官紅嚴(yán)，周 超

（蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

針對數(shù)學(xué)教師的范希爾幾何思維水平測試

官紅嚴(yán)，周 超

（蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

世界范圍內(nèi)對學(xué)生幾何思維水平關(guān)注的很多，然而對老師的關(guān)注卻很少．利用Usiskin的測試卷測試了137位在職數(shù)學(xué)教師的范希爾幾何思維水平，結(jié)果顯示大多數(shù)老師都在水平4及以上，有27%的老師在水平5．這樣的結(jié)果與中國長期的高水平的幾何教學(xué)有關(guān)．

范希爾理論；數(shù)學(xué)教師；幾何思維水平

20世紀(jì)50年代，荷蘭學(xué)者范希爾（Van Hiele）夫婦把幾何思維劃分為5個(gè)水平[1]：

水平1：直觀（visuality）．學(xué)生能按照外觀從整體上區(qū)分幾何圖形，他們對圖形的區(qū)分往往依賴于具體樣板．

水平2：分析（analysis）．學(xué)生已經(jīng)能夠認(rèn)識圖形的特征性質(zhì)，并依據(jù)性質(zhì)做圖形分類．

水平3：非形式化的演繹（informal deduction）．這時(shí)學(xué)生已能形成抽象的定義，區(qū)分概念的必要條件和充分條件，并能通過非形式化推理將圖形分類．

水平4：形式的演繹（formal deduction）．學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“公理”的意義，理解幾何學(xué)中的公理、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)．

水平5：嚴(yán)密性（rigior）．學(xué)生能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ恚苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐式幾何與非歐幾何系統(tǒng)的比較．

這一理論很快引起了國際數(shù)學(xué)教育界的普遍關(guān)注，相關(guān)的研究包括以下幾個(gè)方面：一是進(jìn)一步證實(shí)范希爾水平的合理性；二是編制范希爾水平測試卷，考察不同年級學(xué)生的范希爾幾何思維水平；三是依據(jù)范希爾水平構(gòu)建幾何課程體系；四是考察范希爾水平與其它認(rèn)知因素的相關(guān)性．在上述研究中，范希爾幾何思維水平的測量是一項(xiàng)基礎(chǔ)研究，但以往的研究主要是考察學(xué)生的范希爾幾何思維水平，針對數(shù)學(xué)教師的相關(guān)研究極少．

文章的目的是考察中國在職數(shù)學(xué)教師的范希爾幾何思維水平．根據(jù)范希爾理論的特點(diǎn)，學(xué)生的幾何思維水平不是自然增長的，需要通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)來提升．很多研究教師專業(yè)發(fā)展的學(xué)者也認(rèn)為[2~3]，教師的知識深度和廣度對幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)至關(guān)重要．因此，教師的幾何思維水平對學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)有重要的影響．

1 教師幾何思維水平的相關(guān)研究

范希爾幾何思維水平的調(diào)查絕大多數(shù)是針對學(xué)生的，涉及教師的不多．其中，Mayberry（1983）[4]是第一個(gè)從事這方面研究的人．她前后訪談了19位師范生．研究表明，大多數(shù)學(xué)生都缺乏學(xué)習(xí)形式演繹幾何課程的準(zhǔn)備知識．這一結(jié)果后來被多人證實(shí)．Lawrie and Pegg[5]（1997）根據(jù)Mayberry的訪談提綱設(shè)計(jì)了一套書面測試卷，對60名師范生進(jìn)行了測試，結(jié)果表明，大多數(shù)師范生的思維水平都只達(dá)到了水平1和水平2．

Lin，Cheng-Yao[6]等人利用測試卷對48名美國和40名臺灣的職前小學(xué)教師的研究表明，臺灣的職前小學(xué)教師的范希爾幾何思維水平明顯高于他們的美國同行們．Erdogan Halat[7]對土耳其的125名職前小學(xué)教師和156名職前中學(xué)教師進(jìn)行了測試，結(jié)果表明兩類教師在幾何推理階段并沒有顯著差異，另外雖然職前中學(xué)男教師的范希爾幾何思維水平好于女教師，但是在職前小學(xué)教師中并沒有發(fā)現(xiàn)性別差異．

