孟麗霞，陸念力，劉士明

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，150001 哈爾濱)

慣性矩二次變化變截面梁柱幾何非線性分析

孟麗霞，陸念力，劉士明

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，150001 哈爾濱)

為研究考慮剪切變形的變截面梁桿結(jié)構(gòu)幾何非線性問(wèn)題，應(yīng)用Timoshenko梁理論，采用位移、轉(zhuǎn)角獨(dú)立插值的方法，獲取考慮剪切影響的慣性矩二次變化變截面梁?jiǎn)卧男魏瘮?shù);從嚴(yán)格的虛功增量方程出發(fā)，建立同時(shí)考慮軸力、剪切、彎曲效應(yīng)及其耦合項(xiàng)的平面變截面梁柱單元幾何非線性增量平衡方程，得到慣性矩二次變化變截面梁?jiǎn)卧笪灰魄芯€剛度陣;與經(jīng)典算例進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的精確性與有效性.

有限單元法;變截面梁;虛功增量方程;大位移;幾何非線性

梁桿結(jié)構(gòu)由于自重輕、承載能力大等優(yōu)點(diǎn)而在工程中得到廣泛應(yīng)用.隨著優(yōu)質(zhì)鋼材等級(jí)的提高，梁桿結(jié)構(gòu)跨度與柔度不斷增大，梁桿結(jié)構(gòu)的受載形式表現(xiàn)為強(qiáng)非線性，此時(shí)傳統(tǒng)的小位移假定已不再適用.在幾何非線性分析方面，1975年，文獻(xiàn)［1］提出了非線性增量形式的完全拉格朗日(T.L.)和修正拉格朗日(U.L.)描述.文獻(xiàn)［2］改進(jìn)了 Bathe的方法，通過(guò)建立三維連續(xù)梁的虛功增量方程，推導(dǎo)了分析三維梁式構(gòu)件大撓度問(wèn)題的U.L.列式法，并提出了新形式的梁?jiǎn)卧畮缀蝿偠汝?文獻(xiàn)［3］通過(guò)建立考慮剪切變形與彎曲變形影響的修正剪切方程，對(duì)半剛性連接的單根梁柱的大位移大轉(zhuǎn)動(dòng)小應(yīng)變問(wèn)題進(jìn)行分析研究.文獻(xiàn)［4］使用C.R法分析了薄壁梁的大位移幾何非線性問(wèn)題.但上述研究對(duì)象均為等截面梁，對(duì)于變截面梁?jiǎn)卧?，文獻(xiàn)［5］在獲得小位移Euler-Bernoulli變截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚮A(chǔ)上，利用隨動(dòng)坐標(biāo)法，在變形后位形上建立單元隨動(dòng)坐標(biāo)系，得到變截面梁?jiǎn)卧笪灰迫科胶夥匠蹋脛偠汝嚥⑽从?jì)及剪切變形的影響.文獻(xiàn)［6］基于修正的拉格朗日列式法，采用等截面Timoshenko梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)代入虛功方程，給出了可直接用于幾何非線性分析的變截面梁?jiǎn)卧獜椥院蛶缀蝿偠染仃?以往研究中，要么對(duì)變截面梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)簡(jiǎn)單采用等截面形函數(shù)代替［6］，并未考慮剪切變形與變截面因素的影響，要么在虛功方程中忽略了單元軸向變形與剪切變形及各耦合項(xiàng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響［7～8］.

本文利用多項(xiàng)式插值，采取轉(zhuǎn)角與位移獨(dú)立插值的方法構(gòu)造計(jì)及剪切與變截面因素的位移場(chǎng)，隨后運(yùn)用更新的拉格朗日列式法建立嚴(yán)格的平面梁柱單元的大位移虛功增量方程，得到包括各種耦合項(xiàng)的慣性矩二次變化變截面梁?jiǎn)卧笪灰魄芯€剛度陣.最終得到顯示表達(dá)的變截面梁?jiǎn)卧笪灰凭€性剛度陣與幾何剛度陣.

