鞠花

（西安理工大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710048）

案例教學(xué)法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課堂教學(xué)中的應(yīng)用

鞠花

（西安理工大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710048）

針對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》傳統(tǒng)教學(xué)中存在的重理論輕實(shí)踐、重知識輕能力的不足，本文在簡要分析了案例教學(xué)法的內(nèi)涵及其教學(xué)步驟的基礎(chǔ)上，將案例教學(xué)法應(yīng)用于《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》古典概型知識點(diǎn)的課堂教學(xué)中，取得了良好的教學(xué)效果。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；案例教學(xué)法；應(yīng)用

一、引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步與計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，無論在自然科學(xué)領(lǐng)域還是在社會科學(xué)領(lǐng)域中，傳統(tǒng)的肯定性數(shù)學(xué)已經(jīng)不能合乎要求地解決所遇到的各類理論問題及應(yīng)用問題，因而在這個(gè)過程中隨機(jī)性數(shù)學(xué)即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展[1]。長期以來，隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在理論上不斷成熟與完善，它在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用日益廣泛和深入。當(dāng)今許多新興學(xué)科諸如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能等都以它為基礎(chǔ)；它與基礎(chǔ)學(xué)科相結(jié)合已發(fā)展出許多邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理、數(shù)理經(jīng)濟(jì)等?；谏鲜鰧?shí)際應(yīng)用背景，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要性越來越受到人們的重視。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程已成為理工科各專業(yè)大學(xué)生的一門必修課程，也是目前全國研究生入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題中重要內(nèi)容之一。因此，學(xué)習(xí)與掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論與應(yīng)用，不僅是將來從事科學(xué)研究與工程實(shí)際工作的需要，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與個(gè)人深造的需要，也是高度發(fā)展的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)對現(xiàn)代化人才提出的基本要求[1]。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是研究和探索隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)科學(xué)。通過本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)理工科學(xué)生靈活地運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論和方法處理和解決客觀世界中實(shí)際隨機(jī)現(xiàn)象問題的能力。然而，長期以來以老師為中心的灌輸式、填鴨式的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)模式過于側(cè)重理論推導(dǎo)和計(jì)算技巧訓(xùn)練，忽視對學(xué)生解決問題的思想方法和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在上述傳統(tǒng)教學(xué)活動過程中學(xué)生往往只是被動的聽眾，并沒有主動地參與教學(xué)活動，不能充分發(fā)揮學(xué)生的主動性和積極性，更談不上利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法去解決實(shí)際問題。因此，如何提高課堂效率和達(dá)到最佳教學(xué)效果成為從事此類教學(xué)工作的教師長期關(guān)注和研究的問題。針對這種情況，許多高校都提出了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》案例教學(xué)法[2-4，6-9]，而如何在課堂上實(shí)施案例教學(xué)成為教學(xué)工作者研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，針對傳統(tǒng)教學(xué)法存在的不足，筆者就在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的古典概型知識點(diǎn)的課堂教學(xué)中如何合理地應(yīng)用案例教學(xué)法提出自己的一些認(rèn)識和見解。

二、案例教學(xué)法的內(nèi)涵及優(yōu)勢

案例教學(xué)法自20世紀(jì)初被美國哈佛商學(xué)院倡導(dǎo)用于管理學(xué)教育以來，已被許多國家的教學(xué)實(shí)踐證明是一種具有啟發(fā)性、實(shí)踐性并有利于提高學(xué)生應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)的教學(xué)方法[5]。

案例教學(xué)法是以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，教師在教學(xué)過程中，根據(jù)課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的需要，選擇含有問題或疑難情境在內(nèi)的真實(shí)發(fā)生的典型事件（案例），采用引導(dǎo)、啟發(fā)、參與等多種教學(xué)方式，通過深入分析、討論和交流的教學(xué)互動過程，以設(shè)計(jì)者和激勵者的角色組織學(xué)生積極參與課前精心設(shè)計(jì)的案例所提供的客觀事實(shí)和問題的分析和討論，提出見解并做出判斷和決策，從而加深學(xué)生對課堂教學(xué)內(nèi)容理解和提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的一種教學(xué)方法。案例教學(xué)法具有教學(xué)目的明確、引用案例客觀真實(shí)、對學(xué)生有深刻的啟發(fā)性、充分發(fā)揮學(xué)生主體性、較強(qiáng)的實(shí)踐性等特點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)揮著重要的作用[10]。

與傳統(tǒng)教學(xué)法相比，案例教學(xué)法具有明顯的優(yōu)勢[6]，具體包括：①有利于提高學(xué)習(xí)的趣味性；②有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性；③有利于提高學(xué)生的語言文字表達(dá)能力；④有利于培養(yǎng)學(xué)生交流和合作的意識；⑤有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長。同時(shí)，大量研究表明：案例教學(xué)法可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性與積極性，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，從而達(dá)到“教”和“學(xué)”的互動交流，增強(qiáng)師生之間的溝通，有助于生動活潑的課堂氣氛的形成。

