孫 錦，李國林，許 誠

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺 264001）

小子樣條件下導(dǎo)彈靶場試驗綜合評定方法*

孫 錦，李國林，許 誠

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺 264001）

針對導(dǎo)彈靶場試驗中的小子樣問題，分析了自助法和隨機加權(quán)法，并對自助法中再生子樣較為集中的不足進行了改進。通過仿真比較得出，改進后的自助法具有更好的評定特性。

小子樣，靶場試驗，自助法，隨機加權(quán)法

引言

試驗鑒定與定型是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)研制中重要的一環(huán)，利用導(dǎo)彈武器系統(tǒng)在鑒定與定型試驗（包括地面試驗、仿真試驗、飛行試驗）中獲取內(nèi)部參數(shù)和飛行彈道等必要的信息，運用統(tǒng)計分析方法，來評定導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)和性能參數(shù)，據(jù)此來判斷工業(yè)部門產(chǎn)品是否研制成功，是否達到了軍方要求，并被認可，從而可以投入到批量生產(chǎn)［1］。隨著高科技的迅猛發(fā)展，導(dǎo)彈的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能越趨復(fù)雜，如何利用有限的試驗彈數(shù)和試驗條件來考核導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能和作戰(zhàn)效能，是當(dāng)前導(dǎo)彈試驗靶場面臨的一大難題。為了解決上述問題，需開展導(dǎo)彈靶場綜合試驗與評定方法研究。

本文通過分析某型導(dǎo)彈靶場試驗的現(xiàn)場觀測樣本，建立了自助法、改進自助法和隨機加權(quán)法：3種基于現(xiàn)場信息的小子樣綜合評定模型。最后運用仿真手段，分析比較了這3種評定方法，給出一些有益的工程應(yīng)用建議。

1 Bootstrap法模型

1.1 Bootstrap法原理

設(shè)某型導(dǎo)彈靶場試驗現(xiàn)場觀測樣本X={x1，x2，…，xn}來自未知的總體分布，令θ=θ（F）是總體分布F的某個參數(shù)（如均值、方差等），F(xiàn)n是樣本X={x1，x2，…，xn}的經(jīng)驗分布θ=（F）是θ的估計，記估計誤差為：

對于每個，可以計算出的估計值，記為θ（j）（F），即

1.2 再生子樣產(chǎn)生方法

原始樣本的累積經(jīng)驗分布函數(shù)如下所示［5］：

產(chǎn)生服從該經(jīng)驗分布函數(shù)的隨機樣本仿真步驟如下：

Step1：產(chǎn)生隨機數(shù)γ（在［0，1］區(qū)間上服從均勻分布）；

Step4：重復(fù)n次執(zhí)行Step1～Step3，就可以得到n個數(shù)據(jù)，即為所需要的樣本量為n的再生子樣。其中n一般取為現(xiàn)場觀測樣本的樣本量。

2 改進Bootstrap法模型

運用自助法模型所得結(jié)果欠佳的原因是：觀測樣本中的最小值和最大值與實際數(shù)據(jù)的最小值和最大值不一定一致，所以問題的關(guān)鍵是如何找到實際數(shù)據(jù)的最小值和最大值。由于最大值和最小值不可能準(zhǔn)確知道，因此，可以通過專家估計法獲得這兩個極值的近似估計值。

3 Bayes Bootstrap法模型

Step3：計算分布參數(shù)的估計值

如果知道現(xiàn)場觀測子樣的分布類型，則Step3中的公式簡化為：

然后根據(jù)N個μ的估計值計μ（j），作直方圖，從而得到分布密度函數(shù)，也就可計算出參數(shù)的估計值。

4 仿真分析

4.1 仿真設(shè)計

首先設(shè)定仿真參數(shù)以產(chǎn)生一組一定樣本量的隨機數(shù)據(jù)作為樣本，然后依據(jù)前面給出的自助法、改進自助法和隨機加權(quán)法的計算模型，分別對樣本進行分析計算，可以得出3種模型下樣本的參數(shù)估計值。將參數(shù)的估計值與設(shè)定參數(shù)值進行比較，模型較優(yōu)則估計的參數(shù)誤差較小。仿真流程如下頁圖1所示。

圖1 小子樣評估的仿真流程圖

4.2 仿真計算過程

依據(jù)仿真流程，結(jié)合3種評估方法的計算模型，經(jīng)過多次仿真計算發(fā)現(xiàn)，仿真1 000次時平均估計誤差已趨于穩(wěn)定。因此，設(shè)定最大仿真次數(shù)為1 000。下面以一次仿真為例來說明仿真計算過程。

