樊 偉，鄭海鷹

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

帶有預(yù)防性維修的溫貯備可修系統(tǒng)的二元最佳維修-替換策略

樊 偉，鄭海鷹?

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

對有兩個不同型部件和一個修理工的溫貯備可修系統(tǒng)進行研究．假定兩部件的工作故障修理均服從幾何過程，利用預(yù)防性維修和馬爾可夫更新過程獲得了系統(tǒng)平均成本率的精確表達式，并得到使得系統(tǒng)平均成本率最小的方法．

溫貯備系統(tǒng)；最小維修；預(yù)防性維修；幾何過程；平均成本率

在早期研究的維修替換問題中，維修替換模型主要集中于簡單的可修系統(tǒng)，一般是冷貯備可修系統(tǒng)[1-5]．在許多實際應(yīng)用中，通常采用預(yù)防性維修來延長系統(tǒng)壽命、減少系統(tǒng)的平均費用．1994年，張遠林[6]首先對帶有預(yù)防性維修幾何過程模型的一個冷貯備簡單可修系統(tǒng)進行了研究，在他的研究中，假設(shè)每隔一段時間T對系統(tǒng)進行一次預(yù)防性維修，得到了系統(tǒng)長期運行平均費用率的精確表達式，通過分析可得到最佳替換策略N*．基于文獻[6]的研究，張遠林和Lam Yeh在文獻[7]中又考慮了二元替換策略 (T,N) 的最優(yōu)化，其中T是兩次預(yù)防性維修的時長，通過使冷貯備簡單可修系統(tǒng)的平均成本率最小化的方法得到了最佳二元替換策略 (T,N)*．后來，張遠林等人又提出了另一種預(yù)防性維修模型[8-13]，在這種模型中，系統(tǒng)故障是不可修的且會引起巨大損失．基于幾何過程的修復(fù)，是為了使系統(tǒng)操作過程最優(yōu)化而采用的二元替換策略[14]．受以上研究的啟發(fā)，筆者對基于幾何維修過程模型的帶有預(yù)防性維修的溫貯備系統(tǒng)進行研究．在本文所給模型中，部件1是主要部件，有使用和修理的優(yōu)先權(quán)，每隔一段時間T對部件1進行定期的預(yù)防性維修；部件2作為貯備部件，僅在部件1進行預(yù)防性維修或故障維修時使用．由于受到溫度和壓強等的影響，部件2在貯備時會出現(xiàn)故障，出現(xiàn)故障后對其進行最小維修．最小維修是當機器發(fā)生故障時，馬上進行修理，把失效部件更換掉，且想辦法盡快使其恢復(fù)到工作狀態(tài)．最小維修使得部件恢復(fù)成為工作狀態(tài)，因為所更換修復(fù)的零件相對部件中總部件的數(shù)量較少，因此，最小維修基本不改變部件的失效率函數(shù)．假設(shè)部件1的故障修理時間服從幾何修理過程，部件2在貯備期間的失效率函數(shù)為h(t)，每當其失效時都采用最小維修，且維修時間忽略不計．考慮二元策略 (T,N)，其中T是兩次預(yù)防性維修的時間間隔，N是部件1的故障次數(shù)，即當部件1故障的次數(shù)達到N時考慮對其進行替換，從開始到對部件1進行替換是一個更新周期．下面的主要目標是建立一個優(yōu)化模型來得到系統(tǒng)平均成本率的精確表達式并找到兩次預(yù)防性維修的時間間隔T和部件1的故障次數(shù)N，即最佳策略(T,N)*，使得系統(tǒng)的平均成本率最?。罴巡呗?T,N)*可用理論分析或數(shù)值分析的方法得到．

1 模型假設(shè)

對于帶有預(yù)防性維修的基于幾何過程的兩部件溫貯備可修系統(tǒng)給出如下假設(shè)．因為部件1在工作過程中的成本比部件2的成本小，收益比部件2大，所以假設(shè)部件1是主要部件是合理的．