三、案例教學(xué)法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用

1.案例教學(xué)法的應(yīng)用步驟。根據(jù)案例教學(xué)法的上述內(nèi)涵可知，案例教學(xué)法是在課堂教學(xué)中對案例進(jìn)行深入分析和討論的基礎(chǔ)上引入某一基本概念或理論知識，并不是簡單地實(shí)例推理、求解，而這樣可以提高學(xué)生對這一知識的理解和掌握，進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實(shí)際問題的能力。因此在課堂上應(yīng)用案例教學(xué)法時(shí)，通常要遵循以下幾個(gè)步驟。

（1）根據(jù)所講授的知識點(diǎn)內(nèi)容，精選案例。案例與一般的例題不同，必須有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解，任何理想化的、脫離實(shí)際的例子都會誤導(dǎo)學(xué)生，從而失去教學(xué)的意義，這是實(shí)施案例教學(xué)的前提條件。選出的案例要求主題突出、有理論深度，而且具有真實(shí)性、針對性、典型性和時(shí)代性，是大家共同感興趣的話題?？傮w而言，為了達(dá)到良好的教學(xué)效果，應(yīng)選擇與相應(yīng)專業(yè)比較貼近的案例，以便調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

（2）對挑選出的案例進(jìn)行問題設(shè)計(jì)，做好案例的討論、分析。案例的討論與分析是案例教學(xué)的中心環(huán)節(jié)。對案例進(jìn)行討論的目的是提出解決問題的途徑與方法，可以從自身角度出發(fā)來剖析案例，說明自己的觀點(diǎn)和看法。教師要掌握討論的進(jìn)程，讓學(xué)生成為案例討論的主體，同時(shí)把握好案例討論的重點(diǎn)和方向，進(jìn)行必要的引導(dǎo)。同時(shí)，在組織案例教學(xué)時(shí)要輔以各種有效的教學(xué)方法，如啟發(fā)式教學(xué)、討論式教學(xué)，讓學(xué)生積極參與，大膽發(fā)表意見，提出觀點(diǎn)，深入思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情及科研興趣，使案例教學(xué)效果達(dá)到最佳，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)原理解決實(shí)際問題的能力[2，7]。

（3）對所選的案例所解決的問題一定要進(jìn)行歸納總結(jié)。案例總結(jié)是保證和提高案例教學(xué)質(zhì)量的必備環(huán)節(jié)。對案例的總結(jié)一般要包括以下內(nèi)容：一是對討論過程進(jìn)行總結(jié)，對于一個(gè)案例，讓學(xué)生提出各種觀點(diǎn)及其案例所包含的概率統(tǒng)計(jì)原理，讓學(xué)生通過分析和評價(jià)案例，掌握正確處理和解決復(fù)雜多變的現(xiàn)實(shí)問題的思路與方法[2，7]；二是教師對案例中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題作補(bǔ)充或提高性的闡述，指出學(xué)生在分析案例時(shí)存在的問題，并提出需要進(jìn)一步深入思考的問題[2，7]；三是教師自身在課后進(jìn)行總結(jié)分析，所選取的教學(xué)案例是否恰當(dāng)，與課堂知識點(diǎn)的結(jié)合是否良好，案例教學(xué)是否達(dá)到了預(yù)期效果，存在哪些問題，以便加以改進(jìn)[7]。

2.案例教學(xué)法應(yīng)用實(shí)例。在教授古典概型時(shí)，可以采用如下步驟進(jìn)行案例教學(xué)。

（1）案例引入。引入擲骰子實(shí)驗(yàn)，提出的問題是：①實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果是什么，是否是有限的？②每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否是等可能出現(xiàn)的，概率為多少？③擲骰子擲出偶數(shù)點(diǎn)的概率是多少？

（2）案例分析與討論。首先，分析擲骰子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果即樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}，從而得到實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是有限個(gè)；其次，討論每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否等可能的發(fā)生，經(jīng)過討論得出在骰子質(zhì)量均勻分布情況下，每個(gè)實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果都是等可能發(fā)生的，從而得出每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率為；然后，在第二個(gè)問題討論的基礎(chǔ)上，得出偶數(shù)點(diǎn)的出現(xiàn)概率為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為2、4、6的概率之和，即

