■江思容

數(shù)學解題常用的六種逆向思維方法

■江思容

數(shù)學學習離不開思維，思維能力的發(fā)揮和思維活動的發(fā)展決定了學習效果的高低。只有科學地把握思維特點，才能夠從總體上把握事物的本質(zhì)特征。在教學解題中常常運用逆向思維，它大致有六種常用方法。

一、反客為主

反客為主，換而言之，就是要將常量當作變量，將變量當作常量，變量與常量既統(tǒng)一，又互相轉(zhuǎn)化，是一個相互矛盾的統(tǒng)一體。反客為主的思維方法是一種很好的思維方法。

例1當m是什么整數(shù)時，關于x的方程x2－（m－1）x+m+1=0的兩根都是整數(shù)？

【方法導引】因為關于x的方程有解，那么關于m的方程也應有解，且解都是整數(shù)，故先解關于m的方程。

解：以m為主元，已知方程化為（x－1）m=x2+x+1

∴x－1=±1，±3，

∴x=2，0，4，－2

把x以上述值依次代入m的表達式得：m=7或－1。

二、無中生有

有時需要巧妙地造出與原問題有關的新元素和新模型來對某些數(shù)學問題進行解決，這就是無中生有。

（1）若方程沒有實數(shù)根，求p的范圍。

（2）若p>0，問p為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根，并求出這兩個根。

【方法導引】首先要弄清無理方程沒有實根的含意是將其換元后所得的一元二次方程的解求出，令其解小于零，這樣就可以求出p的范圍。

解這個不等式組得，－2＜p＜0

（2）∵p>0，把y1=p代入①得

而y2=－2－p＜0（不合題意，舍去）

將②式平方，整理得

x2+2x－（p2－2p）=0③

令Δ=4+4（p2－2p）

=4（p2－2p+1）=4（p－1）2=0

解之得：p=1

當p=1時，原方程有兩個相等實根，把p=1代入③得x2+2x+1=0，

∴x1=x2=－1，經(jīng)檢驗，當p=1時，

x1=x2=－1是原方程的根。

三、聲東擊西

提出一個問題往往比解決一個問題更重要,因為解決問題也許僅是一個數(shù)學上或?qū)嶒炆系募寄芏?。而提出新的問題、新的可能性,從新的角度去看舊的問題,都需要有創(chuàng)造性，聲東擊西是一種很好的方式，可以通過另外一個問題的解決來對原問題進行間接解決。

【方法導引】由已知條件直接求出代數(shù)式的值繁而難，若根據(jù)題目所給的條件，巧妙地利用方程知識進行求解，就方便得多，于是采用聲東擊西的策略，達到由此及彼的目的。

四、以退為進

解數(shù)學題有時候要以退求進，有時候要先進后退，恰當運用進退的互化是辯證思維的一條重要方法。

例4如圖，△ABC中AE是∠A的外角平分線，D是AE上任意一點，試確定AB+AC與BD+CD之間的大小關系。

【方法導引】D為AE上任意一點，說明D點有隨意移動的特性，給問題的研究帶來了難度，我們巧借D點可動的情況，取特殊的位置①D與A重合；②AD⊥CD加以研究，收到以靜止動，以退求進的效果。①當D與A重合時，顯然有AB+AC=BD+CD；②當CD⊥AD時，只要延長CD交BA的延長線于F，由等腰三角形性質(zhì)及兩邊之和大于第三邊的特性不難證明AB+AC＜BC+CD，綜①，②啟發(fā)我們證明，AB+AC≤BD+CD。

解：要確定的關系是AB+AC≤BD+ CD，下面對此結(jié)論加以證明。

如上圖，在BA的延長線上取點F，使AF=AC，連DF。

顯然△AFD≌△ACD，

則DC=DF，

又AC=AF，

故AB+AC=AB+AF＜BD+DF=BD+ CD。

當D與A重合時，AB+AC=BD+CD

綜上得，AB+AC≤BD+CD

五、分而治之

有些數(shù)學問題我們想從整體上考慮比較困難時，我們不妨采用分而治之的方法來處理，即將問題劃分為幾種情況（或類型），各個擊破，分而治之。

例5當a為何值時，方程

的解只有一個？

【方法導引】這是一個根式方程，應變換為等價的方程（方程組），注意到a=1或a≠1時，已知方程有本質(zhì)的不同，因此應對這兩種情況分別討論。進而，為討論何時只有一個解，又要進行第二級分類。

解：化簡變形得到與原方程同解的不等式組

六、出奇制勝

奇兵能克制強敵，巧解可輕取難題，難題之難就在于條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系比較隱蔽，欲揭示這種內(nèi)在聯(lián)系，如循常規(guī)老路，必費時費力，只有敢于創(chuàng)新，才能以巧取制。

解：構(gòu)造如圖所示的Rt△ACD，Rt△BCE，使AD=1，BE=2，CD=x，DE=4，且CD、CE在直線a上，則所求最小值轉(zhuǎn)化為“在直線a上求一點C，使AC+ CB的值最小”。

（作者單位：武漢市洪山中學）

責任編輯 王愛民