陳德軍

摘 要：對(duì)學(xué)生來說，教師的概念教學(xué)核心任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知新知、運(yùn)用新知，并在一定范圍內(nèi)對(duì)學(xué)生開拓思維，注重新知的理解和思維的開拓便成為首選. 本文談?wù)勅绾螌?duì)學(xué)生啟發(fā)新知和開拓思維，并產(chǎn)生一些思考.

關(guān)鍵詞：新知；思維；課例；直線；圓；位置關(guān)系

近日，筆者參與了一次課例研究，選擇的是《直線和圓的位置關(guān)系》這一課. 本課著重體現(xiàn)了解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生樹立“數(shù)形是一家，解題不分離”的意識(shí)，以及在課堂教學(xué)中采用一題多變、一題多解的教學(xué)方法，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生深入思考、多角度思考的習(xí)慣. 筆者現(xiàn)把課堂實(shí)錄整理如下，與大家探討交流.

[?] 課堂實(shí)錄

1. 復(fù)習(xí)回顧

教師：以前我們學(xué)習(xí)了哪些關(guān)于圓的知識(shí)呢？

學(xué)生1：有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程，還有點(diǎn)和圓的位置關(guān)系. （體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想）

教師：很好，說明大家對(duì)前面的知識(shí)掌握很牢固，那么如何判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系呢？

學(xué)生2：比較圓心到點(diǎn)的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系，如果d>r，點(diǎn)在圓外；d=r，點(diǎn)在圓上；d

教師：很好，對(duì)于點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，大家已經(jīng)有了很好的掌握，而我們學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)來解決實(shí)際問題，接下來我們?cè)囋嚳催@個(gè)問題（多媒體展示實(shí)例——船是否會(huì)遭遇臺(tái)風(fēng)），船是否能安全到達(dá)呢？

學(xué)生：我覺得是直線和圓的位置關(guān)系問題.

教師：好，船是動(dòng)點(diǎn)，表面上是點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，再深入之后發(fā)現(xiàn)船沿直線走，所以是一個(gè)直線和圓的問題， 所以判斷船是否要改變航線，就是要看船的軌跡這條直線是否會(huì)經(jīng)過臺(tái)風(fēng)區(qū)域，這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：直線和圓的位置關(guān)系. （給出課題）

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧知識(shí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)和圓的位置關(guān)系去思考直線和圓的位置關(guān)系，通過舊知回顧、引導(dǎo)新知是教學(xué)常使用的一種手段，期間不斷利用多媒體向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想在解決直線和圓相關(guān)知識(shí)中的重要作用.

2. 建立新知

第一階段 啟發(fā)新知

教師：初中已經(jīng)學(xué)過直線和圓總共有三種位置關(guān)系，分別是：相離、相切、相交.類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系如何判斷呢？（圖片展示直線和圓的三種位置關(guān)系）

學(xué)生：研究距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系：如果d>r，相離；d=r，相切；d

教師：這種方法從位置關(guān)系得出了數(shù)量關(guān)系，稱之為“幾何法”，幾何法將貫穿本堂課，大家好好體會(huì).

教師：如果把直線和圓的方程寫出來，判斷直線和圓的位置關(guān)系可以用什么知識(shí)？大家想想看，把兩個(gè)方程聯(lián)立后，轉(zhuǎn)化成什么呢？

學(xué)生：方程組解的個(gè)數(shù).

教師：這樣就把幾何問題和代數(shù)問題聯(lián)系了起來，通過代數(shù)方法解決了幾何問題，通過數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，稱之為“代數(shù)法”. 瀏覽一下兩種方法的一般過程，然后解決本節(jié)課開始的引例. （分小組，分別用幾何法和代數(shù)法解決，通過對(duì)比，讓學(xué)生初步體會(huì)幾何法的優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算量小，簡便）

設(shè)計(jì)意圖：以兩種不同的視角引導(dǎo)學(xué)生，解決直線和圓的位置關(guān)系需要利用代數(shù)策略或幾何策略，但哪種策略更是我們教學(xué)關(guān)注、運(yùn)用的，還需下一階段學(xué)生親自嘗試后進(jìn)行有效總結(jié)，目的是多引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)和形成知識(shí)系統(tǒng).

第二階段 新知運(yùn)用

例1 已知直線L：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線和圓的位置關(guān)系. 若相交，求交點(diǎn)坐標(biāo)及弦長.

教師：上述問題易知直線和圓相交，那么如何求相交弦長？

學(xué)生1：聯(lián)立方程得到交點(diǎn)A、B坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可.

教師：好，這是沿著代數(shù)法的思路，還有沒有其他的方法呢？圓中哪些幾何性質(zhì)可以用？

學(xué)生2：過圓心做弦的垂線，形成一個(gè)直角三角形.

教師：我們稱之為“弦心距三角形”，是有關(guān)半徑、圓心到直線距離以及半弦長的一個(gè)等式，利用這個(gè)等式，可以很輕松地解出弦長. （展示求弦長的過程）

教師：通過引例和例1，哪種方法更簡單一些呢？

學(xué)生：幾何法.

學(xué)師：是，幾何法在解決直線和圓問題時(shí)更輕快，思維清晰、計(jì)算量小.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生不同的嘗試，使其明白在解決直線和圓的位置關(guān)系時(shí)盡可能多利用幾何法，從此處體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在直線和圓位置關(guān)系解決中的優(yōu)勢(shì)，也進(jìn)一步鞏固了圖形化策略直觀、高效、簡捷的特點(diǎn).

第三階段 拓展思維

變式1：判斷直線mx+y-6=0與圓x2+（y-1）2=5的位置關(guān)系.