2 研究方法和數(shù)據(jù)分析

2.1 研究對象

研究的施測對象是在蘇州大學(xué)攻讀教育碩士學(xué)位的2006及2007級成員，共施測139人，其中有兩人沒有完成試卷．故這里只對余下的137名樣本進(jìn)行分析．137名對象均是來自蘇南地區(qū)的在職數(shù)學(xué)教師，其中1名來自小學(xué)，19名來自職業(yè)學(xué)校，其他來自普通中學(xué)．其中男教師32名，女教師105名．

2.2 研究工具

在范希爾幾何思維水平的研究中，最經(jīng)典的是美國芝加哥大學(xué)尤西斯金（Usiskin）的工作．他主持了一項(xiàng)包括了6個(gè)州的學(xué)習(xí)高中幾何課程的近2900名學(xué)生的題為“中學(xué)幾何課上學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和成就”的研究課題，這項(xiàng)研究的目的是確定學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展階段以及學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識測驗(yàn)上的成績對他們掌握幾何概念和證明的影響．在這項(xiàng)研究中包含了4個(gè)測驗(yàn)，其中包含一個(gè)范希爾幾何水平的測試卷[8]．該測試卷直到今天仍被許多人引用．研究者在征得Usiskin本人的同意后，將這套測試卷翻譯成中文，作為這一項(xiàng)目的研究工具．

2.3 計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)

Usiskin的范希爾測試卷共25題，均為有5個(gè)選項(xiàng)的選擇題．從低到高，依次每5題歸屬于一個(gè)水平．計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)采用文[8]中的一種計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)：每個(gè)水平的題目答對4題及以上分別記為1、2、4、8、16分，答對4題以下不計(jì)分．然后合計(jì)總分．這樣計(jì)分的好處是對任何在0—31的數(shù)字都可以判斷出在5個(gè)水平的得分情況．理想的假設(shè)是一位被試被認(rèn)為處在Van Hiele水平n，如果他不僅水平n的題目得分而且水平n之前的所有水平的題目都得分，因此，若總分是1分，記其Van Hiele水平為水平1；總分為3分，記為水平2；總分為7分，記為水平3；總分為15分，記為水平4；總分為31分，記為水平5．

3 測試結(jié)果分析

依照上述計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)，137份樣本中有29份是不能判斷處于哪個(gè)水平的，在其余108人中除有1人是水平2之外，其余均在水平3至水平5，具體見表1．

表1 答對4題及以上計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

從表1可以看出，在所有被試中53人，即38.7%被試處在水平3，五分之一強(qiáng)的人達(dá)到水平4，多于四分之一的教師可以達(dá)到最高水平．值得注意的是，19名職業(yè)學(xué)校老師中，有5名不能判斷處于哪個(gè)水平，11名在水平4之下．這表明在樣本中，職業(yè)老師的幾何思維水平比普通中學(xué)老師略低．

下面具體看看測試卷中的題目及被試教師們在這些題目上的表現(xiàn)（見圖1）．

圖1 各題答對率

從圖1可知前3個(gè)水平的題目答對率都在80%以上，教師在第16、19、20、24和25題的答對率是均低于50%．

第16題：有一個(gè)直角三角形ABC，在它的每條邊上都構(gòu)造一個(gè)等邊三角形ACE，ABF和BCD（如圖2）．根據(jù)上述條件，可以證明AD，BE，CF交于一點(diǎn)．從這個(gè)證明中，你可以肯定的是：

