柳國環(huán)，練繼建，趙 悅

非經典阻尼的位移輸入模型和多點反應譜注記

柳國環(huán)1，2，練繼建1，2，趙 悅1，2

（1.天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，300072天津；2.天津大學建筑工程學院，300072天津）

為注記和揭示底部單元為非經典阻尼下位移輸入模型與多點反應譜的準確性與穩(wěn)定性，本文涉及理論推導與計算分析兩個層面.討論了在時域模型中底部單元分別為經典與非經典阻尼的區(qū)別，在時域模型的基礎上推導給出底部單元為非經典阻尼時多點反應譜公式，并通過算例驗證.分析結果表明：底部單元為非經典阻尼時，位移輸入模型不會出現底部單元剛度有關的阻尼項；理論上證明了在底部單元為非經典阻尼下位移輸入模型和多點反應譜不存在結果不收斂問題；驗證了底部單元為非經典阻尼下，采用位移輸入模型計算結果的準確性和穩(wěn)定性.

地震動；時域模型；位移輸入模型；多點反應譜；非經典阻尼

地震反應譜理論由于考慮了結構的動力特性與地震特性之間的動力關系，又保持了原有的靜力理論形式，因而反應譜理論在地震工程中得到廣泛使用［1］.傳統的反應譜理論為一致激勵情況下的反應理論，它的主要優(yōu)點在于形式簡潔、概念清晰、應用方便，對于一般性結構，可取得較高精度結果，已為多個國家規(guī)范所采用［2］.然而，地震地面的運動往往具有不均勻性，在本質上是隨空間變化的，由于波列傳播速度的有限性和相干性的損失，以及局部場地地質的不同，會導致各支承點的地震激勵出現顯著差異［3］.因此地震動的多點輸入模型與一致輸入情形存在差別，這對于大跨結構而言更為明顯.當前，地震動多點輸入下的結構反應分析已成為抗震工程界的研究熱點之一.其中，根據隨機振動理論推導出的MSRS（multiple support response spectrum）理論表達式，計算快、方便使用，常用于工程結構設計中.

近年來，學者們在MSRS法方面做了許多研究.Yamamura等［4］將結構各支承點根據空間分布和場地地質情況分為若干組，假定每組支承點之間為完全相關，而組與組之間為不相關，在此基礎上提出了一種近似的反應譜分析方法，該方法無法考慮行波效應和部分相干效應的影響.王君杰［5］推導出了一般阻尼結構體系在多維多點地震動作用下的結構響應的MSRS法.葉繼紅等［6］提出了基于虛擬激勵原理建立了多點反應譜法，指出結構地震動反應由地面各點輸入位移不一致引起的擬靜力響應、地面加速度作用下引起的動力響應和二者之間的耦合項組成，具有公式形式簡潔、物理意義明確、理論嚴謹的特點.本文作者也進行了相關研究，文獻［7］全面詳細地分析了位移輸入模型存在底部單元計算結果的不穩(wěn)定和不可靠，并提出了理論嚴格的附加無質量剛性元（AMCE）實效對策.文獻［8］指出模型底部單元的耦合剛度其大小為底部單元剛度，直接決定于物理模型所對應的數值模型單元劃分，這會導致計算結果不收斂.文獻［8-9］處理問題方法的巧妙性在于沒有引入地面運動的速度項，仍采用位移輸入模型本身解決位移輸入模型中存在不可忽視的問題.

本文對位移輸入模型進行較為詳細地分析與比較，明確指出在時域模型中采用底部單元為經典與非經典阻尼的差別；進而推導得出了底部單元為非經典阻尼在時域模型中表達式與多點反應譜中結構反應表達式，證明了底部單元為非經典阻尼時位移輸入模型與多點反應譜不存在不收斂問題；最后，對底部單元為非經典阻尼的位移輸入模型，結合算例進行了驗證與說明.