在設(shè)定參數(shù)之后，抽樣產(chǎn)生一組樣本量為10的現(xiàn)場觀測數(shù)據(jù)：45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.599，38.684，39.964。下面分別采用3種評估方法對此樣本數(shù)據(jù)進行計算。

4.2.1 自助法

根據(jù)前面分析，用自助法模型評估首先需要獲得一定數(shù)量的再生子樣。依據(jù)1.2節(jié)中的再生子樣產(chǎn)生步驟，可得到所需的再生子樣。將獲得的所有再生子樣分別代入式（3）和式（4）中，可以得到不同再生子樣，運用自助法計算出的均值估計值。限于篇幅，表1給出其中8個再生子樣，以及對應(yīng)的估計值。

表1 自助法產(chǎn)生的部分（8個）再生子樣

4.2.2 改進自助法

改進自助法與自助法的主要區(qū)別是，加入了新的信息，對觀測樣本進行了修正。因此，只需對原始現(xiàn)場觀測樣本進行修改，其他計算與自助法相同。

根據(jù)第2節(jié)中的比較原則，與現(xiàn)場觀測樣本進行比較，得出改進自助法所需的評估樣本：20.000，45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.59 9，38.684，39.964，80.000。

依據(jù)式（5）抽樣產(chǎn)生10 000個再生子樣，然后分別代入式（3）和式（4）中，計算出不同再生子樣下均值的估計值。表2給出其中8個再生子樣，及其對應(yīng)的估計值。

表2 改進自助法產(chǎn)生的部分（8個）再生子樣

4.2.3 隨機加權(quán)法

隨機加權(quán)法評估的第一步是產(chǎn)生服從Dirichlet分布的隨機向量組。根據(jù)第3節(jié)中的產(chǎn)生方法，通過編程計算就可以產(chǎn)生所需的Dirichlet隨機向量，然后代入式（6）和式（8），得出對應(yīng)隨機向量下的參數(shù)估計值。這里獲得的Dirichlet隨機向量也具有隨機性，為消除隨機性的影響，也取10 000個隨機向量。限于篇幅，下頁表3給出其中8個隨機向量，以及對應(yīng)的估計值。

表3 隨機加權(quán)法產(chǎn)生的部分（8個）再生子樣

綜合以上計算，對觀測樣本{45.813，49.663，71.732，62.443，43.087，61.994，55.396，55.599，38.684，39.96 4}分別采用3種方法的評定結(jié)果如表4所示。

表4 某一樣本的評定結(jié)果

以上只進行了一次抽樣樣本的仿真評估，需循環(huán)執(zhí)行以完成設(shè)定次數(shù)的仿真計算。限于篇幅，表5給出其中8個樣本的評定結(jié)果。

4.3 較小子樣仿真結(jié)果及分析

仿真結(jié)束后，可以得到1 000個現(xiàn)場觀測樣本的評定結(jié)果。為了便于分析，取所有均值估計誤差的平均值和均值方差的平均值。結(jié)果如表6所示。

由表6可知，改進自助法平均誤差最小，這說明改進自助法估計的均值較為準(zhǔn)確。而從計算出的均值方差來看，改進自助法的方差最大，自助法的最小，表明改進自助法估計的均值散布較大，精度相對較低。圖2和圖3分別表示前30次仿真得到的均值誤差和均值方差的分布圖。

表5 多個樣本的評定結(jié)果

表6 樣本量為10個時的仿真結(jié)果

圖2和圖3可以看出，改進自助法的均值誤差最小而方差最大，證明該方法具有較好的穩(wěn)定性；隨機加權(quán)法的均值誤差和均值方差基本介于自助法與改進自助法之間。

圖2 樣本量為10個時的前30次仿真結(jié)果（均值誤差）

圖3 樣本量為10個時的前30次仿真結(jié)果（均值方差）

通過以上分析可知：在某型導(dǎo)彈靶場試驗小子樣數(shù)據(jù)分析評定中，若已知樣本參數(shù)的最小值和最大值，則優(yōu)先選用改進自助法，其次選用隨機加權(quán)法。