1 慣性矩二次變化變截面梁?jiǎn)卧?/h2>

變截面梁?jiǎn)卧云涫芰侠硪约肮?jié)約材料等特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用.工程中，等效為慣性矩二次變化的變截面梁多見(jiàn)于格構(gòu)式結(jié)構(gòu)與腹板鏤空的工字梁.如圖1所示慣性矩二次變化的變截面梁，構(gòu)件截面面積為定值A(chǔ)0，構(gòu)件長(zhǎng)度為L(zhǎng)，在x=0處的截面慣性矩為I1，在x=L處的截面慣性矩為I2，則任意截面x處的截面慣性矩可表示為坐標(biāo)x的函數(shù):

圖1 平面變截面梁?jiǎn)卧?/p>

在單元局部坐標(biāo)系下，推導(dǎo)變截面梁?jiǎn)卧芯€剛度矩陣過(guò)程中使用如下基本假定:

1)梁?jiǎn)卧冃魏蟮慕孛嫘螤畋３植蛔?，即為剛性截?2)梁?jiǎn)卧茌d形式為大位移小應(yīng)變情況;3)垂直于中面的截面變形后仍保持為平面，但不必再與變形后的中面垂直;4)單元材料為各向同性線彈性材料，遵循廣義虎克定律;5)構(gòu)件截面特性沿軸向連續(xù)變化，且構(gòu)件為雙軸對(duì)稱(chēng).則構(gòu)件的橫截面面積及截面慣性矩可表示為軸向坐標(biāo)的函數(shù)形式

2 變截面梁?jiǎn)卧灰撇逯岛瘮?shù)

在有限元分析中，需要先確定位移模式，本文對(duì)位移增量場(chǎng)采用多項(xiàng)式插值，即:對(duì)軸向位移增量采用線性函數(shù)插值，對(duì)橫向位移增量采用三次函數(shù)插值，對(duì)轉(zhuǎn)角位移增量采用二次函數(shù)插值.如圖2所示，單元左右兩端橫向位移分別為yi、yj，相應(yīng)的轉(zhuǎn)角位移記為 θi、θj，單元長(zhǎng)度為 L.則單元位移可表示為

圖2 變截面梁?jiǎn)卧奈灰泼枋?/p>

根據(jù)勢(shì)能駐值原理，考慮剪切變形的單元總勢(shì)能為

將式(3)列寫(xiě)為矩陣形式有

式中:Ke為單元線性剛度矩陣，Ge為單元幾何剛度矩陣，F(xiàn)e為廣義載荷向量.

為了計(jì)入剪切變形影響，假設(shè)撓度函數(shù)ω(x)與轉(zhuǎn)角函數(shù)ψ(x)分別表示為

單元內(nèi)部自由度r1、r2、t1的大小可由單元應(yīng)變能確定，由式(3)可知，單元應(yīng)變能表示為

將式(4)代入式(5)，積分后化為矩陣形式:

式中:ρ為量綱一的剪切系數(shù)，ρ=EI1k/(GAL2);λ為錐度系數(shù)L)/a;k為截面剪切校正因子.

系數(shù) r1、r2、t1應(yīng)使應(yīng)變能 Πe'取最小值，故

由式(6)，利用靜力凝聚，將 r1、r2、t1用 yi、θi、yj、θj表示，得到已消除內(nèi)部自由度的橫向位移與轉(zhuǎn)角

不難證明，當(dāng)變截面錐度系數(shù)λ→1時(shí)，本文梁?jiǎn)卧獧M向位移與轉(zhuǎn)角表達(dá)式(7)、(8)將相應(yīng)發(fā)生退化，退化后的表達(dá)式與文獻(xiàn)［9］中考慮剪切變形的等截面梁?jiǎn)卧嗤?