假設(shè)1 開始，兩部件都是新的，部件1處于工作狀態(tài)，部件2處于溫貯備狀態(tài)．

假設(shè)2 每隔時間T對部件1進行一次預(yù)防性維修，預(yù)防性維修后修復(fù)如新．在部件1工作T2時間時對部件2進行最小維修[15]，最小維修的時間可以忽略不計且最小維修不改變部件的失效率函數(shù)．

假設(shè)3 工作中的故障維修服從幾何修理過程，預(yù)防性維修和故障維修是相互獨立的，即{X(n),i=1,2,...}和{Z(n),i=1,2,...}是獨立同分布的隨機變量．

ii

假設(shè)4 當兩部件均故障時系統(tǒng)故障，系統(tǒng)故障會帶來損失，在第n個工作周期中系統(tǒng)造成的損失用Δn表示，Δn,n=1,2,…是獨立同分布的，期望值EΔn=δ．系統(tǒng)還有其它類型的損失，其和系統(tǒng)不工作的時間長度成正比，比率為v．

圖1 系統(tǒng)的可能發(fā)展進程圖

假設(shè)6 兩部件工作時的故障維修均服從幾何修理過程，貯備期間，部件2的失效率函數(shù)是h(t)．

假設(shè)7 由于部件1有使用的優(yōu)先權(quán)和修理的優(yōu)先權(quán)，部件2在某些階段中的工作時間為0，修理時間也可能為0．

為了方便，從第n– 1次預(yù)防性維修完成到第n次預(yù)防性維修完成之間的時間間隔稱為第n個階段，從第n– 1次故障修理完成到第n次故障修理完成的時間間隔稱為第n個周期，兩次替換之間的時間間隔稱為系統(tǒng)的一個更新周期．

2 在策略 (T, N) 下平均成本率的計算

下面利用以上模型進行一些理論分析，利用更新回報定理給出在策略 (T,N) 下系統(tǒng)長期運行的平均成本率的精確表達式．

2.1 一些基本的初等計算

2.2 平均工作時間和平均修理時間的計算

U是系統(tǒng)在一個更新周期中總的工作時間，U=U1+U2，其中U1和U2分別為部件1和部件2在一個更新周期中的工作時間．

其中，T是兩次預(yù)防性維修的時間間隔，Zi(n)是第n個工作周期中第i次預(yù)防性維修的時間長度，ξ(n)是第n個工作周期中部件2的工作壽命．

i

V是系統(tǒng)在一個更新周期中總工作故障的修理時間，V=V1+V2，其中V1和V2分別為部件1和部件2在一個更新周期中的修理時間．

其中，Yn是第n個工作周期中部件1的故障修理時間，ηi(n)是第n個工作周期中部件2工作故障的修理時間．

P是系統(tǒng)在一個更新周期中總的預(yù)防性維修時間，P=P1+P2，其中P1和P2為部件1和部件2在一個更新周期中的預(yù)防性維修時間．

其中ξi(n)可能為0．

下面計算一個更新周期中各狀態(tài)的平均時間．由（2）、（4）、（8）、（9）式有：

2.3 在策略 (T, N) 下系統(tǒng)的平均成本率的計算

因為部件1有使用和修理的優(yōu)先權(quán)，所以在系統(tǒng)的整個運行過程中，部件1只有3種狀態(tài)：工作狀態(tài)、預(yù)防性維修狀態(tài)、故障維修狀態(tài)．L表示更新周期的長度，則有：

其中cv1、cv2、v、β1、β2、cu1、cu2分別為單位時間內(nèi)部件1、部件2的維修費用，系統(tǒng)的故障花費費用，部件1、部件2的預(yù)防性維修費用和部件1、部件2的工作收益，α和cf為故障帶來的損失．

（26）式是關(guān)于T和N的函數(shù)式，分別求C(T,N)對T、N的一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，解方程組

