張丹丹

(安徽廣播電視大學(xué)安慶分校，安徽安慶 246001)

0 引言

隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展，需要對(duì)曲線的形狀進(jìn)行調(diào)控或改變曲線的位置，人們開(kāi)始研究推廣Bézier曲線.文獻(xiàn)[1～2]提出了含形狀參數(shù)λ的二次、三次Bézier曲線的擴(kuò)展，利用這一形狀參數(shù)對(duì)曲線形狀進(jìn)行調(diào)整.為了更加靈活地對(duì)曲線的形狀進(jìn)行調(diào)控，文獻(xiàn)[3]提出了帶二個(gè)形狀參數(shù)的二次Bézier的擴(kuò)展，所生成的曲線可以靈活的進(jìn)行調(diào)控.文獻(xiàn)[4]提出了帶多個(gè)形狀參數(shù)的二次Bézier曲線的擴(kuò)展，能夠更靈活地局部或整體調(diào)控曲線的形狀.文獻(xiàn)[5]提出了兩組分別含2個(gè)和3個(gè)形狀控制參數(shù)的三次Bézier曲線的擴(kuò)展，對(duì)于給定的控制多邊形頂點(diǎn)，對(duì)形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)整可靈活地調(diào)整曲線的形狀.文獻(xiàn)[6～7]提出了帶多個(gè)形狀參數(shù)的四次Bézier曲線的擴(kuò)展，得到的曲線具有四次Bézier曲線類(lèi)似的性質(zhì)，曲線的靈活性比較強(qiáng).文獻(xiàn)[8]給出了帶一個(gè)形狀參數(shù)的五次 Bézier曲線的一種新擴(kuò)展.

本文針對(duì)五次Bézier曲線進(jìn)行擴(kuò)展，給出了兩組帶有形狀控制參數(shù)的五次擴(kuò)展Bézier曲線，能夠更加靈活地調(diào)控曲線的形狀.兩類(lèi)曲線具有五次Bézier曲線類(lèi)似的性質(zhì):端點(diǎn)性、凸包性、對(duì)稱(chēng)性等等.最后，通過(guò)實(shí)例證明該曲線在曲線設(shè)計(jì)中具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

1 五次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展

為帶形狀參數(shù)α，β的五次多項(xiàng)式基函數(shù).當(dāng)α= β =1 時(shí)，bi，5(t)(i=0，1，2，3，4，5)退化為五次Bernstein基函數(shù).

定義2 對(duì)任意 t∈[0，1]，α，γ ∈[－ 5，1]，α + β∈[－10，5]，β + γ ∈[－10，5]稱(chēng)關(guān)于t的多項(xiàng)式

為帶形狀參數(shù)α，β，γ的六次多項(xiàng)式基函數(shù).當(dāng)α = β = γ =0 時(shí)，bi，5(t)(i=0，1，2，3，4，5)退化為五次Bernstein基函數(shù).當(dāng)α=γ=λ，β=－2λ時(shí)，bi，5(t)(i=0，1，2，3，4，5)退化為文獻(xiàn)[8]的第四類(lèi)基函數(shù).

不難證明，上述基函數(shù)有以下性質(zhì):

性質(zhì)3 對(duì)稱(chēng)性.當(dāng) α =γ時(shí)，b0.5(1－t)=b5，5(t)，b1，5(1－ t)=b4，5(t)，b2，5(1－ t)=b3，5(t);b0，6(1－ t)=b5，6(t)，b1，6(1－ t)=b4，6(t)，b2，6(1－ t)=b3，6(t).

性質(zhì)4 端點(diǎn)性質(zhì).b0，k(0)=1，bi，k(0)=0(i=1，2，3，4，5)，bi，k(1)=0， (i=1，2，3，4)，b5，k(1)=1(k=5，6).

圖1 兩組基函數(shù)圖形

2 五次Bézier曲線的定義及性質(zhì)

定義3 對(duì)于給定6個(gè)控制定點(diǎn)Pi∈Rn(n=2，3;i=0，1，2，3，4，5)，t(0，1)定義曲線

稱(chēng)式(3)為帶形狀參數(shù)α，γ的第一類(lèi)五次Bézier曲線.其中bi，5(t)(i=0，1，2，3，4，5)為定義1中的多項(xiàng)式的基函數(shù).當(dāng)α=γ=1時(shí)退化為五次 Bézier曲線.