1 理論簡要回顧

在絕對坐標系下，一離散單元的結構體系與地面連接，將其自由度分為兩類:n個非支座節(jié)點自由度與m個支座節(jié)點自由度．地震地面運動作用下，該體系的動力平衡方程可表達為

式中:M、C和K表示質量、阻尼和剛度矩陣；下標tt、uu和tu（ut）分別表示非支座節(jié)點、支座節(jié)點自由度及兩者之間的耦合，大小分別為n×n、m× m、n×m（m×n）維；X、˙X和¨X為絕對坐標系下非支座節(jié)點的位移、速度和加速度反應列向量；U、˙U和¨U為絕對坐標系下支座節(jié)點的位移、速度和加速度反應列向量，即支座處地面運動向量；P為m維支座節(jié)點反力向量．

將式（1）中上式展開并考慮集中質量，可得到關于X、˙X和¨X的動力平衡方程:

上式即為位移-速度輸入模型.這時，將結構非支座節(jié)點的絕對位移分為兩部分表達:

考慮擬靜力位移Xs=-KttU=RU，R為影響矩陣．若將位移-速度模型式（2）中的阻尼項CtuU˙忽略:或

式（4）即為位移輸入模型，式（5）為位移輸入模型的等價表達式.

2 底部單元為經典與非經典阻尼模型差別的討論與注記

底部單元為經典與非經典阻尼模型對比，如圖1所示.在時域模型中，針對式（5）中的底部單元阻尼項，傳統的方法選擇采用經典阻尼中的Rayleigh阻尼（結構的阻尼矩陣是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合），而本文引入的底部單元為非經典阻尼則是由自身性質所決定的.

圖1 經典阻尼與非經典阻尼對比

若考慮經典阻尼（以Rayleigh阻尼為例），C=αM+βK．

式中:m為集中質量，k為剛度系數，c為阻尼系數，α和β分別為Rayleigh阻尼的質量阻尼系數和剛度阻尼系數.

則式（5）可改寫為

在經典阻尼下，基于位移輸入模型導出的MSRS，存在不容忽視的問題，即底部單元內力隨單元逐步細分出現不收斂不合理的現象，這是因為時域內位移輸入模型本身右端存在βKtu˙U項所致．這點已在文獻［8］中被充分證實與說明:模型底部單元的耦合剛度Ktu其大小為底部單元剛度，直接決定于物理模型所對應的數值模型單元劃分，如隨著底部單元數值模型單元劃分得越密，會導致計算結果不收斂，表現為底部單元內力出現不合理的放大，與物理實際不相符．

若考慮底部單元為非經典阻尼，結構的阻尼矩陣C不能由質量矩陣M與剛度矩陣K線性表示．

則式（5）可改寫為

對比式（8）和（10），可發(fā)現由于底部單元為非經典阻尼，式（10）等式右端不會出現βKtu˙U項，也就不存在剛度Ktu的影響，從而不會出現如經典阻尼所導致式（8）對應模型出現的上述不收斂等問題，符合實際物理模型，并具有嚴格的理論意義．

3 底部單元為非經典阻尼位移時域模型的結構反應表達式

本節(jié)基于文獻［10-11］的思路，從位移輸入模型推導底部單元為非經典阻尼時，結構時域反應計算公式.為得到多點反應譜表達式，需要對式（5）振

式中:ξi和ωi分別為第i階振型的阻尼比和圓頻時的Ctt為非經典阻尼；與之相對，若Ctt為經典阻尼（即Rayleigh阻尼），等式右端會出現項，就會出現2節(jié)中所討論的問題．當在底部單元為非經典阻尼時，ξi包含了兩部分:上部經典阻尼部分的ξi1與底部單元非經典阻尼部分的ξi2，即ξi1+ξi2．令

式中rk表示R的第k列向量．

將式（12）和（13）代入式（11）中，可得:

令

考慮阻尼比為ξi，圓頻率為ωi的單位質量單自由度體系，分別受¨uk（t）和˙uk（t）激勵，其運動方程可分別表示為:

根據有限元知識，結構反應（例如:內力、應力和應變），可表示如下:

式中系數ak、bk和ck可表示為

式中H表示反應轉換向量，例如:剛度矩陣、應力矩陣和應變矩陣．為了指出系數ak、bki和cki在底部單元為經典與非經典阻尼的表達式的不同，表1給出了二者的對比．可以看出，系數ak、bki的表達式一樣，cki的表達式不同，體現了二者的差異．

