王懷亮，宋玉普

多軸應力狀態(tài)下混凝土的動態(tài)強度準則

王懷亮1，2，宋玉普3

（1.大連大學建筑工程學院，116622遼寧大連；2.武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室，430072武漢；3.大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，116024遼寧大連）

為了解復雜應力狀態(tài)下混凝土動態(tài)強度變化規(guī)律，提出了一個考慮應變率效應的八面體應力空間的多軸靜動破壞準則.該準則的空間破壞包絡曲面采用二次函數(shù)形式，在偏平面上的破壞包絡線采用Willam-Warnke模型在偏平面上的橢圓曲線，使用特征應力點法對拉壓子午線方程進行修正以考慮偏平面上羅德角對動態(tài)強度的影響.通過對大量混凝土多軸靜動強度試驗成果的分析，表明此強度準則與已有的試驗結(jié)果吻合較好，能很好地反映平面應力或三軸應力狀態(tài)下普通混凝土的靜動強度變化規(guī)律，并且形式簡單，便于實際應用.

混凝土；應變率；羅德角；強度準則；特征應力點

隨著混凝土結(jié)構應用領域的不斷擴展，出現(xiàn)了許多形式多樣、受力情況復雜的大型混凝土結(jié)構，如預應力混凝土壓力容器、混凝土重力壩及拱壩、大型海洋采油平臺、大型地下工程混凝土襯砌以及巨型框架結(jié)構節(jié)點核心區(qū)等.在這些大型混凝土結(jié)構內(nèi)部，混凝土材料大都處在雙向或三向的復雜應力狀態(tài).在地震作用下這些結(jié)構的內(nèi)力更為復雜，還需要考慮應變率效應的影響，這些情況下若依然使用單軸拉、壓、剪強度理論對工程進行設計和驗算，可能會給大型結(jié)構的建設和使用帶來危險.通過對混凝土單軸動態(tài)力學能的研究，發(fā)現(xiàn)混凝土材料具有率敏感性［1-3］，即隨著應變率的增加，混凝土的動力強度增高，非線性程度隨之增加.研究復雜應力狀態(tài)下混凝土的動態(tài)性能更符合工程實際情況，如何反映出在多軸應力組合條件下，混凝土動態(tài)強度的變化規(guī)律是一個亟待解決的課題.

目前針對單軸動態(tài)試驗和動態(tài)強度準則的研究較多，但由于混凝土多軸破壞準則為非線性，如再考慮應變率的影響，將使其更加復雜化，因此迄今為止，混凝土在多軸應力狀態(tài)下的動態(tài)特性研究還比較少［4-7］，且所得的試驗結(jié)果離散性較大，只獲得了一些定性規(guī)律，未見到系統(tǒng)的多軸動態(tài)強度準則研究.本文系統(tǒng)分析了混凝土多軸靜動態(tài)強度變化規(guī)律，建立了一個考慮應變率效應的八面體應力空間的多軸靜動破壞準則.

1 破壞面方程

三向受力狀態(tài)下混凝土強度，可用3個主應力為坐標的空間破壞包絡曲面表示，如圖1所示，根據(jù)文獻［8-9］的總結(jié)，它沿著子午面可以用一個二次方程或一個冪函數(shù)來表示.這里在八面體應力空間采用如下形式的極限強度包絡面方程:

式中:σoct和τoct分別是八面體空間的正應力和剪應力；i=1～3表示沿各坐標軸方向的主應力；A，B，C是待定參數(shù)，可用單軸受拉強度（θ=0°）、單軸受壓強度（θ=60°）以及雙軸等壓強度（θ=0°）等特征應力點來確定．

圖1 混凝土材料在主應力空間的破壞面

極坐標函數(shù)ρ（θ）決定了極限強度包絡面在偏平面上的投影形式，它可以采用Willam-Warnke所建議的橢圓曲線方程［10］來表示:

式中:ρt，ρc分別為拉伸和壓縮子午線的極半徑；上式當ρt／ρc=0.5→1.0時，偏平面包絡線由三角形逐漸過渡為橢圓曲線最終變成圓形，另外Willam和Warnke提出的橢圓曲線能夠滿足偏平面上的破壞包絡線對稱、光滑和外凸的特征要求，這些都恰好是混凝土在偏平面上的破壞包絡線的變化規(guī)律，見圖2.