圖2 第16題

（A）只有在所給的圖形中，AD、BE、CF才交于一點(diǎn)；

（B）對于有些直角三角形，但不是全部，AD、BE、CF交于一點(diǎn)；

（C）對于任意直角三角形，AD、BE、CF交于一點(diǎn)；

（D）對于任意三角形，AD、BE、CF交于一點(diǎn)；

（E）對于任意等邊三角形，AD、BE、CF交于一點(diǎn)．

正確答案是對所有的直角三角形AD、BE、CF交于一點(diǎn)．這道題目涉及證明，要回答好這題必須理解證明的意義，所以這是一道水平4的題目．近一半的人選擇了錯(cuò)誤的答案．周超等[9]對教師證明素養(yǎng)的調(diào)查顯示中國數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)證明的基本功還是很扎實(shí)的．教師選擇錯(cuò)誤的原因或許是題目給出的結(jié)論確實(shí)是在任意三角形中都可以成立的結(jié)論，而在所有的錯(cuò)誤答案中選擇在任意三角形中都成立的教師也是最多的．

第19題有關(guān)幾何中的概念和命題：在幾何中，下列說法正確的是：

（A）所有概念都可以定義，所有真命題都可以證明；

（B）所有概念都可以定義，但必須假設(shè)某些命題是正確的；

（C）有些概念可以沒有定義，但所有真命題都可以證明；

（D）有些概念不可以定義，并且必須假設(shè)某些命題是正確的；

（E）以上都不對．

關(guān)于這個(gè)問題的正確選擇應(yīng)該是：有些概念不可以定義，但必須假設(shè)某些命題是正確的．這也是水平4的題目，用來測量教師對定義和公理的理解．幾何的大廈是在幾個(gè)不可定義的概念和幾個(gè)不可證明的公理通過邏輯的演繹建立起來的，初高中的數(shù)學(xué)課本在引入平面和立體幾何時(shí)也是從不定義的概念和不證明的公理出發(fā)的，事實(shí)上只有半數(shù)多一點(diǎn)的人選擇了正確答案．

第24題是所有測試題中答對率最低的，僅為19.0%．題目是這樣的，有兩本書上對矩形的定義是不同的．你認(rèn)為下列說法正確的是：

（A）有一本出現(xiàn)了差錯(cuò)；

（B）其中有一個(gè)定義是錯(cuò)誤的，矩形不可能有兩個(gè)不同的定義；

（C）其中一本書上的矩形與其它書上的矩形肯定有不同的性質(zhì)；

（D）其中一本上的矩形與其它書上的矩形肯定有相同的性質(zhì)；

（E）這兩本書上的矩形肯定有不一樣的性質(zhì)．

這是一道涉及非歐幾何的題目，屬于水平5的題目，正確答案為E．在幾何體系中除了歐氏幾何之外還有多種非歐幾何，它們是依據(jù)不同于歐氏幾何的公理而來的．教師在第24題的作答，反應(yīng)了很少教師了解這一事實(shí)，他們更多的是從歐氏幾何體系內(nèi)部去考慮問題．這或許和中學(xué)教師在日常的教學(xué)中所面對的都是歐氏幾何有關(guān)，另一方面是否他們在高等教育階段在這部分所受的教育也不多呢？

