唐 毅，劉衛(wèi)寧，孫棣華，唐 亮，張建廠

(1.重慶大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，400044 重慶;2.重慶高速公路集團(tuán)有限公司，401121 重慶;3.重慶大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，400030 重慶)

考慮前后車輛綜合效應(yīng)的跟馳模型及其穩(wěn)定性分析

唐 毅1，2，劉衛(wèi)寧1，孫棣華3，唐 亮3，張建廠3

(1.重慶大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，400044 重慶;2.重慶高速公路集團(tuán)有限公司，401121 重慶;3.重慶大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，400030 重慶)

為了進(jìn)一步增強(qiáng)車流的穩(wěn)定性，通過分析后視效應(yīng)和前車優(yōu)化速度差信息的綜合作用，在FVD模型基礎(chǔ)上，建立新的BL＆OVD模型.通過線性穩(wěn)定性分析，得到新模型的穩(wěn)定性判據(jù).采用非線性分析方法，推導(dǎo)出mKdV方程用于描述系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)附近的交通擁塞演變規(guī)律.數(shù)值仿真結(jié)果表明，綜合考慮后視效應(yīng)和最優(yōu)速度差信息能有效抑制車流隨機(jī)干擾信號(hào)在車流中傳播放大，提高車流穩(wěn)定性，從而舒緩交通擁堵.該模型對(duì)車流有進(jìn)一步的致穩(wěn)作用，有助于車輛自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中駕駛策略的設(shè)計(jì).

交通流;跟馳模型;綜合效應(yīng);非線性分析

交通堵塞是交通系統(tǒng)中車輛相互作用而形成的復(fù)雜非線性現(xiàn)象，而交通流理論作為探討車流的時(shí)空演化規(guī)律的工具，在揭示交通現(xiàn)象擁堵機(jī)理方面已取得了許多重要成果［1－8］.1995 年 Bando等［9］提出了著名的優(yōu)化速度(OV)模型.該模型不僅形式簡單，且能再現(xiàn)實(shí)際交通中的時(shí)停時(shí)走等許多現(xiàn)象，受到了廣泛關(guān)注.然而，1998年，文獻(xiàn)［10］對(duì)OV模型進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定與識(shí)別，會(huì)出現(xiàn)不切實(shí)際的加速度與減速問題.基于 OV模型，Helbing和Tilch認(rèn)為應(yīng)考慮車輛的負(fù)速度差效應(yīng)［10］，而在OV模型中并未考慮此因素，基于此，他們提出了廣義力GF模型.GF模型雖然克服了OV模型中存在的問題，然而GF模型無法解釋當(dāng)車頭間距小于安全距離，前車比跟馳車輛快時(shí)，跟馳車輛不會(huì)減速的現(xiàn)象.2001年，姜銳等［11］提出了全速度差(FVD)模型.仿真結(jié)果表明FVD模型比OV模型和GF模型更符合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù).探索多車交互信息對(duì)交通阻塞的抑制作用已成為交通流理論研究的前沿.為此，文獻(xiàn)［12－13］的OV擴(kuò)展模型研究了車輛位置信息在交通流穩(wěn)定性增強(qiáng)上的作用.文獻(xiàn)［2，14］的擴(kuò)展模型則利用多車速度差信息來提高交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［15－16］則同時(shí)考慮了兩者對(duì)交通流穩(wěn)定性的共同作用效應(yīng).上述OV改進(jìn)模型證明增強(qiáng)交通流穩(wěn)定性可以通過考慮多車信息來實(shí)現(xiàn).

文獻(xiàn)［17］利用ITS系統(tǒng)在保持交通流穩(wěn)定性方面作了大量研究.在FVD模型之上，通過獲取多前導(dǎo)非鄰近的車輛信息，提出了基于前向觀測(cè)的最優(yōu)速度差(OVD)模型;通過考慮后向跟隨車輛信息，提出了基于后向觀測(cè)的 BLVD模型［18］.研究結(jié)果表明兩個(gè)模型從不同的角度均提高了交通流的穩(wěn)定性.但是，考慮前后車輛綜合信息效用下的交通流特性并未在OVD和BLVD模型中得到體現(xiàn).當(dāng)前，借助智能交通系統(tǒng)，駕駛員可以同時(shí)獲得前車和跟隨車信息，因此，車輛的操控必然是在周圍車輛信息綜合刺激作用下實(shí)現(xiàn)的.鑒于此，本文在上述研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索后視效應(yīng)和前車最優(yōu)速度差信息對(duì)車流的綜合作用，提出一個(gè)新的跟馳模型，并對(duì)新模型進(jìn)行線性和非線性特性研究，并用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論研究結(jié)果的正確性.