3 幾何非線性有限元增量平衡方程

采用U.L.列式法來(lái)建立梁柱單元的幾何非線性增量剛度方程.根據(jù)有限元理論，以t時(shí)刻位形為參考位形，建立梁?jiǎn)卧猆.L.格式下的虛功增量方程:

式中:Dijkl為單元本構(gòu)關(guān)系矩陣;eij為格林應(yīng)變張量線性項(xiàng);ηij為格林應(yīng)變張量非線性項(xiàng);σij為單元柯西應(yīng)力;t+ΔtR為t+Δt時(shí)刻外力所做的虛功.

本構(gòu)關(guān)系矩陣為

式中:E為彈性模量，G為剪切模量.

因?yàn)橐阎匠讨兴械奈锢砹慷际且詔時(shí)刻為基準(zhǔn)來(lái)度量的，而t時(shí)刻為已知狀態(tài)，因此，在以下分析中省去左上角標(biāo)及左下角標(biāo)t.

將式(10)帶入式(9)，并考慮應(yīng)變分量與應(yīng)變張量表達(dá)之間的關(guān)系，可得相應(yīng)的虛功增量方程為

式中格林應(yīng)變張量的線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)表達(dá)如下:

式中:“，”表示對(duì)后面坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，Ux0，Uy0為截面x形心處的位移增量，θ為截面x的轉(zhuǎn)動(dòng)增量.

變截面梁?jiǎn)卧我饨孛鎥處的位移增量可表示為

結(jié)合式(2)、(11)～(13)有如下關(guān)系式:

可得平面梁柱單元的虛功增量方程

式中:As為單元抗剪切面積，As=A0/k;2R為t+Δt時(shí)刻外力所做虛功，即2R=t+ΔtR;1R為t時(shí)刻外力所做虛功，即

方程(15)即為平面梁柱單元的虛功增量方程，式中包括了軸向變形、剪切變形、彎曲變形以及它們之間的耦合項(xiàng).

4 變截面梁?jiǎn)卧笪灰苿偠汝?/h2>

平面變截面梁?jiǎn)卧獥U端力與桿端位移如圖3所示.

圖3 平面梁柱單元桿端力與桿端位移

單元節(jié)點(diǎn)位移向量

單元節(jié)點(diǎn)載荷向量

軸向位移選用線性函數(shù)插值，橫向位移與轉(zhuǎn)角采用式(7)、(8)考慮剪切變形的三次多項(xiàng)式插值.則單元任意截面質(zhì)心處位移增量與桿端位移增量間的關(guān)系為

將單元截面內(nèi)力用其桿端力表示為

將式(1)、(16)、(17)代入單元虛功增量方程(15)，可得三維梁柱單元的幾何非線性剛度方程

式中K即為慣性矩二次變化變截面梁柱單元的大位移切線剛度矩陣，其表達(dá)式為

式中:

其中:下標(biāo)g和h表示位移ux、uy或θ，上標(biāo)s和t表示對(duì)位移插值函數(shù)N求導(dǎo)的階數(shù)，v則表示以x為底的冪函數(shù)的次數(shù).

將式(17)帶入式(18)，可得變截面梁?jiǎn)卧笪灰苿偠染仃?/p>

式中:K0為變截面梁?jiǎn)卧畯椥詣偠染仃嚕琄g為變截面梁?jiǎn)卧畮缀蝿偠染仃?

線性剛度陣表達(dá)式為

幾何剛度陣表達(dá)式為

5 算例

算例1 如圖4所示典型的Williams曲肘，兩桿均為等截面直桿，兩端約束方式為固接，在曲肘頂點(diǎn)處施加豎向載荷 P.結(jié)構(gòu)參數(shù) L=657.5 mm，h=9.8 mm，a=19.126 mm，b=6.172 mm，彈性模量取E=71 GPa.計(jì)算在承受軸力P作用時(shí)頂點(diǎn)處的豎向位移δ，使用本文方法對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行大位移非線性分析，每根桿件劃分為20個(gè)單元，計(jì)算所得結(jié)果與文獻(xiàn)［10］中Williams解析解進(jìn)行比較，如圖5所示.