表1 系數在底部單元為經典與非經典阻尼表達式對比

4 底部單元為非經典阻尼時域模型對應的多點反應譜

4.1 底部單元為非經典阻尼位移輸入模型對應的多點反應譜的表達式

基于3節(jié)中導出的式（22），本節(jié)根據隨機振動理論，有下式成立:

對式（23）兩邊在ω∈（-∞，+∞）上進行積分，可得到結構反應方差的表達式:

式中

式中Sukuk（ω）、S˙uk˙uk（ω）和S¨uk¨uk（ω）分別表示結構第k個支撐位置的地面運動的位移、速度和加速度功率譜密度函數．

表2 系數在底部單元為經典與非經典阻尼多點反應譜表達式中的對比

4.2 底部單元為非經典阻尼時位移與加速度輸入多點反應譜差別的討論

文獻［10］已詳細論述了對于經典阻尼結構體系下，位移輸入模型的多點反應譜（D-MSRS）與加速度輸入模型的多點反應譜（A-MSRS）區(qū)別.本節(jié)將在此基礎上，討論二者在底部單元為非經典阻尼結構體系下的差別.

式（23）為底部單元為非經典阻尼導出的DMSRS表達式.其與D-MSRS相比，不難發(fā)現兩點:（1）由于加速度輸入時域模型中，忽略等式右邊的阻尼項，故右端不會出現Ctt項，體現在AMSRS中表現為cki=0，其中cki的具體表達式見表1，即可得A-MSRS多點反應譜表達式為式（24）；（2）由于加速度輸入時域模型中，右端不出現Ctt項，在底部單元為非經典阻尼時，底部非經典阻尼項不會在該時域模型等式右端中出現，體現在A-MSRS中表現為僅體現在傳遞函數Hi．為了清晰起見，表3給出了二者之間的差別.后面的底部單元為非經典阻尼的算例將進一步說明.

表3 兩種多點反應譜表達式的對比

圖2 算例模型示意

5 算例驗證

5.1 算例與相關參數

第3節(jié)基于位移輸入模型，推導給出了時域模型的表達式；第4節(jié)通過推導給出了底部單元為非經典阻尼多點反應譜的表達式（D-MSRS）.為驗證時域位移輸入模型理論分析的合理性，下面給出底部單元為非經典阻尼的算例，并與經典阻尼進行對比分析.

算例模型如圖2所示，其中包括底部單元為經典阻尼模型和非經典阻尼模型.圖2（a）為經典阻尼模型，底部單元為經典阻尼，采用Rayleigh阻尼；圖2（b）為非經典阻尼模型，底部單元為非經典阻尼，采用非經典阻尼單元，阻尼為非經典阻尼單元確定.各個構件（包括單元剛度）、節(jié)點以及相關參數表示，所有參數均在SAP2000（V15.1.1新版本）中完成輸入.方便起見，只考慮水平X向平動有效自由度，結構體系受到El Centro（1940NS）地震波的作用，地震地面加速度計錄（Δt=0.02 s）與積分得到的地面運動位移時程如圖3所示.

根據模型的前兩階圓頻率ω1=3.104 rad／s和ω2=23.732 rad／s，以及振型阻尼比ξ1=ξ2= 0.05，可得Rayleigh阻尼的質量阻尼系數α= 1.745 3和剛度阻尼系數β=5.659×10-4.

圖3 El Centro地震波加速度與位移時程曲線

5.2 底部單元為經典與非經典阻尼的時域位移輸入模型驗證與對比

本節(jié)目的主要有二:（1）通過算例進一步驗證底部單元為非經典阻尼時，時域位移輸入模型的合理性與穩(wěn)定性；（2）通過對比底部單元為經典阻尼與非經典阻尼的時域位移輸入模型，證明上述理論推導的嚴謹性.研究主要分3種底部單元長度（d=0.3，d=0.03，d=0.003，單位:m）情形，考察支座底部單元的剪力時程和標準差.

