高興佑

（曲靖師范學院經(jīng)濟與管理學院，云南曲靖 655011）

兩廠商n元市場三度價格歧視的納什均衡

高興佑

（曲靖師范學院經(jīng)濟與管理學院，云南曲靖 655011）

對兩寡頭廠商n元市場用完全信息靜態(tài)博弈的方法分析了實施三度價格歧視情形和統(tǒng)一定價情形的均衡產(chǎn)量，均衡價格和均衡總收益，并研究了這兩種情形三個指標之間的關系。結(jié)果顯示，在兩個子市場的需求函數(shù)為線性需求的條件下，統(tǒng)一定價的市場均衡產(chǎn)量等于歧視定價的市場均衡產(chǎn)量；統(tǒng)一定價的均衡價格是歧視定價時n個子市場均衡價格的加權平均；統(tǒng)一定價的市場均衡總收益小于歧視定價的市場均衡總收益。

寡頭壟斷市場；三度價格歧視；完全信息靜態(tài)博弈；納什均衡；古諾模型

1 引言

價格歧視是指同一賣者的同一產(chǎn)品對不同買者或?qū)ν毁I者不同購買數(shù)量或不同購買順序收取不同的價格。該理論是由英國著名經(jīng)濟學家福利經(jīng)濟學之父庇古（Arthur Cecil Pigou，1877-1959）在1920年出版的代表作《福利經(jīng)濟學》一書中首次提出①Arthur Cecil Pigou，The Economics ofWelfare，London：Macmillan Company，1920.。由于在現(xiàn)代商業(yè)實踐中獲得了廣泛的應用，該理論受到了諸多學者的關注，經(jīng)過近一個世紀的發(fā)展，現(xiàn)已經(jīng)取得了非常豐富的成果。根據(jù)占有消費者剩余的程度（歧視程度）的不同，價格歧視可分為一度二度和三度價格歧視。一度價格歧視是指廠商對每一單位商品收取一個不同的價格，該價格就是消費者愿意支付的最高價格（需求價格），廠商由此剝奪了全部消費者剩余，獲取了最大利潤。二度價格歧視是指廠商銷售同一種商品時，根據(jù)消費者的需求曲線把需求量分為不同的區(qū)間，對較小的需求量索取較高的價格，對較大的需求量索取較低的價格，由此占有部分消費者剩余，利潤得到增加。三度價格歧視是指同一個廠商在銷售同一種商品時，把消費者劃分為不同的子市場，收取不同的價格。三度價格歧視根據(jù)消費者的需求價格彈性（對價格反應的敏感程度）的不同分別制定不同的價格，對彈性高的人群制定低價，對彈性低的人群制定高價，由此獲取更大的利潤。一度價格歧視很簡單，其研究也最透徹，本質(zhì)上就是消費者的全部剩余都轉(zhuǎn)化為廠商的利潤，其歧視程度是最高的，因而也被稱為完全價格歧視。一度價格歧視與單一定價（不進行價格歧視）相比能提高經(jīng)濟效率，增加社會福利，使市場近于完全競爭市場。不過一度價格歧視過于理想化，在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中很難找到。對二度價格歧視的研究也已基本完備。文②唐小我：《二度價格歧視情形下壟斷廠商收益最大化條件》，《電子科技大學學報》1997年第2期，第194-198頁。③唐小我：《非線性需求函數(shù)條件下二度價格歧視研究》，《電子科技大學學報》1999年第1期，第78-83頁。④唐小我：《二度價格歧視的進一步研究》，《管理科學學報》2001年第1期，第7-11頁。研究了經(jīng)典的完全壟斷市場二度價格歧視的方法和規(guī)律；文⑤陳紹剛，唐小我，趙蜀蓉：《兩廠商情形下的二度價格歧視的納什均衡》，《系統(tǒng)工程理論方法應用》2003年第4期，第303-306頁。⑥陳紹剛：《兩類差別定價方法的理論拓展及應用研究》，電子科技大學博士論文，2004年。⑦高興佑：《寡頭廠商二度價格歧視靜態(tài)與動態(tài)博弈分析》，《曲靖師范學院學報》2003年第6期，第25-28頁。⑧高興佑：《二度價格歧視的數(shù)理經(jīng)濟分析》，電子科技大學碩士學位論文，2003年。指出寡頭壟斷市場也存在二度價格歧視，提出了該市場類型二度價格歧視的分析方法：博弈論的方法；文①陳紹剛，高興佑，唐小我：《競爭條件下二度價格歧視均衡的進一步研究》，《2005中國控制與決策學術年會論文集》，哈爾濱，2005年，第1726-1728頁。②GAO Xing-you，GAO Wen-jin.Nash Equilibrium of Second-Degree Price Discrim ination in Oligopoly Market，Proceedings of 2012 International Conference on Computer and Management，Scientific Research Publishing，USA，2012，Vol.2：783-788.研究了兩寡頭n段定價二度價格歧視的納什均衡；文③顧婧，陳紹剛：《古諾模型的多廠商二度價格歧視行為研究》，《電子科技大學學報》2007年第2期，第470-472頁。④高興佑，高文進：《價格歧視下四種市場的均衡產(chǎn)量和價格》，《經(jīng)濟數(shù)學》2011年第1期，第81-84頁。則研究了m個廠商二段定價二度價格歧視的納什均衡。二度價格歧視研究的主要結(jié)論如下。從廠商的角度來看，第一，線性需求下m個廠商情形廠商收益最大化的充分必要條件是，把需求量區(qū)間分為n段，使各段長度呈公比為的等比數(shù)列。第二，線性需求下m個廠商n段定價最優(yōu)（或均衡）分段點的分布規(guī)律被找到了，均衡歧視價格，均衡歧視總收益的統(tǒng)一的計算公式也被找到了。第三，在完全壟斷市場，當分段數(shù)n→∞時廠商可以占有全部的消費者剩余，此時二度價格歧視轉(zhuǎn)化為一度價格歧視；在寡頭壟斷或壟斷競爭市場由于競爭的影響廠商只能占有部分的消費者剩余；而在完全競爭市場價格歧視將不可實施。從消費者的角度來看，二度價格歧視下廠商能占有部分的消費者剩余，從而侵害了消費者的利益。從全社會的角度來看，二度價格歧視比單一定價能提高經(jīng)濟效率增加社會福利。

