劉士明，陸念力，孟麗霞

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，150001 哈爾濱)

牽繩非保向力作用下的起重臂穩(wěn)定性分析

劉士明，陸念力，孟麗霞

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，150001 哈爾濱)

為準(zhǔn)確地分析牽繩非保向力作用下的起重機(jī)伸縮臂起升平面外穩(wěn)定性問題，建立牽繩作用下的多節(jié)伸縮臂的撓曲微分方程，引入適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，獲得多節(jié)伸縮臂平面外失穩(wěn)特征方程的遞推表達(dá)式，并給出工程起重機(jī)常用臂節(jié)起升平面外失穩(wěn)特征方程的顯示表達(dá)式;討論牽繩在吊臂方向的投影長(zhǎng)度a與吊臂長(zhǎng)度l的比值a/l對(duì)起重臂失穩(wěn)臨界力的影響.對(duì)典型4節(jié)起重機(jī)伸縮臂進(jìn)行穩(wěn)定性分析，與ANSYS密分單元的計(jì)算結(jié)果比較表明:推導(dǎo)的失穩(wěn)特征方程是完全正確的;起重臂的抗失穩(wěn)能力隨著a/l比值的逐漸增大而逐漸減弱，并趨于定值.

起重機(jī);穩(wěn)定性分析;失穩(wěn)特征方程;多節(jié)伸縮臂;變截面階梯柱

工程起重機(jī)作為工業(yè)建筑中不可替代的大型吊裝設(shè)備，其穩(wěn)定性分析備受學(xué)者們關(guān)注［1－4］.而輪式起重機(jī)由于機(jī)動(dòng)靈活，操作方便，效率高，其應(yīng)用更加廣泛.伸縮臂作為輪式起重機(jī)最重要的承載部件，為減輕質(zhì)量及合理利用材料，通常呈階梯柱的形式，對(duì)于這類結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都進(jìn)行了深入的研究［5－8］.我國(guó)起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范GB/T 3811—2008中，起重機(jī)伸縮臂起升平面外的失穩(wěn)計(jì)算模型為變截面階梯柱［9］，采用精確有限單元法計(jì)算其失穩(wěn)臨界力［10］.文獻(xiàn)［11－12］研究了伸縮臂內(nèi)部支撐油缸對(duì)起重臂穩(wěn)定性的影響，并給出伸縮臂失穩(wěn)臨界力的遞推公式.本文作者在上述研究基礎(chǔ)上討論了吊臂間搭接摩擦力對(duì)起重臂起升平面外穩(wěn)定性的影響，并與文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11－12］的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析比較［13－14］.對(duì)于某些大型輪式起重機(jī)，為提高伸縮臂的承載能力，減小伸縮臂撓曲變形，都會(huì)在伸縮吊臂上安裝牽引鋼絲繩或拉索.由于牽引鋼絲繩或拉索的存在，使得起重機(jī)伸縮臂在起升平面外受非保向力的作用，雖然這些牽繩或拉索引起的非保向力能有效地提高伸縮臂的穩(wěn)定承載力，但缺乏相應(yīng)的理論推導(dǎo).文獻(xiàn)［15］雖然研究了平面內(nèi)單鋼絲繩非保向力作用下起重機(jī)吊臂的穩(wěn)定性問題，但該研究只針對(duì)吊臂為等截面的情況，對(duì)于變截面階梯柱結(jié)構(gòu)是否適用，有待進(jìn)一步的分析.

本文詳細(xì)討論牽繩等非保向力作用下的多節(jié)伸縮臂起升平面外穩(wěn)定性問題，并分析牽繩在吊臂方向的投影長(zhǎng)度與伸縮臂長(zhǎng)度的比值對(duì)起重機(jī)伸縮臂起升平面外失穩(wěn)臨界力的影響.