圖2 偏平面上的極限強度包絡線

拉子午線ρt（θ=0°）上的特征應力點有單軸拉、雙軸等壓等，壓子午線ρc（θ=60°）上的特征應力點有單軸壓、雙軸等拉等，二者與靜水壓力軸僅有一個交點，即三軸等拉點．極限強度破壞面方程（1）有3個待定參數(shù)，即只需要3個特征應力點就可以確定極限強度面的表達式．在靜態(tài)應力條件下，當已知某一點的應力狀態(tài)為（σ1、σ2、σ3）時，可以根據(jù)下面的公式將其轉(zhuǎn)化為八面體應力空間的正應力、剪應力以及羅德角，然后代入式（1）即可判斷是否達到極限狀態(tài)．

將大連理工大學近幾年進行的有關混凝土在多軸應力條件下的強度試驗結(jié)果（包括三向受拉的試驗結(jié)果）［11］繪在拉壓子午面及偏平面上，見圖3、4，發(fā)現(xiàn)該強度準則與靜態(tài)多軸強度試驗值符合較好，適用于平面應力、三向受壓、三向拉壓乃至三向受拉等多種應力狀態(tài)，且計算簡單，便于工程設計和非線性分析應用.

圖3 建議破壞準則與混凝土三軸靜態(tài)試驗數(shù)據(jù)在子午面上的比較

圖4 建議破壞準則與混凝土靜態(tài)三軸試驗數(shù)據(jù)在偏平面上的比較

2 動態(tài)破壞面方程的確定

混凝土結(jié)構在其工作過程中，除承受多軸靜荷載作用外，還承受動荷載作用（如地震作用），且動、靜態(tài)力學性能之間差異顯著，而當前混凝土結(jié)構的抗震安全評價中，僅將混凝土靜態(tài)力學參數(shù)提高一個百分比作為動力學參數(shù)進行結(jié)構抗震安全評價顯然不夠.因此對混凝土開展多軸應力條件下動態(tài)力學特性試驗具有極為重要的意義.為了深入了解混凝土的應變速率敏感性對工程結(jié)構抗震設計的意義，大連理工大學林皋、閆東明團隊以及宋玉普團隊分別通過試驗研究了混凝土在雙向加載以及三向加載條件下的率敏感特性［12-13］.本文基于這些試驗數(shù)據(jù)，確定出普適于混凝土的多軸動態(tài)強度準則的材料參數(shù)值，需要說明的是，本文研究的應變率范圍為10-6／s～1／s，主要考慮了地震作用下的加載速率范圍.在這樣的加載速率范圍內(nèi)，混凝土材料仍是穩(wěn)定材料，其應力空間內(nèi)的破壞面依然具有光滑、外凸的形式，并且其偏平面沿著靜水壓力軸從近似三角形向近似圓形截面過渡.為了建立混凝土的動態(tài)強度準則，進行下面一些約定:

1）混凝土強度關系系數(shù)定義約定

式中:fc、ft、fcc分別是靜態(tài)加載速率下，得到的靜態(tài)單軸抗壓強度、單軸抗拉強度和雙軸等壓強度；分別是在動態(tài)加載速率下，由試驗得出的動態(tài)單軸抗壓強度、單軸抗拉強度、雙軸等壓強度，以上數(shù)據(jù)均可以從試驗中得出．

2）混凝土的動態(tài)強度放大系數(shù)定義約定

4）拉伸和壓縮子午線的極半徑ρt、ρc可以通過William-Warnke提供的拉、壓子午線方程得到，分別取θ=0和θ=π／3，得出下列表達式:

5）根據(jù)以上約定和推導，混凝土在單軸受壓、單軸受拉、雙軸等壓應力狀態(tài)下的強度表達可以匯總到表1，利用表1所列的3種應力狀態(tài)可得出A、B、C的具體表達式（14）～（16）．