1 模型描述

1.1 FVD 模型、OVD模型和BLVD模型

在FVD模型中，車輛運(yùn)動(dòng)方程為

其中:a=1/τ為對(duì)前車的敏感系數(shù)，τ為總體反應(yīng)延遲時(shí)間;Δxn=xn+1-xn為第n輛車在t時(shí)刻的車頭距;Δvn=vn+1-vn為第n輛車在t時(shí)刻的速度差;xn和vn分別為第n輛車的位置和速度;k為對(duì)當(dāng)前車與頭車速度差項(xiàng)的反應(yīng)系數(shù);VF為前車的優(yōu)化速度函數(shù).

FVD模型能夠成功地模擬車輛行駛的延遲時(shí)間以及啟動(dòng)速度，與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果吻合.在FVD模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步采用非鄰近車輛的優(yōu)化速度差信息來優(yōu)化車流，本文提出OVD模型.其車輛運(yùn)動(dòng)方程為

其中:參數(shù)r為駕駛員對(duì)次前方車最優(yōu)速度差信息的注意程度，VF(Δxn+2(t))-VF(Δxn(t))為次前方車的最優(yōu)速度差信息.

FVD模型和OVD模型證明了保持交通流處于穩(wěn)定狀態(tài)可通過考慮多個(gè)鄰近前車的信息來實(shí)現(xiàn).但在實(shí)際情況中，跟隨車的信息一樣會(huì)對(duì)保持車流穩(wěn)定具有積極作用，通過考慮后視效應(yīng)，本文提出BLVD模型為

其中:VB(·)為后向觀測(cè)的最優(yōu)速度;0.5＜p≤1，p越大表示前方車對(duì)當(dāng)前車輛的影響比跟隨車大，當(dāng)p=1時(shí)，BLVD模型退化為FVD模型.

1.2 BL＆OVD模型

基于FVD模型，OVD模型和BLVD模型分別考慮了向前觀測(cè)的最優(yōu)速度差信息和后視效應(yīng)，并未同時(shí)考慮前后車輛的綜合作用會(huì)對(duì)交通流的穩(wěn)定性造成何種影響.當(dāng)前，伴隨交通流量的不斷增加，前后車輛之間的相互作用更加明顯，尤其是在IT技術(shù)快速發(fā)展的現(xiàn)在，通過車載智能終端可實(shí)現(xiàn)車輛信息的實(shí)時(shí)交互.因此，任何車輛均可獲得前后相鄰車輛的信息，用來調(diào)整自身運(yùn)行狀態(tài)達(dá)到最優(yōu).本文提出改進(jìn)跟馳模型為

其中，當(dāng)前車加速度是由前向觀測(cè)的車頭距Δxn、Δxn+2、當(dāng)前車速度vn、速度差 Δvn、最優(yōu)速度VF、后視觀測(cè)信息VB以及最優(yōu)速度差VF(Δxn+2)-VF(Δxn)信息共同影響決定的.通過考慮后視效應(yīng)和最優(yōu)速度差信息的綜合作用，將該模型稱為后向觀測(cè)最優(yōu)速度差跟馳模型(BL＆OVD).

其中選用的最優(yōu)速度函數(shù)［19］為

當(dāng)p=1，r=0時(shí)，則上述模型變型為FVD模型;當(dāng)p=1時(shí)，BL＆OVD模型變型為OVD模型;當(dāng)r=0時(shí)，BL＆OVD模型變型為BLVD模型.因此，F(xiàn)VD模型、OVD模型、BLVD模型都是BL＆OVD模型的特例.