在三度價格歧視的研究方面，文⑤唐小我，付崇倫：《價格歧視有效性研究》，《電子科技大學學報》1996年第2期，第200-205頁。-⑥唐小我：《三度價格歧視的數(shù)量分析》，《管理工程學報》1999年第1期，第37-39頁。對經(jīng)典的完全壟斷市場進行了深入的分析，研究得非常透徹。主要結(jié)論有，第一，在完全壟斷市場三度價格歧視的方法。第二，在完全壟斷市場實施三度價格歧視與統(tǒng)一定價（不進行價格歧視）相比，最優(yōu)產(chǎn)量，價格和利潤的關系。第三，在完全壟斷市場三度價格歧視有效（利潤增加）或可實施的充要條件。實際上三度價格歧視不僅僅會發(fā)生在完全壟斷市場，也會發(fā)生在寡頭壟斷市場。文⑦王偉：《三度價格歧視理論及福利效應分析》，電子科技大學碩士論文，2005年。-⑧王偉，陳紹剛：《兩廠商情形下三度價格歧視的有效性研究》，《電子科技大學學報》2007年第2期，第482-484頁。用博弈論的方法研究了這個問題，得到了兩廠商在2元市場價格歧視的方法和利潤的計算公式，并得到了價格歧視有效的條件。兩廠商2元市場是一個有代表性的情形，然而不是最一般的情形，最一般的情形是兩廠商n元市場（任意多個子市場）。本文將基于古諾（Antoine Augustin Cournot）模型（該模型假設廠商的成本為0，這樣利潤最大化問題就轉(zhuǎn)化為收益最大化問題），用完全信息靜態(tài)博弈的方法⑨唐小我，曾勇，李仕民：《管理經(jīng)濟分析——理論及應用》，成都：電子科技大學出版社，2000年。-14謝識予：《經(jīng)濟博弈論》（第2版），上海：上海三聯(lián)書店，復旦大學出版社，2002年。來研究線性需求下兩廠商在n元市場實施三度價格歧視的規(guī)律，并得到歧視定價與統(tǒng)一定價相比較的均衡產(chǎn)量，均衡價格和均衡總收益之間的關系。最后，我們還將發(fā)現(xiàn)三度價格歧視的各個均衡量隨著子市場個數(shù)變化的規(guī)律。

2 歧視定價

假設寡頭廠商1和2生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，面對n個相互隔離的子市場1，2，…，n，子市場需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)Pi=ai-biQi（ai＞0，bi＞0，i=1，2，…，n）。設廠商1和2在n個子市場的產(chǎn)量（銷量）分別為Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）和Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）。Q1=Q1（1）+Q1（2）為市場1的需求量，市場價格相應為P1=a1-b1Q1；Q2=Q2（1）+Q2（2）為市場2的需求量，市場價格相應為P2=a2-b2Q2；…；Qn=Qn（1）+Qn（2）為市場n的需求量，市場價格相應為Pn=an-bnQn。在符號的使用上，上標指廠商，下標指市場。廠商1和2的收益分別為：

兩廠商同時決策，以最大化自己的收益，則這是一個完全信息靜態(tài)博弈。廠商1在廠商2產(chǎn)量Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）給定的條件下確定自己的產(chǎn)量Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）以使TR（1）最大；同樣，廠商2在廠商1產(chǎn)量Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）給定的條件下確定自己的產(chǎn)量Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）以使TR（2）最大。設Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）；Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）是本博弈的納什均衡，則（Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）；Q1（2），Q2（2），…，Qn（2））必是最大化問題

定理2兩實力相當寡頭廠商在n個子市場的需求函數(shù)為線性需求Pi=ai-biQi（i=1，2，…，n）的條件下歧視定價，同時決策確定自己的產(chǎn)量，以使各自的收益最大，各個均衡量的計算公式為