表1 破壞面的特征應力點

混凝土靜態(tài)強度關系系數(shù)根據(jù)混凝土材料常規(guī)試驗得出，對于普通混凝土有

φc=1.0，φt=0.125，φcc=1.16．

3 試驗驗證

3.1 試驗概況

試驗主要在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室的大型靜、動三軸電液伺服試驗系統(tǒng)上進行.試件采用的規(guī)格為100 mm×100 mm× 100 mm立方體試件，混凝土強度等級分別為C20和C30兩種.試驗中加載應變率的量級分別為10-5／s（設定為靜態(tài)加載速率）、10-4／s、10-3／s和10-2／s，加載路徑主要有以下幾種:

1）定側(cè)壓下的變速率受壓試驗和定側(cè)壓下的變速率劈拉試驗［7，13］:一個方向加載至預設的側(cè)應力值，并保持恒定；另一方向以設定的不同加載速率施加豎向荷載，直至試件破壞.側(cè)應力加載量級分別為0，0.25fc，0.5fc和0.75fc．

2）雙軸比例加載試驗［12-13］:兩個方向按照預設的比例以設定的不同加載速率施加雙軸荷載，直至試件破壞.選取5種應力比分別為1∶0、1∶0.25、1∶0.5、1∶0.75和1∶1.

3）三軸恒側(cè)壓加載試驗［6，12］:試件兩個側(cè)面（X，Y方向）加載至預設的側(cè)應力值，并保持恒定；Z方向以設定的不同加載速率施加豎向荷載，直至試件破壞.其中C30混凝土側(cè)應力加載量級分別為0、8、16和24 MPa，主加載面上加載速率量級分別為10-5／s（設定為靜態(tài)加載速率）、10-4／s、10-3／s和10-2／s.對于C20混凝土側(cè)應力加載量級分別為0、4、8、12和16 MPa，主加載面上加載速率量級分別為10-5／s（設定為靜態(tài)加載速率）、10-4／s和10-3／s.

4）三軸比例加載試驗［6，12］:3個方向按照預設的比例以設定的不同加載速率施加三軸荷載，直至試件破壞.選取4種應力比分別為1∶0.25∶0.1、1∶0.5∶0.1、1∶0.75∶1和1∶1∶0.1.

強度試驗結(jié)果在子午面上的圖形見圖5.從試驗數(shù)據(jù)可以看出:隨著應變速率的增加，各種應力組合下的混凝土強度均有提高的趨勢，其提高的幅度并不相同.

圖5 八面體應力空間內(nèi)破壞準則與試驗結(jié)果的對比

3.2 確定動態(tài)強度準則的材料參數(shù)

對于中低強度混凝土在單軸壓、單軸拉和雙軸等壓應力狀態(tài)下的動力強度增大系數(shù)，通過文獻［12］試驗數(shù)據(jù)得出:

式中:˙ε表示應變率，變化范圍是10-5／s～10-2／s；˙εs表示標準靜態(tài)應變率，取10-5／s．

3.3 驗證三軸動態(tài)應力狀態(tài)

與大連理工大學課題組混凝土多軸動態(tài)強度試驗數(shù)據(jù)［12-13］進行對比驗證，見圖5.在八面體應力空間中，不同應變率下試驗數(shù)據(jù)點與對應的拉壓子午線吻合較好，在相同的應變率下，比例加載和定側(cè)壓加載兩種加載路徑下的試驗數(shù)據(jù)基本分布在相同的拉壓子午線附近，由此可以認為，在本文的加載速率范圍和加載路徑條件下，八面體靜動強度包絡線與加載方式無關，只與破壞時的應力狀態(tài)相關.從圖5還可以看出，隨著應變速率的增加，混凝土的八面體剪切破壞面逐漸向外推移，但是推移的程度并不均衡:靜水壓力較低時破壞面向外移動明顯，靜水壓力較高時，隨應變速率改變而移動的趨勢不十分明顯；而隨著應變率的減小，考慮應變率效應的動態(tài)強度準則逐漸逼近于靜力強度準則.