1 牽繩作用下的起重臂失穩(wěn)特征方程

牽繩作用下的多節(jié)起重機(jī)伸縮臂的失穩(wěn)變形如圖1所示，Δ為伸縮臂頭部的豎向位移，δ為伸縮臂頭部側(cè)向位移，ls為牽繩的長(zhǎng)度，a為變形前牽繩在伸縮臂軸向上的投影，h為變形前牽繩在z方向的投影.忽略伸縮臂的軸向變形，令牽繩引起的非保向力為F，由圖1可知，其伸縮臂頂部受到的軸向力Fx、側(cè)向力Fy和豎向力Fz分別為

圖1 多節(jié)起重機(jī)伸縮臂的失穩(wěn)變形圖

由圖1可知，牽繩作用下的多節(jié)伸縮臂平面外失穩(wěn)力學(xué)模型如圖2所示，設(shè)第i節(jié)伸縮臂的截面慣性矩為Ii，xi為第i節(jié)伸縮臂頂部到伸縮臂根部的長(zhǎng)度，伸縮臂總長(zhǎng)為l=xn，E為彈性模量.

圖2 多節(jié)起重機(jī)伸縮臂的失穩(wěn)力學(xué)模型

將吊臂頭部的軸力Fx改用符號(hào)P代替，式(1)中的側(cè)向分力可表示為

由圖2所示的多節(jié)伸縮臂失穩(wěn)力學(xué)模型，可

建立各節(jié)伸縮臂撓曲微分方程為

撓曲微分方程(3)的通解可表示為

由伸縮臂根部的邊界條件x=0時(shí)，y1=y'1=0，得

又由位移邊界條件 x=xi時(shí)，yi=yi+1，y'i=y'i+1得各積分常數(shù)之間的關(guān)系為

將式(5)整理得積分常數(shù)之間遞推表達(dá)式:

式(6)中Qi可表示為

由式(6)得積分常數(shù)Cn和Dn的表達(dá)式:

由伸縮臂頂部邊界條件x=xn=l時(shí)，yn=δ得

將式(7)代入式(8)得伸縮臂失穩(wěn)特征方程:

將式(4)代入式(9)中，且由于側(cè)向位移δ為任意數(shù)值，故多節(jié)伸縮臂的失穩(wěn)特征方程變?yōu)?/p>

失穩(wěn)特征方程(10)是以P為未知量的非線性超越方程，解此超越方程即可得結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界力Pcr.當(dāng)多節(jié)伸縮臂具有相同的截面慣性矩，即伸縮臂為等截面的極限情況，其失穩(wěn)特征方程(10)可退化為與文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［15］具有相同的表達(dá)形式:

由失穩(wěn)特征方程(10)和式(11)可知，單根鋼絲繩對(duì)伸縮臂平面外穩(wěn)定性的影響僅與鋼絲繩在伸縮臂方向的投影長(zhǎng)度a和伸縮臂的長(zhǎng)度l的比值a/l有關(guān).

2 起重臂失穩(wěn)特征方程的顯示表達(dá)

為了便于工程實(shí)際中指導(dǎo)起重機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員對(duì)牽繩作用下的伸縮臂進(jìn)行穩(wěn)定性分析，本文將給出工程中多節(jié)起重機(jī)常用臂節(jié)的平面外失穩(wěn)特征方程的顯示表達(dá)式.

當(dāng)n=1時(shí)，失穩(wěn)特征方程式(10)可表示為

或表示為

當(dāng)n=2時(shí)，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

當(dāng)n=3時(shí)，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

當(dāng)n=4時(shí)，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

當(dāng)n=5時(shí)，起重臂的失穩(wěn)特征方程可表示為

式(12)～式(15)中，tii=tan(kili)，li表示各節(jié)伸縮臂的長(zhǎng)度，如圖2所示，即 l1=x1，li=xi-xi-1.

式(12)～式(15)分別表示起重機(jī)有2、3、4、5節(jié)伸縮臂時(shí)的平面外失穩(wěn)特征方程的顯示表達(dá)式.

3 起重機(jī)伸縮臂平面外穩(wěn)定性分析實(shí)例

為了分析牽繩或拉索等非保向力對(duì)起重機(jī)伸縮臂穩(wěn)定性的影響，針對(duì)牽繩作用下的典型4節(jié)起重機(jī)伸縮臂進(jìn)行平面外穩(wěn)定性分析.通常歐拉臨界力可表達(dá)式為Pcr=π2EI/(μl)2，為了便于分析比較，采用量綱一的失穩(wěn)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ來表示起重臂的抗失穩(wěn)能力.

