周文國

導(dǎo)數(shù)作為重要的工具能夠幫助我們對函數(shù)性質(zhì)和圖象有深刻的認(rèn)識(shí)和理解，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)中參數(shù)的取值范圍是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，讓我們一起走進(jìn)導(dǎo)數(shù)中求參數(shù)取值范圍的問題.

一、數(shù)形結(jié)合，以靜制動(dòng)

例1若函數(shù)f（x）=ex-2x-a在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析：本題可先將函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)y=2x+a和y=ex，并通過數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行研究.

解：當(dāng)直線y=2x+a和y=ex相切時(shí)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)切點(diǎn)是（ln2，2），直線方程是

y=2x+2-2ln2，將直線y=2x+2-2ln2向上平移，這時(shí)兩曲線必有兩個(gè)不同的交點(diǎn).則此時(shí)可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，+∞）

點(diǎn)評：通過數(shù)形結(jié)合將復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)較為簡單的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，是解決很多導(dǎo)數(shù)與函數(shù)結(jié)合問題的常用方法.

二、轉(zhuǎn)化函數(shù)，分類擊破

例2已知函數(shù)f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線也是拋物線y2=4（x-1）的切線，求a的值；（2）若對于任意x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗，f（x）>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=-1時(shí)，是否存在x0∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x0處的切線斜率與f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等？若存在，求符合條件的x0的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由.

分析：本題是研究不等式的恒成立問題，一般可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題，從而得到參數(shù)的取值范圍.

解：（1）f′（x）=ex+a，f′（1）=e+a，所以在x=1處的切線為y-（e+a）=（e+a）（x-1），即y=（e+a）x，

將y=（e+a）x與y2=4（x-1）聯(lián)立，消去y得（e+a）2x2-4x+4=0，由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e.

（2）f′（x）=ex+a，

①當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）>0，f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→-∞時(shí)，ex→0，f（x）→-∞，

故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合題意；

②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex>0對x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗恒成立，所以a=0符合題意；

③當(dāng)a<0時(shí)，令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時(shí)，f′（x）<0；

當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時(shí)，f′（x）>0，則f（x）在x∈（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，所以a>-e，又a<0，所以a∈（-e，0），綜上a的取值范圍為（-e，0].

（3）當(dāng)a=-1時(shí)，由（2）知f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1.

設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，則h′（x）=ex（lnx+〖SX（〗1x-1）+1，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)x0∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x0處的切線斜率與f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等，x0即為方程的解，令h′（x）=1得，ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0，

因?yàn)閑x>0，所以lnx+〖SX（〗1x-1=0.令φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1，則φ′（x）=〖SX（〗1x-〖SX（〗1x2=〖SX（〗x-1x2，

當(dāng)01時(shí)，φ′（x）>0，所以φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.所以φ（x）>φ（1）=0，故方程ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0有惟一解為1，所以存在符合條件的x0，且僅有一個(gè)x0=1.

導(dǎo)數(shù)作為重要的工具能夠幫助我們對函數(shù)性質(zhì)和圖象有深刻的認(rèn)識(shí)和理解，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)中參數(shù)的取值范圍是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，讓我們一起走進(jìn)導(dǎo)數(shù)中求參數(shù)取值范圍的問題.

一、數(shù)形結(jié)合，以靜制動(dòng)

例1若函數(shù)f（x）=ex-2x-a在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析：本題可先將函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)y=2x+a和y=ex，并通過數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行研究.

解：當(dāng)直線y=2x+a和y=ex相切時(shí)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)切點(diǎn)是（ln2，2），直線方程是

y=2x+2-2ln2，將直線y=2x+2-2ln2向上平移，這時(shí)兩曲線必有兩個(gè)不同的交點(diǎn).則此時(shí)可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，+∞）

點(diǎn)評：通過數(shù)形結(jié)合將復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)較為簡單的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，是解決很多導(dǎo)數(shù)與函數(shù)結(jié)合問題的常用方法.

二、轉(zhuǎn)化函數(shù)，分類擊破

例2已知函數(shù)f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線也是拋物線y2=4（x-1）的切線，求a的值；（2）若對于任意x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗，f（x）>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=-1時(shí)，是否存在x0∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x0處的切線斜率與f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等？若存在，求符合條件的x0的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由.

分析：本題是研究不等式的恒成立問題，一般可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題，從而得到參數(shù)的取值范圍.