定義4 對(duì)于給定6個(gè)控制定點(diǎn)Pi∈Rn(n=2，3;i=0，1，2，3，4，5)，t(0，1)定義曲線

稱(chēng)式(4)為帶形狀參數(shù)α，β，γ的第二類(lèi)五次Bézier曲線.其中bi，6(t)(i=0，1，2，3，4，5)為定義2中的多項(xiàng)式的基函數(shù).當(dāng)α=γ=0時(shí)退化為五次 Bézier曲線.

上述兩類(lèi)曲線具有下列性質(zhì):

(1)端點(diǎn)性質(zhì)

(2)切矢量

(3)對(duì)稱(chēng)性當(dāng)α=γ時(shí)，曲線p(t)，q(t)具有對(duì)稱(chēng)性.

(4)凸包性

(5)幾何不變性和仿射不變性

圖2(a)從內(nèi)到外依次為α=1，γ=－1，－0.5，0，0.5，1 時(shí)的第一類(lèi)五次Bézier曲線;圖2(b)從內(nèi)到外依次為γ =1，α =－1，－0.5，0，0.5，1時(shí)的第一類(lèi)五次Bézier曲線;圖2(c)從內(nèi)到外依次為α=－1，β =－1，γ =－1，－2，－3，－4，－5時(shí)的第二類(lèi)五次Bézier曲線;圖2(d)從內(nèi)到外依次為β=－1，γ =1，α =－1，－2，－3，－4，－5時(shí)的第二類(lèi)五次Bézier曲線.

圖2 不同參數(shù)值的兩類(lèi)曲線

3 曲線的拼接

就第二類(lèi)擴(kuò)展曲線q(t)來(lái)看，q1(t)，q2(t)為兩條第二類(lèi)擴(kuò)展的Bézier曲線，其中p1(t)的控制頂點(diǎn)為 P0，P1，P2，P3，P4，P5;形狀參數(shù)為 α1，β1，γ1;p2(t)的控制頂點(diǎn)為 Q0，Q1，Q2，Q3，Q4，Q5形狀參數(shù)為 α2，β2，γ2.若q1(t)與q2(t)之間滿(mǎn)足G1連續(xù)，則q1(t)的末端與q2(t)的首端位置連續(xù)即 P5=Q0，且 P4，P5(Q0)，Q1三點(diǎn)共線，

圖3 花瓣圖形

說(shuō)明q1(t)，q2(t)在拼接處達(dá)到G1連續(xù).當(dāng)α2=λ(5+ γ1)－5時(shí)，有q1′(1)=q2′(0)那么q1(t)與q2(t)在拼接處C1連續(xù).

4 應(yīng)用實(shí)例

圖3(a)是第一類(lèi)曲線當(dāng)γ =1，α =－1，0.5，0，0.5，1時(shí)生成的花瓣圖形;圖3(b)是第二類(lèi)開(kāi)曲線當(dāng) α =－1，γ =－1，β =－9，－6，－3，0，3時(shí)生成的花瓣圖形;圖3(c)是第一類(lèi)閉曲線當(dāng)α=1，γ =－ 1，－ 0.5，0，0.5，1 時(shí)生成的花瓣圖形;圖3(d)是第二類(lèi)閉曲線當(dāng)α=－1，β=－1，γ=－1，－2，－3，－4，－5時(shí)生成的花瓣圖形.

[1]韓旭里，劉圣軍.二次Bézier曲線的擴(kuò)展[J].中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，34(2):214－217.

[2]吳曉勤，韓旭里.三次Bézier曲線的擴(kuò)展[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2005，26(6):98－102.

[3]嚴(yán)蘭蘭，梁烔豐.形狀可調(diào)二次Bézier曲線[J].東華理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，31(1):93－97.

[4]張貴倉(cāng)，師利紅.帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，46(4):24－27.

[5]秦新強(qiáng)，胡鋼，張素霞.三次Bézier曲線的新擴(kuò)展及其應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44(2):112－115.

[6]朱秀梅，郭清偉，朱功勤.含多參數(shù)的四次Bézier曲線的擴(kuò)展[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，31(4):671－674.

[7]張念娟，秦新強(qiáng)，胡鋼，黨發(fā)寧.帶多個(gè)形狀參數(shù)的四次Bézier曲線的新擴(kuò)展[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，31(20):156－160.

[8]姜岳道，植物.Bézier曲線的擴(kuò)展種類(lèi)[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26(4):378－381.