閻昌琪，陳磊，王建軍

(哈爾濱工程大學核安全與仿真技術(shù)國防重點學科實驗室，黑龍江哈爾濱150001)

多目標優(yōu)化問題起源于許多實際復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計、建模和規(guī)劃。幾乎每個重要的現(xiàn)實生活中的決策，都需要進行多目標優(yōu)化[1]。

20世紀80年代中期，進化算法作為求解多目標優(yōu)化問題的新方法受到了廣泛關(guān)注，并逐漸涌現(xiàn)出很多種進化多目標優(yōu)化算法，其中一些已成功應(yīng)用到工程實踐。OSYCZKA和KUNDU基于當前個體與非支配解之間的距離，建立適應(yīng)值分配機制，于1995年提出了距離方法[2]，并于1996年對其進行了適當改進[3]。但是，如何提高該算法的收斂精度、非支配解的連續(xù)性和非支配解的寬展度，一直沒有得到很好的解決。為此，采用復(fù)合形算法中的深度搜索策略[4]和免疫克隆算法中的高頻變異策略[1]對其進行改進，提出一種混合距離算法，試圖提高非支配解質(zhì)量。

蒸汽發(fā)生器是核動力系統(tǒng)中大型設(shè)備之一。在滿足其設(shè)計要求的條件下，優(yōu)化其重量、體積和其他設(shè)計指標，能夠降低其制造、運輸和安裝過程中的成本和難度。但是，以往的蒸汽發(fā)生器優(yōu)化設(shè)計，多針對單個目標，即減小其重量[5-8]。這種方法的主要弊端是在重量達到最優(yōu)時，其他設(shè)計指標可能被惡化。為此，采用混合距離算法開展了蒸汽發(fā)生器多目標優(yōu)化的研究，試圖使優(yōu)化結(jié)果更加合理。

1 多目標優(yōu)化問題

最優(yōu)化是在多種可能的選擇多目標優(yōu)化問題中，搜索對于某些目標的最優(yōu)解。如果存在的目標超過一個，并需要同時考慮，這個問題就是多目標優(yōu)化問題[9]。

為不失一般性，最小化多目標問題可表述為

在有多個目標時，由于可能存在目標之間的無法比較和沖突的現(xiàn)象，不一定存在使得所有目標同時達到最優(yōu)的解。甚至有可能一個解使某個目標達到最優(yōu)，但使其他目標達到最差。因此，在有多個目標時，通常存在一些無法簡單進行相互比較的解，這些解就是非支配解[9]。

假設(shè)有一個q維解空間Z，對于其上一點z＇，當且僅當不存在其他點z，使得對于最小化情況有:

這樣的z'稱為非支配解。

2 混合距離方法

2.1 傳統(tǒng)距離方法

傳統(tǒng)距離方法采用非支配解潛在值的概念，確定個體適應(yīng)值，用以計算交配概率。對于新產(chǎn)生的個體，基于其與所有非支配解之間的最短距離，計算其適應(yīng)值;如果新解為非支配解，則還需對其賦予潛在值。

新產(chǎn)生的個體應(yīng)屬于下列3種類型之一:

1)是一個非支配解，支配一些當前的非支配解;

2)是一個非支配解，但不支配任何當前的非支配解;

3)不是非支配解，至少被一個當前的非支配解支配。

對于第1種情況，新解的潛在值是當前最大潛在值與最短距離之和;另外，采用其更新當前非支配解集。對于第2種情況，新解的潛在值是與其距離最短的非支配解的潛在值加上最短距離;另外，將該解加入當前非支配解集中。對于第3種情況，新解的適應(yīng)值由與它最近的非支配解的潛在值減去最小距離來確定。

2.2 約束處理

對于一般性的優(yōu)化問題，需處理各種各樣的約束函數(shù)。OSYCZKA和KUNDU采用外部罰函數(shù)(式(3))，將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題[9]:

式中:x為優(yōu)化變量，fk(x)為第k個目標函數(shù)下的函數(shù)值，hi(x)為等式約束，gi(x)為不等式約束。當個體滿足不等式約束條件時，Gi=0;當個體不滿足不等式約束條件時，Gi=1。r為正乘子，控制懲罰項幅度。

2.3 算法初始化

在產(chǎn)生初始種群后，選出其中的非支配個體，并賦予相同的潛在值。對于余下的個體，依據(jù)其與最近非支配解的距離，計算其適應(yīng)值。為確保選擇過程的正常操作，當個體的適應(yīng)值小于0時，則將其重置為0。

2.4 復(fù)合形深度搜索策略

遺傳算法具有很強的全局搜索能力，即使在所定義的適應(yīng)性函數(shù)是不連續(xù)、非規(guī)則的或有噪聲的情況下，它也能以很大的概率找到全局最優(yōu)解區(qū)域。但是，在遺傳進化后期，往往會出現(xiàn)群體的平均適應(yīng)度已接近最佳個體適應(yīng)度，使個體的競爭力減弱，最佳個體和其他大多數(shù)個體幾乎有相同的選擇機會，從而使有目標優(yōu)化趨于無目標的隨機漫游過程。

為克服遺傳算法局部搜索能力不強的缺點，本文在傳統(tǒng)距離方法的基礎(chǔ)上引入復(fù)合形算法中的深度搜索策略，當產(chǎn)生的子代個體為滿足約束條件的非支配解時，則沿父代個體指向子代個體的方向可能存在更優(yōu)的解，此時，可進一步尋優(yōu)。

利用2個父代個體和子代個體構(gòu)成初始復(fù)合形，并沿父代指向子代個體方向進行映射、擴張和收縮操作，當尋找到比子代個體更優(yōu)秀且滿足約束條件的新個體時，則用其取代子代個體，并繼續(xù)尋優(yōu)，直至找不到更好的滿足約束條件的新個體。