2 線性穩(wěn)定性條件推導(dǎo)

假設(shè)當(dāng)前交通流狀體為穩(wěn)定狀態(tài)，車流中車與車的距離定義為b=L/N，其最優(yōu)化速度定義為pVF(b)+(1-p)VB(b).此時(shí)，穩(wěn)定狀態(tài)車流的車輛位置解為

施加小擾動(dòng)yn(t)=eikn+zt添加到的式(7)中，可以得出

將式(8)代入式(4)，并線性化得到

里葉級(jí)數(shù)展開，得到

將參數(shù)z展開為z=z1(ik)+z2(ik)2+…代入式(10)得

如果z2＜0，將會(huì)造成初始狀態(tài)均勻的車流在小擾動(dòng)下變得不穩(wěn)定，反之車流會(huì)演化為穩(wěn)定均衡狀態(tài).因此，BL＆OVD模型的中性穩(wěn)定條件為

對(duì)于長波模式的小擾動(dòng)，BL＆OVD模型使得車流保持穩(wěn)定的條件為

當(dāng)p=1時(shí)，表征沒有考慮后視效應(yīng)作用，得到與OVD模型一致的穩(wěn)定性條件為

當(dāng)r=0時(shí)，表征沒有考慮最優(yōu)速度差作用，得到與BLVD模型一致的穩(wěn)定性條件為

當(dāng)p=1，r=0時(shí)，得到與FVD模型一致的穩(wěn)定性條件，此處表征最優(yōu)速度差和后視效應(yīng)作用均未考慮

在參數(shù)(Δx，a)中，圖1清晰地給出了 λ=0.3時(shí)，F(xiàn)VD 模型(p=1，r=0)、BLVD 模型(p=0.9，r=0)和BL＆OVD模型的臨界穩(wěn)定曲線，并用實(shí)線表示.圖1中的虛線表征mKdV方程描述的共存曲線.從圖1可見，將(Δx，a)參數(shù)空間分為穩(wěn)定、亞穩(wěn)定和不穩(wěn)定3個(gè)區(qū)域.在穩(wěn)定區(qū)域，車頭間距波動(dòng)幅度雖然受到隨機(jī)干擾，但隨著時(shí)間推移，其幅度逐漸減弱并最后回到穩(wěn)定的初始車流狀態(tài).此外，在亞穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域，會(huì)造成交通流時(shí)走時(shí)停的情況，這是由于小干繞在車流中傳播放大，形成了交通擁堵.

從圖 1中穩(wěn)定區(qū)域大小可知，BLVD(p=0.9，r=0)模型的穩(wěn)定區(qū)域大于FVD模型(p=1，r=0)，這表明考慮后視效應(yīng)對(duì)提升交通流的穩(wěn)定性有正向作用.同時(shí)，BL＆OVD模型 (p=0.9，r=0.1;p=0.9，r=0.2)的穩(wěn)定區(qū)域大于FVD和BLVD模型，這表明綜合考慮后視效應(yīng)和最優(yōu)速度差信息作用，對(duì)交通流具有更為顯著的穩(wěn)定效果.這說明本文提出的模型優(yōu)化是有價(jià)值的.

圖1 FVD、BLVD和BL＆OVD模型的臨界穩(wěn)定曲線

3 非線性分析及mKdV方程推導(dǎo)

當(dāng)穩(wěn)定車流遇見一個(gè)隨機(jī)干擾時(shí)，在臨界點(diǎn)附近交通流狀態(tài)的變化情況會(huì)以密度波形式向上游傳遞.本節(jié)為了分析非鄰近雙前車的最優(yōu)速度差信息和后視效應(yīng)綜合信息下的交通流變化特性，利用約化攝動(dòng)方法分析BL＆OVD模型在臨界點(diǎn)(ac，hc)附近的緩變行為.因此，將式(4)改寫為車頭距的形式為

引入時(shí)間、空間兩個(gè)慢變量X和T，定義

式中:b為待定常數(shù)，假設(shè)車頭間距滿足

將式(18)利用Taylor展開到ε5項(xiàng)，得

在臨界點(diǎn)(ac，hc)周圍，取b=pVF'+(1-p)VB'，τ=(1+ε2)τc，則能消去式(21)中 ε 的二階項(xiàng)和三階項(xiàng)，由此，式(21)可簡化為

