楊妙妙，董黎敏，王 建，史津平，郭津津

(天津理工大學復雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室，天津300384)

0 前言

雙螺桿泵的核心部件是一對螺桿轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子的螺旋頭數(shù)通常有單頭和雙頭兩種［1］。雙螺桿泵螺桿轉(zhuǎn)子的型線由點、直線及多段曲線組合而成，目前一般采用無瞬心包絡(luò)法設(shè)計盤形銑刀，用盤形銑刀加工螺桿轉(zhuǎn)子時，刀具軸線與轉(zhuǎn)子軸線空間交錯，兩者有一夾角，盤形銑刀繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子坯軸繞軸心線旋轉(zhuǎn)并沿軸向移動，盤形銑刀與轉(zhuǎn)子坯軸所形成的復合運動的結(jié)果是剔除了轉(zhuǎn)子坯軸的多余材料而形成所要得到的螺旋曲面［2］。本文基于對雙頭雙螺桿泵螺桿形狀的分析建立了螺桿螺旋曲面方程;利用成形銑削原理和坐標變換理論，從成形銑刀與螺桿工件的相對運動關(guān)系出發(fā)，建立了基本的銑刀刀刃廓形方程。在設(shè)計刀具的過程中，不可避免需要求解隱函數(shù)和三角超越方程等復雜的關(guān)系式。文中給出了刀具型面計算式的推導過程及應(yīng)用 Matlab軟件對設(shè)計刀具過程中的復雜數(shù)學關(guān)系式求解的方法;并給出以具體型線為實例的計算數(shù)據(jù)。該方法是實現(xiàn)螺桿型面銑削刀具設(shè)計的快速準確求解計算的一種有效方法。

1 成形銑削原理

當在專用銑床上加工螺旋面時，工件以螺旋參數(shù)作螺旋運動，而銑刀則繞著自身的軸線作旋轉(zhuǎn)切削運動。所以螺旋槽是在刀具回轉(zhuǎn)面與工件的相對運動作用下形成的。用成形銑刀加工螺桿螺旋槽時刀具和工件的相對位置如圖1所示。

圖1 刀具與工件相對位置Fig.1 Relative position of cutter and workpiece

銑刀廓形和刀具與工件的相對位置決定螺旋槽的形狀。如果以工件為參照物，此時刀具繞著工件的軸線作螺旋運動，則工件上的螺旋面是刀具回轉(zhuǎn)面所形成的包絡(luò)面。如果把螺旋面看成是一系列導程相同的螺旋線，而銑刀為一系列半徑不同的銑刀圓，則螺旋面的一條螺旋線就是由銑刀上的一個銑刀圓切削形成的，如圖2所示。

圖2 銑刀圓的包絡(luò)線Fig.2 Envelope of milling cutter

在加工過程中，已加工出的螺旋面與銑刀的回轉(zhuǎn)面之間始終存在一條相切于兩個面的空間曲線，稱為接觸線。銑刀廓形計算的關(guān)鍵就是求解此接觸線。

2 銑刀廓形計算

2.1 齒形與齒面方程式

在端平面上的齒形，如果沿其軸向移動并繞軸線旋轉(zhuǎn)的話，即可得到轉(zhuǎn)子的齒面螺旋曲面。轉(zhuǎn)子齒形型線的方程式為

式中，t為齒曲線參數(shù)。

由式(1)可以得到螺旋曲面的方程，即齒面方程為

式中，θ為角度參數(shù)，表示母線繞z軸轉(zhuǎn)過的角度，順著z軸看，以順時針方向轉(zhuǎn)動為正;P為螺旋參數(shù)，P=T/2π，表示母線繞著z軸轉(zhuǎn)過單位角度時，在軸線方向上移動的距離。

2.2 刀具與工件坐標轉(zhuǎn)換

為了便于推導接觸方程，根據(jù)工件與成形銑刀的相對位置關(guān)系建立直角右手坐標系，如圖3所示。在工件上建立坐標系o-xyz，使其z軸與工件的軸線重合。在刀具上建立坐標系o1-x1y1z1，z1軸與刀具的軸線重合。x軸與x1軸重合，且方向一致。以上兩個坐標系是固定的，不隨工件和刀具運動。設(shè)兩坐標系原點之間的距離為A，z軸與z1軸之間的夾角為Σ。

圖3 坐標系關(guān)系圖Fig.3 Relative between coordinate systems

由圖3可知，從o坐標系到o1坐標系的轉(zhuǎn)換式為

2.3 接觸條件式

由于兩曲面相切接觸，根據(jù)空間解析幾何知識與運動學原理，刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸點處，兩個曲面的公法線矢量與相對運動的速度矢量垂直，可得接觸條件