圖4給出了在經典阻尼與底部單元為非經典阻尼情況下，采用位移輸入模型對文中算例進行時程計算的結果.由圖4（a）可以看出:隨著底部單元的長度d越來越小，經典阻尼計算結果不同且差異較大，底部單元剪力出現不穩(wěn)定不收斂，定性地證明本文2節(jié)所指出的問題.與之相比，圖4（b）說明了底部單元為非經典阻尼計算結果的穩(wěn)定性，底部單元剪力并未出現不收斂，計算結果與理論推導很好吻合.圖5給出了在經典阻尼與底部單元為非經典阻尼情況下，采用一致加速度輸入模型與位移輸入模型對文中算例進行計算結果比較.由圖5（a）可以看出:經典阻尼情況，以一致加速度輸入模型為標準，位移輸入模型與之相差很大，說明其計算結果具有不合理不穩(wěn)定性.與之相比，圖5（b）說明了底部單元為非經典阻尼計算結果的穩(wěn)定性，一致加速度輸入與位移輸入的結果吻合得很好，進一步證明了其理論的合理性.

圖4 不同底部單元長度的底部單元剪力時程

圖5 兩種阻尼類型加速度與位移模型的底部剪力時程對比

表4給出了兩種阻尼的支座剪力的標準差與誤差分析（以一致加速度為標準）.底部單元為經典阻尼的計算結果的誤差分別為125%（d= 0.3），294%（d=0.03）和1 572%（d=0.003），定量地說明了其不可靠性與不穩(wěn)定性，更進一步證明本文2節(jié)所指出的問題．與之相比，底部單元為非經典阻尼的計算結果的誤差分別為0.362%（d=0.3），0.012%（d=0.03）和0.013%（d= 0.003）．這不僅說明本文討論模型的有效性與準確性，也說明了其計算結果的合理性與穩(wěn)定性，具有一定的工程借鑒意義．應該說明，本文之所以引用文獻［7-8］所討論的底部單元阻尼類型為經典阻尼時不可靠結果，目的是對比說明非經典阻尼時不存在相應現象．

此處，底部單元為非經典阻尼位移輸入的時域模型理論分析與數值算例已經清晰且有力地說明了本文所指出的問題.同時，基于位移輸入模型的多點反應譜理論公式已給出并證明，相關算例結果與時域模型類似，由于篇幅有限，不再繁冗陳述.

表4 采用兩種阻尼類型的底部單元剪力的標準差與誤差分析

6 結 論

1）針對底部單元為經典阻尼與非經典阻尼的位移輸入模型區(qū)別進行了分析討論，指出底部單元為非典阻尼時，位移輸入模型不出現底部單元剛度相關的阻尼項，故底部單元剪力不存在不收斂問題，并證明了其理論上的合理性.

2）在時域模型的基礎上，推導給出了底部單元為非經典阻尼的多點反應譜位移輸入模型的表達式（D-MSRS），同時指出底部單元為非經典阻尼的D-MSRS與A-MSRS的異同.

3）最后，通過算例驗證了底部單元為非經典阻尼下采用位移輸入模型計算結果的有效性和穩(wěn)定性，這一點不同于底部單元為經典阻尼的位移輸入模型，具有工程借鑒意義.

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（編輯 趙麗瑩）

Notes on displacement input model and multi-supported response spectrum of non-classical damping

LIU Guohuan1，2，LIAN Jijian1，2，ZHAO Yue1，2
（1.State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，300072 Tianjin，China；2.School of Civil Engineering，Tianjin University，300072 Tianjin，China）

To note and proclaim the accuracy and stability of displacement input model and multiple support response spectrum（MSRS）when non-classical damping in bottom element is adopted，this paper involves in two aspects-theoretical derivation and calculation analysis.The difference of time-domain model between classical and non-classical damping in bottom element is discussed.On the basis of time-domain model，the formula of MSRS is given and deduced，and it is verified by a numerical example.The derivation and analysis show that the stiffness-related damping term in bottom element does not appear in the displacement input model，the displacement input model and MSRS do not have problems of non-convergence，and the accuracy and stability of the displacement input mode is verified.

seismic ground motion；time-domain model；displacement input model；multiple support response spectrum（MSRS）；non-classical damping

P315.9

A

0367-6234（2014）06-0079-07

2014-01-13.

國家創(chuàng)新研究群體科學基金資助項目（51021004）；國家自然科學基金青年基金（51108466）；中國博士后科學基金（2011M500332）.

柳國環(huán)（1980—），男，博士，副教授；

練繼建（1965—），男，博士生導師，長江學者特聘教授.

柳國環(huán)，liu-guohuan＠sina.com.