對(duì)式(22)作如下的變換，得

得到含有校正項(xiàng)O(ε)的mKdV方程為

去除O(ε)，式(28)變成mKdV方程，進(jìn)而求得扭結(jié)波與反扭結(jié)波的解為

為得到密度板的傳播速度c，R'0(X，T')必須滿足可解性條件

根據(jù)文獻(xiàn)［20］提供的方法，可以計(jì)算

因此，車頭間距的密度波(V'=1，V?=-2)解為

從而得出其密度波解的振幅A為

因此，通過mKdV方程進(jìn)行描述，可知交通流狀態(tài)臨界阻塞相變行為會(huì)在臨界點(diǎn)(ac，hc)附近發(fā)生，利用Δx(t)=hc+A和Δx(t)=hc-A表示阻塞相和自由流相下的共存曲線，如圖1虛線所示.其中具體包含高車輛密度下的阻塞相和低車輛密度下的自由流相.

4 數(shù)值仿真

為直觀分析后視效應(yīng)與最優(yōu)速度差信息對(duì)車流穩(wěn)定性的綜合作用，現(xiàn)進(jìn)行數(shù)字仿真驗(yàn)證BL＆OVD模型的合理性.設(shè)周期邊界條件L=400 m，車輛數(shù)N=100.車輛的初始條件為

對(duì)頭車施加小擾動(dòng)x1(0)=L/N+1，研究車流的演化情況.

圖2為當(dāng) λ=0.3時(shí)，F(xiàn)VD和 BLVD(p=0.9)模型在不同時(shí)刻時(shí)的所有車輛速度分布，設(shè)r=0即不考慮最優(yōu)速度差信息，得到BLVD(p=0.9)與FVD模型在a=0.85 s－1，λ=0.3時(shí)所有車輛速度分布數(shù)字仿真結(jié)果.由圖2可知在FVD模型中，穩(wěn)定車流最終演變成交通阻塞，是由小擾動(dòng)隨著時(shí)間不斷擴(kuò)大引起的，如圖2(a)所示.其車速在0～2 m·s－1之間持續(xù)波動(dòng)，如圖2(b)所示.但是，由于考慮了后視效應(yīng)，BLVD模型在相同條件下的車輛速度為v0=0.8 m·s－1，隨時(shí)間幾乎沒有變化，其速度波動(dòng)幅度也小于FVD模型，這說明考慮后視效應(yīng)對(duì)交通流的穩(wěn)定性具有增強(qiáng)作用.

另外，為了證明最優(yōu)速度差信息在車流穩(wěn)定性方面的積極作用，設(shè)p=1即不考慮后視效應(yīng)，得到FVD模型(r=0)和OVD模型(r=0.1，0.2)所有車輛速度分布數(shù)字仿真結(jié)果.圖3為OVD模型由于考慮了最優(yōu)速度差信息，相比FVD模型中車輛速度幅度平穩(wěn)許多，這充分說明最優(yōu)速度差信息對(duì)提高車流穩(wěn)定性具有相同的正向作用.

圖2 λ=0.3時(shí)，F(xiàn)VD和BLVD(p=0.9)模型在不同時(shí)刻時(shí)的所有車輛速度分布

圖2、3仿真結(jié)果表明，分別考慮后視效應(yīng)和最優(yōu)速度差信息均能有效提升車流運(yùn)行過程中的抗干擾能力.在圖 4中，取a=0.85 s－1，曲線表示車頭間距－速度運(yùn)行軌跡，即遲滯環(huán).FVD、BLVD和BL＆OVD模型的遲滯環(huán)如圖4所示，其結(jié)果進(jìn)一步證明了后視效應(yīng)與最優(yōu)速度差信息的綜合作用，對(duì)交通流具有更為出色的穩(wěn)定作用.由圖可知，F(xiàn)VD 模型(λ=0.2，p=1，r=0)的遲滯環(huán)出現(xiàn)不切實(shí)際的負(fù)速度現(xiàn)象，見圖4中點(diǎn)G.BLVD模型 (λ=0.2，p=0.9，r=0)通過考慮后視效應(yīng)，未出現(xiàn)負(fù)速度現(xiàn)象，而BL＆OVD模型(λ=0.2，p=0.9，r=0.1)則可利用p值的變化來改變其遲滯環(huán)的大小，進(jìn)而調(diào)整車速波動(dòng)振幅.