如圖4所示，M(x，y，z)為兩曲面接觸線上的一點，則M點相對于兩坐標系原點的矢徑為

圖4 接觸點處徑矢示意圖Fig.4 Radius vector of contact point

將式(6)帶入式(7)，得

M點隨刀具運動的線速度v2為

將式(4)和式(6)帶入式(9)，得

由接觸條件式(5)可知

由微分幾何的知識可知，曲面上任意一點M(x，y，z)的法線矢量可以表示為

式中，nx、ny、nz分別是曲面法線矢量的各軸分量。

由式(13)可推算出螺旋面的特征方程

該方程是螺旋曲面的一個重要性質(zhì)，表示螺旋面上任意一點處坐標(x，y，z)與該點處法線的各軸分量(nx，ny，nz)及螺旋參數(shù)P之間的關(guān)系。

將式(7)、式(9)和式(13)代入式(11)，并通過螺旋面的特征方程式(14)得接觸方程為

式中，A、Σ和P都是常數(shù)，而其它值是關(guān)于參變數(shù)t和θ的函數(shù)，因此接觸方程是關(guān)于t和θ的方程?！?”號表示右旋，“－”表示左旋。

接觸條件式表示螺旋面與銑刀回轉(zhuǎn)面相切接觸的關(guān)系，通過解此方程得到的是螺旋槽端面廓形上的點成為接觸點時工件所轉(zhuǎn)過的角度θ。方程中只有一個未知數(shù)，但它是超越方程的形式，本文選擇牛頓迭代法對接觸條件式進行求解。

2.4 銑刀回轉(zhuǎn)面廓形求解

將工件端面型線的坐標點數(shù)據(jù)(x0，y0，z0)，與各點處一階導數(shù)代入到接觸方程式(15)，可求得工件端面上各點成為接觸點時需要轉(zhuǎn)過的角度θ;然后將坐標值(x0，y0，z0)與此點處的旋轉(zhuǎn)角θ代入螺旋面方程式(2)，可以得到螺旋面上接觸點的坐標(x，y，z)。因為要求刀具的廓形，將一系列接觸點代入到坐標系變換式(3)，得到接觸點在刀具坐標系內(nèi)的坐標(x1，y1，z1);最后由刀具廓形方程式(16)求得刀具回轉(zhuǎn)面的徑向截形。

3 基于Matlab的計算

3.1 螺桿型線曲線組成

如圖5所示，本文螺桿型線由ab、bc、cd、de、ef、fg、gh、hi、ij、jk、kl、la 等 12 段曲線組成，其中，ab段是從b點開始沿順時針方向滾動形成的普通外擺線;bc段是以齒頂圓半徑為擺徑從b點開始沿逆時針方向滾動形成的長幅外擺線。利用Pro/E繪制出轉(zhuǎn)子三維嚙合圖如圖6所示。

3.2 Matlab求解方程

Matlab作為一款功能強大的計算平臺，現(xiàn)在已經(jīng)成為最為普遍的科學計算工具之一。本文利用其獨特優(yōu)勢，實現(xiàn)了對各方程的求解，以達到快速準確地求出結(jié)果的目的。

圖5 螺桿端面型線Fig.5 Profile of screw end face

圖6 轉(zhuǎn)子3D立體嚙合圖Fig.6 3D drawing of rotor mesh

在用Matlab編制的程序求解接觸方程時，需要先使用ez-plot畫出扭轉(zhuǎn)角θ和型線參數(shù)t之間的t-θ關(guān)系圖，以ab擺線為例，得到t-θ關(guān)系，如圖7所示，在(－2π，2π)內(nèi)，橫坐標t值對應(yīng)多個θ值，所以依據(jù)R最小原則，依圖選適當?shù)牡踔郸?。

圖7 ab擺線型線參數(shù)t與扭轉(zhuǎn)角θ關(guān)系圖Fig.7 Relationship between the profile parameter t and the torsion angle θ of cycloid ab

通過Matlab程序計算將得到包含一系列離散的刀具刃形點(Ri，Zi)。利用Matlab編程繪制出刀具廓形圖，如圖8所示。方便進一步利用Pro-E準確地繪制出刀具的三維模型圖。

圖8 陰、陽轉(zhuǎn)子刀具廓形圖Fig.8 Profiles of the male and female rotor cutters

4 結(jié)論

由于螺桿成形銑刀設(shè)計計算過程中涉及到隱函數(shù)和三角函數(shù)等非線性方程，在實際應(yīng)用中求解方程較為復雜且耗時，直接影響刀具設(shè)計的精度和效率。通過建立螺桿螺旋曲面方程，再利用成形銑削基本原理和坐標變換理論，推導出銑刀刀刃廓形方程。利用了Matlab的科學計算優(yōu)勢，編制程序完成刀具的設(shè)計計算過程，保證了刀具設(shè)計的準確性。

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