可得到T*,N*，即使得系統(tǒng)的平均成本率最小的最佳策略(T,N)*．

3 結(jié) 語

本文對兩不同型部件的溫貯備系統(tǒng)的維修替換策略進行了研究，在假定兩部件的工作故障修理均服從幾何過程的前提下，利用預(yù)防性維修和馬爾可夫更新過程獲得了系統(tǒng)平均成本率的精確表達式，并給出了使得系統(tǒng)平均成本率最小的方法．本文所給的溫貯備系統(tǒng)中，部件1為主要部件，部件2為貯備部件，貯備部件在貯備期間可能會發(fā)生故障，這比假設(shè)貯備部件在貯備期間不會發(fā)生故障的冷貯備更具實際意義，因此，對溫貯備系統(tǒng)的維修替換策略的研究有著更為廣泛的實際應(yīng)用．

[1] Zhang Y L. An optimal geometric processes model for a cold standby repairable system [J]. Reliab Eng Syst Saf, 1999, 63: 107-110.

[2] Zhang Y L, Wang G J, Ji Z C. Replacement problems for a cold standby repairable system [J]. Int J Syst Sci, 2006, 37: 17-25.

[3] Zhang Y L, Wang G J. A bivariate optimal repair-replacement model using geometric process for a cold standby repairable system [J]. Eng Optim, 2006, 38: 609-619.

[4] Wang G J, Zhang Y L. An optimal replacement policy for repairable cold standby system with priority in use [J]. J Syst Sci, 2007, 38: 1021-1027.

[5] Lam Y. A geometric process maintenance model with preventive repair [J]. Eur J Oper Res, 2007, 182: 806-819.

[6] Zhang Y L. A bivariate optimal replacement policy for a repairable system [J]. Appl Prob, 1994, 31: 1123-1127.

[7] Lam Y, Zhang Y L. Analysis of a parallel system with different units [J]. Acta Math Appl Sinica, 1996, 12: 408-417. [8] Zhang Y L. A geometrical process repair model for a repairable system with delayed repair [J]. J Comput Math Appl, 2008, 55: 1629-1643.

[9] Wang G J, Zhang Y L. Optimal periodic preventive repair and replacement policy assuming geometric process repair [J]. IEEE Trans Reliab, 2006, 55: 118-122.

[10] Zhang Y L, Yam R C M, Zuo M J. A bivariate optimal replacement policy for a multistate repairable system [J]. Reliab Eng Syst Saf, 2007, 92: 535-542.

[11] Zhang Y L, Wang G J. A geometric process repair model for a series repairable system with k dissimilar components [J]. Appl Math Model, 2007, 31: 1997-2007.

[12] Wang G J, Zhang Y L. An optimal replacement policy for a two-component series system assuming geometric process repair [J]. Comput Math Appl, 2007, 54: 192-202.

[13] Wang G J, Zhang Y L. A bivariate optimal repair-replacement policy for a warm standby repairable system with preventive repair [J]. Appl Math Comput, 2011, 218: 3158-3165.

[14] 譚林, 陳童, 郭波. 基于幾何過程的單部件可修系統(tǒng)最優(yōu)化維修策略[J]. 系統(tǒng)工程, 2008, (6): 88-92.

[15] 蔣仁言, 左明健. 可靠性模型與應(yīng)用[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 1998: 233-235.

[16] 曹晉華, 程侃. 可靠性數(shù)學引論[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005: 254.

A Bivariate Optimal Repair-replacement Policy for a Warm Standby Repairable System with Preventive Repair

FAN Wei, ZHENG Haiying
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A study is made on a warm standby repairable system consisting of two dissimilar components and one repairman. Assuming that the work-failure repair of Component 1 and Component 2 follows geometric process, using preventive repair and the generalized Markov Process, the study obtains the precise expression of the average cost of the system, and achieves the method of making the smallest the average cost rate of the system as well.

Warm Standby System; Minimal Repair; Preventive Repair; Geometric Process; Average Cost Rate

O151.23

A

1674-3563(2014)02-0008-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2012-11-27

樊偉(1986- )，女，山東郯城人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計．? 通訊作者，wzzhying@163.com