定理3兩寡頭廠商市場在線性需求和歧視定價的條件下，新增的子市場數(shù)n越多，廠商的均衡產(chǎn)量越大，均衡收益也越大；同時，市場的均衡總產(chǎn)量越大，均衡總收益也越大。廠商按需求的價格彈性由小到大的順序依次向新增子市場供貨可獲更大的利潤。

3 統(tǒng)一定價

市場總需求量為：

因兩廠商的產(chǎn)量相同，可以認為它們的實力相當。

此時，市場總產(chǎn)量為：

上面的結(jié)果可以歸結(jié)為下面的兩個定理：

定理4兩實力相當寡頭廠商在n個相互隔離的子市場統(tǒng)一定價，以使各自的收益最大化，在各個子市場的需求函數(shù)為線性函數(shù)Pi=ai-biQi（i=1，2，…，n）的條件下，各個最優(yōu)量的計算公式如下：

4 歧視定價和統(tǒng)一定價的比較

通過比較統(tǒng)一定價和歧視定價時的均衡產(chǎn)量，均衡價格和均衡收益，我們可以得到若干重要的結(jié)論，現(xiàn)歸納如下。

定理6在n個子市場的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實力相當寡頭廠商統(tǒng)一定價和歧視定價收益最大化的均衡總產(chǎn)量相同，因而，兩實力相當寡頭市場在統(tǒng)一定價和歧視定價情形的均衡總產(chǎn)量也相同。

定理7在n個子市場的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實力相當寡頭實施或不實施三度價格歧視，其總成本都相同，因而它們歧視定價時利潤增量與成本無關。

定理8在兩個子市場的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩寡頭廠商市場統(tǒng)一定價的均衡價格是歧視定價時n個子市場的均衡價格的加權平均。

證明：統(tǒng)一定價時的最優(yōu)價格故P*是Pid*的加權平均。

定理9在n個子市場的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實力相當寡頭廠商三度價格歧視有效（利潤增加）的充要條件是

不全相等。

定理10在n個子市場的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實力相當寡頭廠商歧視定價與統(tǒng)一定價相比，利潤只會增加，不會減少。

證明：只證廠商1的情況，廠商2的情況完全類似。廠商1歧視定價的均衡利潤與統(tǒng)一定價的均衡利潤之差為：

由上式可知Δπ（1）*=0成立的充要條件是：

當a1，a2，…，an不全相等時，Δπ（1）*＞0。這樣就證明了結(jié)論定理9和定理10。

由定理10顯然可以很容易地推出一個重要的結(jié)論。

定理11在總市場既定且可以細分為線性子市場的情況下，市場分得越細，則廠商獲取的利潤越多。

5 結(jié)束語

本文基于古諾模型（假設兩廠商的成本均為0），用完全信息靜態(tài)博弈的方法分析了兩寡頭在n元市場實施三度價格歧視的方法和規(guī)律。得到了廠商，子市場以及總市場的均衡量的計算公式；價格歧視有效（利潤增加）的條件；統(tǒng)一定價與歧視定價相比，市場均衡產(chǎn)量，均衡價格以及均衡總收益的關系。文①王偉：《三度價格歧視理論及福利效應分析》，電子科技大學碩士學位論文，2005年。-②王偉，陳紹剛：《兩廠商情形下三度價格歧視的有效性研究》，《電子科技大學學報》2007年第2期，第482-484頁。給出的是兩寡頭2元市場的代表性的情形，本文給出的是兩寡頭n元市場的最一般的情形，并且找到了統(tǒng)一定價與歧視定價相比，市場均衡產(chǎn)量，均衡價格以及均衡總收益的關系。我們發(fā)現(xiàn)，這些結(jié)果與唐小我教授在文③唐小我，付崇倫：《價格歧視有效性研究》，《電子科技大學學報》1996年第2期，第200-205頁。-④唐小我：《三度價格歧視的數(shù)量分析》，《管理工程學報》1999年第1期，第37-39頁。中用微積分的方法研究經(jīng)典的完全壟斷市場三度價格歧視得出的結(jié)論是完全一致的。

Nash equilibrium of third-degree p rice d iscrim ination under the cond ition of 2 enterp rises w ith n sub m arkets

GAO Xing-you

Equilibrium output,equilibrium price and equilibrium total revenue in the case of imp lementing third-degree price discrim ination and unified pricing were analyzed under the condition of 2 enterprises with n sub markets by complete information static gamemethod,and the relationship between the three indexes of the two cases were studied.The results showed that,under the condition of linear demand functions of the n sub markets,the equilibrium output of unified pricing was equal to the equilibrium output of discrim inative pricing;the equilibrium price of unified pricing was weighted average of the equilibrium prices of n sub markets while discriminative pricing;the equilibrium total revenue of unified pricing was less than the equilibrium total revenue of discrim inative pricing.

oligopoly market；third-degree price discrimination；complete information static game；Nash equilibrium；Cournotmodel

F224

A

1009-9530（2014）01-0001-05

2013-10-01

高興佑（1975-），男，云南曲靖師范學院教授，主要研究方向為：經(jīng)濟數(shù)學，價格理論，宏觀調(diào)控。