3.4 驗證雙軸動態(tài)應力狀態(tài)

三軸應力空間的破壞準則方程也可以表示為平面應力狀態(tài)下的雙軸強度包絡線，見圖6、7.圖中雙軸動態(tài)強度均被單軸靜態(tài)強度正則化.圖6中，在相同的應變率下，雙軸比例加載和定側(cè)壓加載所得的強度數(shù)據(jù)基本在相同的包絡線附近，這里又一次證明了在雙軸應力條件下，極限強度包絡線與加載路徑無關；圖6還表明不同側(cè)壓下的率效應是不相等的，在較低側(cè)壓力水平時強度增強效應更明顯.模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果非常接近；在圖7中，雙軸拉壓強度分別低于單軸抗拉強度和單軸抗壓強度，但隨著應變率的提高，各種應力組合下的動態(tài)拉壓強度均有提高的趨勢，這也符合所觀察到的試驗現(xiàn)象.需要說明的是，圖7中使用的是在不同側(cè)壓力水平下混凝土立方體試件的靜動劈拉強度試驗數(shù)據(jù)，試驗難度比較大，試驗結(jié)果離散性也比較大，致使拉壓區(qū)有效的動態(tài)試驗數(shù)據(jù)比較少，因此該強度準則在拉-壓區(qū)的雙軸強度包絡線變化規(guī)律有待試驗的進一步驗證.

圖6 建議破壞準則與不同應變速率下混凝土雙軸強度試驗數(shù)據(jù)的比較（壓壓區(qū)）

圖7 建議破壞準則與不同應變速率下混凝土雙軸強度試驗數(shù)據(jù)的比較（拉壓區(qū)）

4 結(jié) 語

本文采用Willam-Warnke模型在偏平面上的橢圓曲線，在八面體應力空間建立了考慮應變率效應的統(tǒng)一多軸靜動強度準則，該強度準則符合混凝土破壞曲面的一般特性，滿足曲面連續(xù)、光滑、外凸等要求，能系統(tǒng)、全面地反映不同混凝土材料的多軸靜態(tài)和動態(tài)強度變化規(guī)律，比如，能反映出荷載比例不同時應變速率敏感性不相同的特點.所提出的強度準則，與試驗數(shù)據(jù)吻合度較好，可適用于平面應力或三軸應力狀態(tài)下中低強度的混凝土.并且，強度準則的具體表達式只需通過幾個特征試驗點就能得到，形式簡單，便于實際應用.

當加載速率增大時，還有很多因素會影響混凝土強度的增加，如濕度和溫度等環(huán)境因素對混凝土動態(tài)強度也會產(chǎn)生一定的影響，本文暫時未考慮這些因素.對于不同濕度和溫度下混凝土的動態(tài)強度準則，則需要根據(jù)實際試驗數(shù)據(jù)重新標定參數(shù).

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［11］宋玉普.多種混凝土材料的本構關系和破壞準則［M］.北京:中國水利電力出版社，2002.

［12］閆東明.混凝土動態(tài)力學性能試驗與理論研究［D］.大連:大連理工大學，2006.

［13］宋玉普.混凝土的動力本構關系和破壞準則（上冊）［M］.北京:科學出版社，2012.

（編輯 趙麗瑩）

A dynamic strength criterion of concrete under multiaxial stress state

WANG Huailiang1，2，SONG Yupu3
（1.Civil and Architectural Engineering College，Dalian University，116622 Dalian，Liangning，China；2.State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science，Wuhan University，430072 Wuhan，China；3.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，116024 Dalian，Liaoning，China）

In order to understand the dynamic strength properties of the concrete under complex stress state，a united multiaxial static-dynamic strength criterion is established in the octahedral stress space in which the strain rate effect is considered.The failure surface of the proposed model in three-dimensional（3D）stresses space is represented by a quadratic function.The strength envelope in the deviatoric plane is described by an elliptic curve similar to that of Willam-Warnke model，and the tensile and compressive meridians are calibrated using typical stress points method to consider the effect of the Lode angle on the dynamic strength. By the analysis of multiaxial static and dynamic strength test data of concrete，it is proved that the predicted strength of the failure criterion is in good agreement with the experimental data.Meanwhile，the strength criterion has simple expression form and is convenient for practical application.

concrete；strain rate；Lode angle；strength criterion；typical stress points

TU375

A

0367-6234（2014）04-0093-05

2013-03-18.

國家自然科學基金資助項目（50908026）；武漢大學水

資源與水電工程科學國家重點實驗室開放基金（2012B102）；河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室開放基金（2013491811）.

王懷亮（1979—），男，博士，副教授；

宋玉普（1944—），男，教授，博士生導師.

王懷亮，whuailiang＠163.com.