4.4 較大子樣仿真結(jié)果及分析

為了驗證3種評定方法在較大子樣情況下的評定結(jié)果如何，本文又對樣本量為20和30兩種情況進行仿真，結(jié)果見表7所示。

表7 較大子樣情況下的仿真結(jié)果

從表7中可以看出，樣本量較大時的兩種情況，均值的估計誤差都很小，而且誤差接近，均值方差也相差很小。改進自助法仍有一點優(yōu)勢，但3種方法的評估結(jié)果相差很小，都具有較高的準(zhǔn)確性和評估精度。

圖4、圖5分別為樣本量為20時，前30次仿真所得到的均值誤差和均值方差的分布圖。圖6、圖7分別為樣本量為30時，前30次仿真所得到的均值誤差和均值方差的分布圖。從圖中也可以分析得出，每次仿真所得的均值誤差和均值方差都趨于一致，并且3種方法評定結(jié)果的差異隨著樣本量的增加而減小。

圖4 樣本量為20個時的前30次仿真結(jié)果（均值誤差）

圖5 樣本量為20個時的前30次仿真結(jié)果（均值方差）

圖6 樣本量為30個時的前30次仿真結(jié)果（均值誤差）

圖7 樣本量為30個時的前30次仿真結(jié)果（均值方差）

綜合以上計算分析，在某型導(dǎo)彈靶場試驗小子樣數(shù)據(jù)綜合評定中，改進自助法具有更高的準(zhǔn)確性，但是均值的散布相對較大。也正因如此，其評定結(jié)果更能反映試驗數(shù)據(jù)的實際情況，而自助法和隨機加權(quán)法的評定結(jié)果相對過于樂觀。隨著樣本量的增加，3種方法的評估結(jié)果都很接近，而且都具有較高的準(zhǔn)確性和精度。

5 結(jié)束語

本文通過分析某型導(dǎo)彈靶場試驗的現(xiàn)場觀測樣本，建立了自助法、改進自助法和隨機加權(quán)法3種基于現(xiàn)場信息的小子樣評定模型。最后運用仿真手段，分析比較了這3種評估方法。從仿真分析中得出，改進自助法具有更高的準(zhǔn)確性，但是如果不能收集到改進自助法所需的信息時，隨機加權(quán)法也能得出較好的評估結(jié)果。然而，隨著數(shù)據(jù)樣本量的逐漸增大，3種方法的評估結(jié)果越來越接近。

總之，在小子樣條件下某型導(dǎo)彈靶場試驗數(shù)據(jù)綜合評定的工程應(yīng)用中，要選擇符合實際情況的評定方法。若可以準(zhǔn)確估計出觀測樣本中的最小值和最大值，則采用本文提出的改進自助法模型，否則采用隨機加權(quán)法模型。

［1］蔡 洪，張士峰，張金槐.Bayes試驗分析與評估［M］.長沙：國防科技大學(xué)出版社，2004.

［2］Efro B，Tibshirani R J.An Introduction to the Bootstrap［M］. London：Chapman and Hall，1993.

［3］張金槐.多種驗前信息源情況下的融合驗后分布［J］.飛行器測控技術(shù)，1998，17（3）：28-35.

［4］張湘平，張金槐，謝紅衛(wèi)，等.基于隨機加權(quán)法的BAYES精度評定［J］.國防科技大學(xué)學(xué)報，2001，23（3）：98-102.

［5］肖 剛，李天柁.系統(tǒng)可靠性分析中的蒙特卡羅方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

［6］劉 建，吳 翊，譚 璐.對Bootstrap方法的自助抽樣的改進［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2006，26（1）：69-72.

［7］黃 瑋，馮蘊雯，呂震宙.基于Bootstrap方法的小子樣試驗評估方法研究［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2006，25（1）：31-35.

［8］唐雪梅，張金槐，邵風(fēng)昌，等.武器裝備小子樣試驗分析與評估［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2001.

Research on Method of Missile Synthetical Assessment in Range Trial in the Case of Small Sample

SUN Jin，LI Guo-lin，XU Cheng
（Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China）

Bootstrap and Bayesian Bootstrap are given to solve the missile in range trial problem in the small sample circumstance，and improved Bootstrap is put forward because the regenerate samples in Bootstrap is too concentrated.By simulation，it's found that the improved Bootstrap suits small sample maintainability assessment better.

small sample，range trial，bootstrap method，bayesian bootstrap method

TJ76

A

1002-0640（2014）09-0179-05

2013-06-05

2013-09-01

國家部委重點基金資助項目（2010214019）

孫 錦（1985- ），男，河南商丘人，博士研究生。研究方向：武器系統(tǒng)與運用工程。