不同溝道摻雜濃度NA下的亞閾值電流對數(shù)特性曲線，此處的溝道長度取35nm，NA則從NA變化到NA。由圖可見，本文模型同樣可以精確模擬摻雜濃度對器件亞閾值電流的影響。

圖4 亞閾值電流隨NA變化的曲線

4 結(jié) 論

本文提出了基于精確的二維電勢模型的亞閾值電流的計(jì)算方法，同時考慮了熱電子發(fā)射電流，最終得到了超短溝道亞閾值電流模型。通過與Medici仿真結(jié)果比較表明，在不同的溝道長度、偏置電壓和摻雜濃度下，該電流模型均能夠精確模擬亞閾值下的25～45nm MOSFET器件電流特性。該算法同樣可以運(yùn)用于其他不同結(jié)構(gòu)的MOSFET器件模型。

［1］ITRS.2011Technology Working Group Reports［EB／OL］.［2014－01－10］.http：／／www.itrs.net／Links／2011ITRS／Home2011.htm，2012－01－20／2013－07－16

［2］Xie Q，Xu Jnm，Yuan Taur.Review and critique of analytic models of MOSFET short－channel effects in subthreshold［J］.IEEE Trans ED，2012，59（6）：1569－1579

［3］D J Frank，Y Taur，H－S P Wong.Generalized scale length for two dimensional effects in MOSFETs［J］.IEEE ED Lett，1998，19（10）：385－387

［4］S Baishya，A Allik，C K Sarkar.A subthreshold surface potential model for short－channel MOSFET taking into account the varying depth of channel deplation layer due to source and drain junction［J］.IEEE Trans ED，2006，53（3）：507－514

［5］G S Jayadeva，Amitava DasGupta.Analytical Approximation for the Surface Potential in n－Channel MOSFETs Considering Potential in n－Channel MOSFETs Considering［J］.IEEE Trans ED，2010，57（8）：1820－1828

［6］MEDICI version A user guide［D］.California，UC：Synopsys Company，2007

［7］T Toyabe，S Asai.Analytical models of threshold voltage and breakdown voltage of short－channel MOSFETs derived from two－dimensional analysis［J］.IEEE Trans ED，1979，26（4）：453－461

［8］韓名君，柯導(dǎo)明.超短溝道MOSFET電勢的二維半解析模型［J］.物理學(xué)報(bào)，2013，62（9）：098502