4 結(jié)果與討論

上述結(jié)果表明在職數(shù)學(xué)教師的幾何思維水平還是比較高的，然而也應(yīng)看到并不是每個(gè)人都達(dá)到了形式演繹的水平．另一方面，教師對于幾何公理體系的建立過程和非歐幾何是不大了解的．這可能跟教師日常處理的教學(xué)有關(guān)．此外，研究數(shù)據(jù)顯示，職業(yè)學(xué)校老師的幾何思維水平大多在水平3．由于考試升學(xué)的壓力，教師教學(xué)過程中要處理大量的練習(xí)題，許多學(xué)校也是根據(jù)學(xué)生的考試成績來評定教師的教學(xué)水平，導(dǎo)致教師在自己的教學(xué)過程中也是把解數(shù)學(xué)題放到了首位，這樣做的結(jié)果可能是教師也忽視了對自己思維水平的要求．然而，作為一名數(shù)學(xué)教師不僅需要數(shù)學(xué)知識和一般的教學(xué)法知識，還需要知道關(guān)于某一數(shù)學(xué)內(nèi)容該如何組織和呈現(xiàn)、學(xué)生是怎樣學(xué)習(xí)這一數(shù)學(xué)內(nèi)容的、可能會遇到什么困難等方面的知識[10]．因此，在相關(guān)的師范教育和教師培訓(xùn)中應(yīng)該對教師的幾何思維水平提出更高的要求，這樣在他們的教學(xué)中才有可能對學(xué)生提出更高的要求，有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維．

限于樣本的原因，在研究中沒有發(fā)現(xiàn)男女教師反應(yīng)上的差異，這是一個(gè)值得繼續(xù)探討的問題．此外研究只是選取了蘇南地區(qū)的一百多位教師進(jìn)行測試，還需要使用更大范圍的樣本進(jìn)行更深入的分析．另外，研究中采用的測試卷是Usiskin等人編制用來測試學(xué)生的范希爾幾何思維水平的，用來測試?yán)蠋熞部赡墚a(chǎn)生一定的偏差，編制專門針對教師的測試卷也是一個(gè)值得繼續(xù)探討的問題．

[1] 鮑建生，周超．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[2] 王子興．論數(shù)學(xué)教師專業(yè)化的內(nèi)涵[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（4）：63-67．

[3] 于曉娟，王家鏵，李忠海．發(fā)展數(shù)學(xué)教師知識結(jié)構(gòu)的若干策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（2）：32-34．

[4] Mayberry. The Van Hiele Levels of Geometric Thought in Undergraduate Preservice Teachers [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1983, (14): 58-69.

[5] Lawirie C, Pegg J. Some Issues in Using Mayberry’s Test to Identify van Hiele Levels [C]. Proceedings of the 21st Conference of the International Group for Psychology of Mathematics Education, Lahti, 1997.

[6] Cheng-Yao L, Fenqjen L, Jane-Jane L, et al. U.S. and Taiwanese Pre-Service Teachers’ Geometry Knowledge and Thinking [J]. International Journal for Mathematics Teaching and Learning, 2011, (10): 1-29.

[7] Halat E. Pre-Service Elementary School and Secondary Mathematics Teachers’ Van Hiele Levels and Gender Differences [J]. Issues in the Undergraduate Mathematics Preparation of School Teachers, 2008, (5): 1-11.

[8] Usiskin Z. Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry [Z]. (Final Report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago: University of Chicago, (ERIC Reproduction Service No. ED220288), 1982.

[9] 周超，鮑建生．對中學(xué)數(shù)學(xué)教師證明素養(yǎng)的一次調(diào)查[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（6）：42-44．

[10] 童莉．?dāng)?shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的新視角——數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（2）：23-27．

Survey on Van Hiele Geometric Thinking Levels of Chinese Mathematics Teachers

GUAN Hong-yan, ZHOU Chao
(School of Mathematical Sciences, University Suzhou, Jiangsu Suzhou 215006, China)

There are many studies focus on students’ van Hiele geometric thinking levels, few on mathematics teachers. This paper investigated van Hiele geometric thinking levels of 137 Chinese mathematics teachers via the test designed by Usiskin*. The finding shows that the majority of sample teachers are on level 4, and there are 27 percent of sample teachers are on level 5. The result is partly due to the high level geometry teaching of China for a long time. (*the authors translate the test of Usiskin into Chinese under the permission of Zalman Usiskin)

van Hiele theory; Chinese mathematics teachers; geometric thinking levels

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0083–03

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2013–11–10

官紅嚴(yán)（1988—），女，江蘇徐州人，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．本文通訊作者周超．