（3）歸納總結(jié)。

（a）經(jīng)過歸納可知，擲骰子實(shí)驗(yàn)有兩個(gè)特點(diǎn)：①實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是有限的；②實(shí)驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果是等可能發(fā)生的。凡是滿足上述兩個(gè)特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)，都屬于古典概型的范疇，從而引入了古典概型的概念。為了加深學(xué)生對古典概型的認(rèn)識，也可以對拋硬幣、抽取產(chǎn)品、買彩票等實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，以判斷它們是否為古典概型。

（b）授課教師在課堂上通過引導(dǎo)學(xué)生參與討論與分析，總結(jié)出古典概型中事件A的概率計(jì)算公式，即

（4）實(shí)例應(yīng)用。在公園門口，一個(gè)擺地?cái)偟馁€主將8個(gè)白色的、8個(gè)紅色的乒乓球放在袋子里。賭主規(guī)定：自愿摸彩者在交1元錢的“手續(xù)費(fèi)”后，可一次性從袋子中摸出5個(gè)球；在摸出的5個(gè)乒乓球中，有5個(gè)紅球獎勵20元，有4個(gè)紅球獎勵2元，有3個(gè)紅球獎勵價(jià)值5角的紀(jì)念品，而僅有1個(gè)或2個(gè)紅球則無任何獎勵。由于本錢較少，許多圍觀者都躍躍欲試，有的竟連摸數(shù)十次，結(jié)果許多人“乘興而摸，敗興而歸”，獲獎?wù)吡攘葻o幾，這是怎么一回事呢？請計(jì)算能獲得20元和2元獎勵的概率分別是多少？假如每天按摸球1000次計(jì)算，賭主一天可掙多少錢？

分析：由題意分析可得，從袋子中取球?qū)儆诠诺涓判?，因此摸到紅球的概率計(jì)算可采用上述古典概型事件概率計(jì)算公式。從袋子中摸出5個(gè)球的情況共有種，摸到5個(gè)紅球的情況有種，摸到4個(gè)紅球的情況有種，摸到3個(gè)紅球的情況有種。因此，摸獎?wù)攉@得20元獎金的概率為，獲得2元獎金的概率為0.128，獲得紀(jì)念品的概率為由此可以看出，摸獎?wù)攉@得20元和2元獎金的概率都比較低，所以許多人都“乘興而摸，敗興而歸”。假定一天摸球1000次，按照上述計(jì)算得到的概率值，獲得20元獎金的次數(shù)為13次，獲得2元獎金的次數(shù)為128次，獲得紀(jì)念獎的次數(shù)為359次，因此賭主支付的獎金總額為 13×20+128×2+359× 0.5=695.5元，而賭主收到的摸彩手續(xù)費(fèi)為1000元，則賭主一天可掙1000－695.5=304.5元。

從上述實(shí)例中可以看出，摸彩是一種欺詐行為，賭主保贏不輸。通過上述案例教學(xué)，學(xué)生在課堂上不僅學(xué)習(xí)了新知識，還增強(qiáng)了自身對社會詐騙行為的防范意識，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、案例教學(xué)法的應(yīng)用效果

與傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)方法相比，案例教學(xué)法可以充分發(fā)揮教學(xué)互動的優(yōu)點(diǎn)，體現(xiàn)學(xué)生是教學(xué)主體，使原本枯燥刻板的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論變得直觀易懂。教師結(jié)合案例的應(yīng)用，用通俗易懂的教學(xué)方式將這些理論講細(xì)、講透，讓學(xué)生真正理解并掌握案例所涉及的理論知識，從而降低專業(yè)課的理論難度；案例教學(xué)法的討論模式既豐富了教學(xué)形式，又要求學(xué)生靈活地運(yùn)用所學(xué)知識，模擬解決實(shí)際問題，促使學(xué)生主動思考、分析、解決問題；同時(shí)，學(xué)生間、師生間的合作分析與研討還可以鍛煉和提高學(xué)生合作共事與交流協(xié)作的能力[8，9]。

與其他教學(xué)法相比，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課堂教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)法可以更好地加深學(xué)生對基本概念的理解和對理論與方法的掌握；實(shí)施案例教學(xué)法可以顯著提高學(xué)生對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的學(xué)習(xí)積極性與主動性，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力、語言表達(dá)能力，從而取得良好的教學(xué)效果。

[1]時(shí)凌，魏代俊，吳勇.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)改革研究與探討[J].咸寧學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，（30）：145-147.

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[8]李春麗.案例教學(xué)法在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中的運(yùn)用[J].中國電力教育，2012，237（14）：83-84.

[9]王利超，呂丹，劉婷.“案例教學(xué)法”在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與咨詢，2009，（1）：42-43.

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G642.41

A

1674-9324（2014）20-0080-02

西安理工大學(xué)教改項(xiàng)目（108-00J1104）。

鞠花（1976-），女，河南鄧州人，講師，碩士，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、線性代數(shù)研究。