[摘要]得分規(guī)則（scoring rules）可以很好地對預(yù)測結(jié)果的“質(zhì)量”進(jìn)行評價，它是一種可以用來衡量和測評預(yù)測結(jié)果好壞程度的方法。它可以通過給定一種“規(guī)則”，對各種預(yù)測方案進(jìn)行賦值打分，選擇其中得分最少的來確定最佳預(yù)測方案，這一方法在諸如天氣、比賽結(jié)果等方面的預(yù)測有著很好的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]預(yù)測；得分規(guī)則；正規(guī)得分規(guī)則；應(yīng)用

一、正規(guī)得分規(guī)則的定義

“得分規(guī)則”一詞的首次出現(xiàn)是Good在1952年發(fā)表的一篇關(guān)于“合理決策”問題的文章中，而后Winkler于1969年討論了得分規(guī)則在被用來評估概率預(yù)測和被用來推導(dǎo)方面的區(qū)別，而正式的關(guān)于得分規(guī)則被用來做推導(dǎo)的研究可以在Savage和Lindley的文章中看到， Bernardo和Smith于1994年做了相關(guān)的補充[2]。此外，正規(guī)得分規(guī)則還可以用來引導(dǎo)出個人的主觀概率，Savage運用數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出了可以用來推導(dǎo)出個人主觀概率的正規(guī)得分規(guī)則的一般表達(dá)式，也就是所謂的球形得分規(guī)則。

Giovanni Parmigiani等[1]在《決策理論與方法》中提到針對一件未知事件θ設(shè)定一個賭局，在保證賭局設(shè)定方一定獲利的前提下給出一個賠付比q：（1-q），雙方按照按設(shè)定的賠付比各自支付賭金，賭金之和作為一次賭局的獎金總額S，最終由賭贏的一方獲得獎金。顯然，從賭局制定者的角度考慮，如果θ最終發(fā)生了，即θ=1，那么賣方將有收益-（1-q）S，如果θ最終沒有發(fā)生，收益為qS。而作為賭局的賠付比制定者，他自己也有著對于事件θ是否發(fā)生的一個主觀概率π，那么在這種情況下賭局制定者的期望收益為，顯然，當(dāng)取q=π時，賭局制定者的期望收益為0，此時的q=π是期望收益的一個臨界值，而根據(jù)預(yù)期效用最優(yōu)化原則，此時賭局制定者的預(yù)期效用最大。在這種得分規(guī)則下的賭局制定者的期望得分也達(dá)到最小。因此，正規(guī)得分規(guī)則的定義為當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正數(shù)π，使得成立時，我們稱之為正規(guī)得分規(guī)則，且當(dāng)π為唯一值時，此時的得分規(guī)則被稱為嚴(yán)格正規(guī)得分規(guī)則。

二、幾種常見的正規(guī)得分規(guī)則

自Good于1952年首次提出了正規(guī)得分規(guī)則這一概念并給出了第一個正規(guī)得分規(guī)則的數(shù)學(xué)形式以來，諸多學(xué)者根據(jù)不同的統(tǒng)計分析需要不斷提出了一系列的其他的正規(guī)得分規(guī)則，如二次得分規(guī)則、球形得分規(guī)則等。

①對數(shù)得分規(guī)則（logarithmic rule），最早由古德于1952年提出來的，也是最早的一種正規(guī)得分規(guī)則，其數(shù)學(xué)形式為：該得分規(guī)則最初是被用來計算負(fù)熵值對得應(yīng)的一種得分規(guī)則。這種得分規(guī)則的計分方法只與眾多狀態(tài)中最終發(fā)生的狀態(tài)有關(guān)，而與其他未發(fā)生的狀態(tài)無關(guān)。實際上，這種得分規(guī)則也是一種較為嚴(yán)格的得分規(guī)則—局部得分規(guī)則的典型代表。

②二次得分規(guī)則（Quadratic scoring rule ），是正規(guī)得分規(guī)則中最著名的一種得分規(guī)則。它最初是由Brier在研究天氣預(yù)測問題中的證明時所提出來的，而它的數(shù)學(xué)形式則是由Savage（1971）推導(dǎo)出來的，具體形式為：，其中，，。這種得分規(guī)則的最大優(yōu)點是可以通過修改系數(shù)A，B的值來實現(xiàn)其靈活應(yīng)用。Selten于1998年對它進(jìn)行了公理化的論證[4]。