圖3 λ=0.3時(shí)，F(xiàn)VD和OVD(r=0.1，0.2)模型在不同時(shí)刻時(shí)的所有車輛速度分布

在圖4中，車輛運(yùn)動(dòng)越穩(wěn)定，其模型的遲滯環(huán)就越小.與BLVD模型比較，BL＆OVD模型綜合了考慮后視效應(yīng)和最優(yōu)速度差信息，以此來降低車速波動(dòng)幅度，使其遲滯環(huán)演變成一點(diǎn)(p=0.9，λ=0.2，r=0.1所指向的點(diǎn))，遲滯環(huán)消失，說明此時(shí)所有車輛保持平穩(wěn)速度行駛，交通流狀態(tài)趨于穩(wěn)定.綜上所述，BL＆OVD模型仿真結(jié)果與理論研究結(jié)果一致.

圖4 在 λ=0.2時(shí)，不同 p值、r值下，F(xiàn)VD、BLVD，BL＆OVD模型的遲滯環(huán)

5 結(jié) 論

1)結(jié)合現(xiàn)有跟馳模型的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種新的BL＆OVD跟馳模型，可有效抑制交通阻塞.通過線性穩(wěn)定性分析，得到新模型的穩(wěn)定性判據(jù).

2)采用非線性分析方法，推導(dǎo)出mKdV方程用于描述系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)附近的交通擁塞演變規(guī)律.在周期邊界條件下，運(yùn)用數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論研究結(jié)果的正確性.充分證明了通過綜合考慮后視效應(yīng)和最優(yōu)速度差信息，可使得車流達(dá)到最佳協(xié)同行駛，有效減少系統(tǒng)內(nèi)部負(fù)作用，最大程度使得車流運(yùn)行行為趨于一致，提高了車流穩(wěn)定性.

3)研究結(jié)果在理論上揭示了前后車信息綜合利用時(shí)的交通阻塞傳播和消散規(guī)律，可對(duì)車輛自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中駕駛策略的設(shè)計(jì)進(jìn)行指導(dǎo).下一步需利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定與識(shí)別，以提高模型定量刻畫實(shí)際交通運(yùn)行規(guī)律的能力.

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A new car following model with considering the synergy effect of ahead-backward vehicles and its stability analysis

TANG Yi1，2，LIU Weining1，SUN Dihua3，TANG Liang3，ZHANG Jianchang3
(1.College of Computer Science，Chongqing University，400044 Chongqing，China;2.Chongqing Expressway Group Co.，Ltd.，401121 Congqing，China;3.College of Automation，Chongqing University，400030 Chongqing，China)

To enhance further the stability of traffic flow，based on the FVD(full velocity difference)model，a new car following model named BL＆OVD model is proposed by incorporating the synergy effect of backward looking and optimal velocity difference information.By applying the linear stability theory，the linear stability condition of the new model is obtained and the modified Korteweg-de Vries(mKdV)equation is established with nonlinear analysis to describe the propagating behavior of traffic jam near the critical point.The simulation results show that the amplification of random disturbance signal in traffic flow can be reduced effectively with the new consideration，which means that the proposed approach can stabilize the traffic flow and suppress the traffic congestion.The new model can stabilize the traffic flow further，and help to design the vehicle driving strategy in the autopilot system.

traffic flow;car following model;comprehensive effect;nonlinear analysis

TP13

A

0367－6234(2014)02－0115－06

2013－03－05.

教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(20090191110022).

唐 毅(1983—)，男，博士研究生;

劉衛(wèi)寧(1962—)，女，教授，博士生導(dǎo)師;

孫棣華(1962—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

唐 毅，tangyi1983219@163.com.

(編輯 魏希柱)