解：（1）f′（x）=ex+a，f′（1）=e+a，所以在x=1處的切線為y-（e+a）=（e+a）（x-1），即y=（e+a）x，

將y=（e+a）x與y2=4（x-1）聯(lián)立，消去y得（e+a）2x2-4x+4=0，由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e.

（2）f′（x）=ex+a，

①當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）>0，f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→-∞時(shí)，ex→0，f（x）→-∞，

故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合題意；

②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex>0對x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗恒成立，所以a=0符合題意；

③當(dāng)a<0時(shí)，令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時(shí)，f′（x）<0；

當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時(shí)，f′（x）>0，則f（x）在x∈（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，所以a>-e，又a<0，所以a∈（-e，0），綜上a的取值范圍為（-e，0].

（3）當(dāng)a=-1時(shí)，由（2）知f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1.

設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，則h′（x）=ex（lnx+〖SX（〗1x-1）+1，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)x0∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x0處的切線斜率與f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等，x0即為方程的解，令h′（x）=1得，ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0，

因?yàn)閑x>0，所以lnx+〖SX（〗1x-1=0.令φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1，則φ′（x）=〖SX（〗1x-〖SX（〗1x2=〖SX（〗x-1x2，

當(dāng)01時(shí)，φ′（x）>0，所以φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.所以φ（x）>φ（1）=0，故方程ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0有惟一解為1，所以存在符合條件的x0，且僅有一個(gè)x0=1.

導(dǎo)數(shù)作為重要的工具能夠幫助我們對函數(shù)性質(zhì)和圖象有深刻的認(rèn)識(shí)和理解，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)中參數(shù)的取值范圍是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，讓我們一起走進(jìn)導(dǎo)數(shù)中求參數(shù)取值范圍的問題.

一、數(shù)形結(jié)合，以靜制動(dòng)

例1若函數(shù)f（x）=ex-2x-a在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析：本題可先將函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)y=2x+a和y=ex，并通過數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行研究.

解：當(dāng)直線y=2x+a和y=ex相切時(shí)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)切點(diǎn)是（ln2，2），直線方程是

y=2x+2-2ln2，將直線y=2x+2-2ln2向上平移，這時(shí)兩曲線必有兩個(gè)不同的交點(diǎn).則此時(shí)可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，+∞）

點(diǎn)評：通過數(shù)形結(jié)合將復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)較為簡單的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，是解決很多導(dǎo)數(shù)與函數(shù)結(jié)合問題的常用方法.

二、轉(zhuǎn)化函數(shù)，分類擊破

例2已知函數(shù)f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線也是拋物線y2=4（x-1）的切線，求a的值；（2）若對于任意x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗，f（x）>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=-1時(shí)，是否存在x0∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x0處的切線斜率與f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等？若存在，求符合條件的x0的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由.

分析：本題是研究不等式的恒成立問題，一般可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題，從而得到參數(shù)的取值范圍.

解：（1）f′（x）=ex+a，f′（1）=e+a，所以在x=1處的切線為y-（e+a）=（e+a）（x-1），即y=（e+a）x，

將y=（e+a）x與y2=4（x-1）聯(lián)立，消去y得（e+a）2x2-4x+4=0，由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e.

（2）f′（x）=ex+a，

①當(dāng)a>0時(shí)，f′（x）>0，f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→-∞時(shí)，ex→0，f（x）→-∞，

故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合題意；

②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex>0對x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗恒成立，所以a=0符合題意；

③當(dāng)a<0時(shí)，令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時(shí)，f′（x）<0；

當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時(shí)，f′（x）>0，則f（x）在x∈（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，所以a>-e，又a<0，所以a∈（-e，0），綜上a的取值范圍為（-e，0].

（3）當(dāng)a=-1時(shí)，由（2）知f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1.

設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，則h′（x）=ex（lnx+〖SX（〗1x-1）+1，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)x0∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x0處的切線斜率與f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等，x0即為方程的解，令h′（x）=1得，ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0，

因?yàn)閑x>0，所以lnx+〖SX（〗1x-1=0.令φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1，則φ′（x）=〖SX（〗1x-〖SX（〗1x2=〖SX（〗x-1x2，

當(dāng)01時(shí)，φ′（x）>0，所以φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.所以φ（x）>φ（1）=0，故方程ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0有惟一解為1，所以存在符合條件的x0，且僅有一個(gè)x0=1.