③球形得分規(guī)則（Spherical rule），它是由Savage于1971年首次提出的，它是球面得分規(guī)則下的一種特殊情況，其具體數(shù)學(xué)公式為： 。

三、正規(guī)得分規(guī)則在預(yù)測問題上的應(yīng)用

正規(guī)得分規(guī)則在預(yù)測問題上的應(yīng)用非常廣泛。本文選取了NBA2013-2014季后賽總冠軍的歸屬作為預(yù)測事件θ，某博彩公司將為兩支球隊的奪冠可能性設(shè)定賭局，使得博彩公司的盈利最大?？倹Q賽的對陣雙方為邁阿密熱隊和圣安東尼奧馬刺隊，這一事件只存在兩種狀態(tài)θ1和θ2（θ1表示熱隊奪冠，θ2表示馬刺隊奪冠）。博彩公司要根據(jù)兩隊的球員實力和狀態(tài)、教練的經(jīng)驗、主場優(yōu)勢、以及個人的偏好等因素給出兩隊的勝率。此處，將每個預(yù)測人員給出的兩隊的勝率預(yù)測表示為q1和q2，而每個預(yù)測者的個人主觀勝率表示為π1和π2，那么博彩公司到底應(yīng)該根據(jù)哪個預(yù)測者的預(yù)測結(jié)果去設(shè)定一個賠付比，才能使期望受益最大呢？而預(yù)測者應(yīng)該怎樣給出自己的預(yù)測概率才能使自己的預(yù)測結(jié)果最為精確呢？我們可以為每個預(yù)測者設(shè)定一個得分（q-θ）2以表示預(yù)測結(jié)果與實際情況的偏差，那么按照這種得分規(guī)則下的每個預(yù)測者的期望得分為：

顯然，取q1=π1時，預(yù)測者的期望得分最少，那么博彩公司到底應(yīng)怎樣從中選取最合理的預(yù)測結(jié)果呢？為此，本文選擇了具有代表性的ESPN部分專家的預(yù)測結(jié)果代替并選擇最具代表性的二次得分規(guī)則作為計算每個預(yù)測者的期望得分的方法。因為事件θ有兩種狀態(tài)，因此，并取。那么此處的得分規(guī)則為。

我們不難算出在此得分規(guī)則下的每個預(yù)測專家的期望得分，得分結(jié)果如表1所示：

表1在二次得分規(guī)則下每個專家預(yù)測的兩隊勝率及期望得分

顯然，前后分別有四位專家是預(yù)測熱隊和馬刺隊將會奪得總冠軍，前四位專家中Thorpe得分最低，后四位專家中Torres的得分最低，按照得分最少預(yù)測效果最好的原則，應(yīng)分別取這兩位專家的預(yù)測概率作為設(shè)定兩支球隊是否奪冠的賠付比，而根據(jù)正規(guī)得分規(guī)則的定義，我們認(rèn)為每個專家所給出的預(yù)測概率均為個人的主觀概率，那么博彩公司最終為熱隊和馬刺隊設(shè)定的賠付比應(yīng)為2.45：1和3.17：1。按照這樣的賠付比來設(shè)定賭局能保證博彩公司能夠始終盈利。

四、總結(jié)

得分規(guī)則作為決策理論中的一個重要方法在對未知事件的預(yù)測方面有著廣泛的應(yīng)用。本文將正規(guī)得分規(guī)則的原理運用到NBA等體育賽事結(jié)果的預(yù)測上。在研究過程中，部分假設(shè)合理化了一些因素，且未能考慮到不同預(yù)測者之間的綜合影響，所以可能與實際情況有所偏差，這些也正是今后還需改進(jìn)的地方。

參考文獻(xiàn)

[1]G. Parmigiani.， Y. T. Inoue. Decision Theory： Principles and Approaches， pp.191-198

[2]T Gneiting and A. Raftery. Strictly Proper Scoring Rules， Prediction， and Estimation

[3]ESPN中文網(wǎng). http：//www.espnstar.com.cn

[4]Stein. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution， Annals of Statistic 9： 1135～1151.

作者簡介

錢昆 單位：南京財經(jīng)大學(xué) 省市 ：江蘇南京。