變式2：判斷直線mx-y+1-m=0與圓x2+（y-1）2=5的位置關(guān)系.

教師：下面請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)來給我們解答一下變式1. （學(xué)生1用代數(shù)法，學(xué)生2用幾何法，學(xué)生2要快很多，凸顯幾何法的優(yōu)勢(shì)）

教師：接下來我們一起解決變式2，先來看d=r的情況，發(fā)現(xiàn)方程組無解，接著d>r，還是無解，而d

學(xué)生：直線始終與圓相交.

教師：對(duì)比一下兩個(gè)問題：同一個(gè)圓，兩個(gè)含參數(shù)的直線，為什么第一條直線與圓三種位置關(guān)系都可以，而第二條只能相交呢？這兩條直線區(qū)別在哪里？

學(xué)生：兩條直線都含參數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)兩直線都過定點(diǎn). 區(qū)別在于：第一條直線定點(diǎn)在圓外，第二條直線定點(diǎn)在圓內(nèi).

教師：來看一下過定點(diǎn)的直線和圓的位置關(guān)系究竟是怎么樣的. （幾何畫板演示，使學(xué)生得到了直觀的印象）

教師：因此判斷含參直線與圓的位置關(guān)系，應(yīng)該先做什么呢？

學(xué)生：研究直線的定點(diǎn)，利用定點(diǎn)然后判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，進(jìn)而得到直線和圓的位置關(guān)系.

教師：很好，判斷含參數(shù)直線和圓的位置關(guān)系，要借助定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，注意前后知識(shí)的連貫性.

設(shè)計(jì)意圖：在理解幾何法運(yùn)算簡捷的基礎(chǔ)上，通過變式問題進(jìn)一步了解代數(shù)法在解決含參直線上的劣勢(shì). 本課到此處進(jìn)入小結(jié)階段：為什么學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系？學(xué)習(xí)直線和圓的位置是從什么推廣而來？解決其位置關(guān)系的兩種常用方法是什么？通過學(xué)生參與對(duì)比，相對(duì)哪種方式更適合學(xué)生？最后以含參直線進(jìn)行深入研究，進(jìn)一步讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想.

[?] 反思

對(duì)于教師來說，如果面對(duì)職業(yè)學(xué)校學(xué)生上好課，難，難在創(chuàng)新，難在師生互動(dòng)，也難在學(xué)生真正地參與進(jìn)去，并且也會(huì)出現(xiàn)“熱鬧有了，但深度降低了”的現(xiàn)象，對(duì)于教師，還必須時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”. 從最近發(fā)展區(qū)入手，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能進(jìn)一步提高課堂的效率. 對(duì)于本堂課，筆者有如下反思：

1. 主線明確，題題深入

一堂好的課，必定有一條明線一條暗線，如果教師能從整體上把握教材，從細(xì)微處著手分析，使得課堂有一條“牽一發(fā)而動(dòng)全身”、“舉一綱而眾目張”的教學(xué)主線，那么一定會(huì)優(yōu)化我們的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量. 本堂課主線明確，以點(diǎn)和圓的位置關(guān)系引入，在接下來的分析中，處處注意點(diǎn)和圓的位置關(guān)系對(duì)直線和圓位置關(guān)系的影響，達(dá)到了“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的效果.

2. 注重變式，多維啟發(fā)

例題教學(xué)是新授課必不可少的環(huán)節(jié)，不但能幫助學(xué)生深入感悟有關(guān)內(nèi)容，還能開闊學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì). 筆者認(rèn)為，在例題教學(xué)中更應(yīng)注視變式教學(xué)，一題多解. 在例題教學(xué)中，適當(dāng)?shù)馗脑祛}目的條件或結(jié)論，進(jìn)行一題多變，實(shí)現(xiàn)舉一反三，本堂課中例題的變式即源于例題又高于例題，如例1變式具有更一般的結(jié)論，看似相同，實(shí)則不同，通過兩個(gè)變式對(duì)比，得到了過定點(diǎn)的直線和圓的位置關(guān)系如何簡單、快速判斷，例2則是進(jìn)一步的深入，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的統(tǒng)一性.

3. 結(jié)尾升華， 緊靠主題

小結(jié)是教師和學(xué)生對(duì)整堂課內(nèi)容的一次整理過程，是將前后知識(shí)縱橫聯(lián)系的一次過程，也是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的再應(yīng)用提高過程，可以開拓學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，所以一堂課的小結(jié)時(shí)間雖短，但尤為重要.

在本堂課中，小結(jié)主要幫學(xué)生建立如下的思維過程：首先是坐標(biāo)法思想的應(yīng)用，將幾何問題代數(shù)法，借助代數(shù)法來處理幾何問題，分析代數(shù)結(jié)果可知幾何意義，不斷地幫助學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想. 重點(diǎn)突出幾何法，數(shù)形結(jié)合，并嘗試提出有關(guān)直線和圓的延伸問題.

4. 以形輔數(shù)，滲透思想

在研究“數(shù)”的時(shí)候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，又往往離不開“數(shù)”. 在解析幾何中，這一點(diǎn)體現(xiàn)得尤為明顯. 圓是學(xué)生進(jìn)入高中階段所學(xué)的第一個(gè)解析幾何圖形，這里特別要著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，簡化計(jì)算，同時(shí)也能對(duì)以后學(xué)習(xí)圓錐曲線產(chǎn)生積極的影響.

筆者把這堂課以讀書筆記的形式記錄下來，以求拋磚引玉，記錄中有總結(jié)，有反思，還有自己的思考，這樣的課例研究對(duì)自己以后必將產(chǎn)生良好的推動(dòng)作用，給自己以后的教學(xué)多一份心得，少一絲遺憾.