算例 圖3所示為牽繩作用下4節(jié)起重機(jī)伸縮臂模型，伸縮臂的總長(zhǎng)度為l，各節(jié)伸縮臂長(zhǎng)度l1=0.34l，l2=0.22l，l3=0.22l，l4=0.22l，牽繩在伸縮臂方向投影長(zhǎng)度為a，截面慣性矩比值為I1/I2=1.3，I2/I3=1.9，I3/I4=2.5.

圖3 牽繩作用下的4節(jié)伸縮臂模型

由失穩(wěn)特征方程式(10)和式(11)可知，牽繩作用下的伸縮臂失穩(wěn)臨界力僅與長(zhǎng)度比值a/l有關(guān)，將不同長(zhǎng)度比值代入4節(jié)伸縮臂的顯示失穩(wěn)特征方程(14)，可得用慣性矩I1表示的失穩(wěn)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ=π/(k1l).同時(shí)為驗(yàn)證本文理論推導(dǎo)的正確性，采用有限元分析軟件ANSYS進(jìn)行驗(yàn)證，分別采用Beam44單元和Link10單元來模擬伸縮臂和牽繩，每節(jié)伸縮臂劃分為20個(gè)單元，其計(jì)算結(jié)果列于表1，表中階梯柱代表無牽繩作用時(shí)伸縮臂的失穩(wěn)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù).

表1 不同長(zhǎng)度比值的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)

由表1可知，本文與ANSYS計(jì)算結(jié)果在小數(shù)點(diǎn)后四位完全相同，驗(yàn)證了本文理論推導(dǎo)的正確性及求解的精確性.同時(shí)還可以看出，隨著長(zhǎng)度比值a/l的逐漸增大，其失穩(wěn)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ逐漸增大，即結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界力逐漸減小，抗失穩(wěn)能力變?nèi)?當(dāng)a/l→∞ 時(shí)，其失穩(wěn)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ與沒有牽繩時(shí)相等，此時(shí)可認(rèn)為牽繩對(duì)起重機(jī)伸縮臂平面外的穩(wěn)定性沒有影響.

4 結(jié)論

1)分析了牽繩或拉索等引起的非保向力作用下的多節(jié)起重機(jī)伸縮臂平面外穩(wěn)定性，給出了起重臂失穩(wěn)特征方程的遞推表達(dá)式;并結(jié)合起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范，給出了2～5節(jié)伸縮臂失穩(wěn)特征方程的顯示表達(dá)式，為起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范GB/T 3811—2008的修訂提供理論依據(jù).

2)比較本文計(jì)算結(jié)果與ANSYS密分單元的計(jì)算結(jié)果表明，本文針對(duì)牽繩非保向力作用下的起重臂平面外失穩(wěn)問題的理論推導(dǎo)是正確的，用該理論公式求解起重臂的起升平面外的失穩(wěn)臨界力是精確的.

3)對(duì)典型4節(jié)起重臂穩(wěn)定性算例分析表明，隨著長(zhǎng)度比值a/l的逐漸增大，起重臂的平面外失穩(wěn)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ逐漸增大，并趨于定值，即非保向力對(duì)起重臂穩(wěn)定性的影響隨著a/l的增大而減弱.

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Stability analysis of telescopic booms under pull-rope follower force

LIU Shiming，LU Nianli，MENG Lixia

(School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

To solve the out-of-plane stability problem of the telescopic boom subjected follower forces，the deflection differential equations of the multi-telescopic boom model which under actions of pull-rope are established.With proper boundary conditions，the recurrence formulas of buckling characteristic equations are presented，and the explicit expressions of the boom in some practical applications are given.The influence on destabilizing critical force of telescopic boom due to the ratio of a/l is discussed in detail，where a is the length of wire projected to telescopic boom，and l is the length of telescopic boom.In comparison with the ANSYS method，the results show that the buckling characteristic equations are completely correct.As the ratio of a/l increases，the capacity of anti buckling reduces and tends to be a constant value.

crane;stability analysis;buckling characteristic equation;multi-section telescopic boom;stepped column

TH213;O317

A

0367－6234(2014)03－0026－04

2013－03－29.

國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2008BAJ09B01－03).

劉士明(1983—)，男，博士研究生;

陸念力(1955—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

劉士明，lsm831206@163.com.

(編輯 楊 波)