圖4 等截面Williams曲肘模型

圖5 Willams曲肘軸向載荷位移曲線

由圖5可見(jiàn)，兩種方法所得結(jié)果吻合較好，證明了本文方法的有效性，本文推導(dǎo)的變截面梁?jiǎn)卧嘶玫降牡冉孛媪簡(jiǎn)卧诖笪灰品蔷€性分析時(shí)，保持了較高的計(jì)算分析精度.

算例2 如圖6所示變截面懸臂梁，自由端承受橫向集中力Q作用.取構(gòu)件小端截面面積A0=0.04 m2，小端截面慣性矩 I0=1.33×10－4m4，大端截面慣性矩為2I0，構(gòu)件長(zhǎng)度L=1.0 m，彈性模量E=200 GPa，剪切模量G=71 GPa，采用量綱一載荷κ=QL2/EI0，取截面剪切校正因子k=10/9，(x，y)表示梁桿軸線上任意點(diǎn)坐標(biāo)值.本文將構(gòu)件離散為20個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果與ANSYS將構(gòu)件劃分為20個(gè)單元的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如表1所示.

圖6 變截面懸臂梁模型

表1 本文方法與ANSYS大位移分析結(jié)果比較

圖7給出了κ=1、2、5、8、10時(shí)該懸臂梁大位移變形后的構(gòu)型.圖中橫縱坐標(biāo)分別為構(gòu)件軸向坐標(biāo)x、橫向坐標(biāo)y與構(gòu)件總長(zhǎng)L的無(wú)量綱比值.

圖7 變截面懸臂梁大位移構(gòu)型

在大位移情況下，構(gòu)件自由端橫向位移隨剪切系數(shù)變化情況如圖8所示.可見(jiàn)，在相同載荷下，剪切剛度越弱，構(gòu)件橫向位移越大，剪切剛度對(duì)慣性矩二次變化變截面構(gòu)件幾何非線性影響較為顯著.

圖8 不同剪切系數(shù)下的橫向位移變化曲線

6 結(jié)論

1)利用多項(xiàng)式插值函數(shù)構(gòu)造了計(jì)及剪切與變截面因素影響的位移場(chǎng)，采用U.L.列式法建立梁柱單元的幾何非線性虛功增量方程，得到同時(shí)考慮軸力、剪切、彎曲效應(yīng)及其耦合項(xiàng)的慣性矩二次變化變截面梁?jiǎn)卧笪灰魄芯€剛度陣.

2)本文方法嚴(yán)格計(jì)入了剪切變形與變截面因素的影響，具有較高的計(jì)算精度，適用于變截面梁、等截面梁以及組合式梁桿結(jié)構(gòu)的大位移幾何非線性分析.

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Geometric nonlinear analysis of tapered beam with inertia moment vary quadratic

MENG Lixia，LU Nianli，LIU Shiming
(School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

To research the geometric nonlinear problem of tapered beam with shear deformation，based on Timoshenko theory，the displacement and rotation independent interpolation method was adopted to obtain the shape functions of tapered beam considering shear deformation，whose inertia moment varied quadratic.Then，started from the virtual work increment equation，the geometric nonlinear incremental equilibrium equation of the plane tapered beam element was established，including axial force，shear effect，bending effect and its coupling term，and the large displacement tangential stiffness matrix of the tapered beam was obtained.Finally，the classical examples are calculated，and the results show that the proposed method is accurate and effective.

finite element method;tapered beam;virtual work increment equation;large displacement;geometric nonlinear

TU311.2

A

0367－6234(2014)03－0020－06

2013－03－29

國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2011BAJ02B01－02).

孟麗霞(1983—)，女，博士研究生;

陸念力(1955—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

孟麗霞，Menglixia1983@163.com.

(編輯 楊 波)