2.5 免疫高頻變異策略

傳統(tǒng)的距離算法拋棄了遺傳算法固有的變異過程[9]。然而，在多目標優(yōu)化問題中，非支配解往往是連續(xù)的;即使對于不連續(xù)問題，多數(shù)非支配解也往往相鄰。所以，基于當前非支配解信息，以尋求其附近非其他的支配解和比當前非支配解更好的解，是一種高效可行的尋優(yōu)方案。

首先，對第 t代的非支配解 A(t)={a1(t)，a2(t)，…，aN(t)(t)}進行克隆操作，得到克隆群體A＇(t):

對得到的每個克隆個體，進行變異操作，將變異后滿足約束條件的個體和已有的非支配解混合，并挑選出其中的非支配解;最后，對它們賦予相同的潛在值。

在傳統(tǒng)的遺傳算法中，變異算子與代數(shù)是沒有直接關(guān)系的。從而當算法演化到一定代數(shù)以后，由于缺乏局部搜索，很難從后期變異中獲得有效收益。為解決上述問題，Michalewicz[1]將變異算子的結(jié)構(gòu)與演化代數(shù)聯(lián)系起來，隨著演化的推進，變異的范圍越來越小，從而加強局部搜索。其具體操作如下:

設(shè)個體 s=(v1，v2，…，vk，…，vn)中的分量 vk被選中參與變異，其定義域是[ak，bk]，則變異后的個體為

式中:

式中:rand是取0和1的隨機數(shù)，t為當前演化代數(shù)，函數(shù)Δ(t，y)的具體表達式為

式中:r為[0，1]上的隨機數(shù);T為最大代數(shù);λ是決定非一致性程度的參數(shù)，其取值一般為2～5。

圖1給出了混合距離算法具體流程圖。

2.6 算法測試

采用OSYCZKA和KUNDU提出的測試函數(shù)(式(8))[9]對比混合距離算法和原算法的性能。在2種算法中，取懲罰乘子r為1 000，初始潛在值為10。最大遺傳代數(shù)為500，種群規(guī)模為800。圖2對比了2種算法的非支配解群。

由圖2可以看出，對于該測試函數(shù)，混合距離方法無論從非支配解的精度、數(shù)量、寬廣性和均勻性上都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)距離方法。

圖1 混合距離算法流程圖Fig.1 The flow chart of the hybrid distance algorithm

圖2 混合距離算法與傳統(tǒng)距離算法結(jié)果對比Fig.2 The results comparison between the hybrid distance algorithm and the traditional distance algorithm

利用TNK[1]標準測試函數(shù)比較混合距離算法和傳統(tǒng)距離算法的性能。

圖3 TNK測試函數(shù)結(jié)果對比Fig.3 The comparison on TNK testing function results

對于TNK函數(shù)，混合距離算法與傳統(tǒng)距離算法相比，在解的質(zhì)量上，兩者相當;但在解的均勻性和連續(xù)性上，前者較后者優(yōu)。

文獻[1]采用空間度量指標S，來衡量所得到非支配解的“均勻性”，其定義如式(10)。

式中:m 為目標空間的維數(shù)，j=1，2，…，nPF。

如果S=0，則表示所得到的解點呈均勻分布。S越小，解的均勻性越高。

經(jīng)計算，混合距離算法的S=0.75，傳統(tǒng)距離算法的S=0.996 2。由此可知，混合距離算法所得到的非支配解的均勻性高。

由此可見，針對多目標問題，混合距離方法求解精度高，非支配解分布均勻且范圍廣泛。

3 蒸汽發(fā)生器多目標優(yōu)化設(shè)計

在船舶核動力系統(tǒng)中，降低核動力設(shè)備重量有助于提高船舶的機動性及改善船員的生活居住條件;同時，降低冷卻劑流量有助于減小主泵揚程和尺寸。因此，采用上述開發(fā)的混合距離算法，以蒸汽發(fā)生器重量和一次側(cè)流量為目標，進行其優(yōu)化設(shè)計。其中蒸汽發(fā)生器模型詳見文獻[6]。

選定一回路運行壓力P、堆芯冷卻劑進口溫度Tin、堆芯冷卻劑出口溫度Tout、傳熱管外徑d、傳熱管內(nèi)冷卻劑流速v、傳熱管節(jié)徑比s/d這6個參數(shù)為優(yōu)化變量。在滿足蒸汽發(fā)生器和堆芯的設(shè)計約束條件下，通過合理地調(diào)整這些參數(shù)，以達到減小其重量和一次側(cè)冷卻劑流量的目的。

考慮熱力性能、生產(chǎn)和施工等實際因素，表1給出了蒸汽發(fā)生器優(yōu)化設(shè)計中所必須滿足的約束條件[6]。

表1 蒸汽發(fā)生器優(yōu)化的約束條件Table 1 The constraint conditions of the steam generator

圖4給出了蒸汽發(fā)生器非支配解前沿面。從非支配解的分布可以看出:最優(yōu)的蒸汽發(fā)生器重量和一次側(cè)流量組合不是一條連續(xù)的曲線。

圖4 蒸汽發(fā)生器多目標優(yōu)化結(jié)果Fig.4 The multi-objective optimization results of the steam generator

文獻[10]對這種不連續(xù)現(xiàn)象給出了解釋:在以重量和流量為目標的蒸汽發(fā)生器多目標優(yōu)化設(shè)計中，影響非支配解分布的關(guān)鍵參數(shù)是堆芯冷卻劑進口溫度(Tin)和傳熱管內(nèi)冷卻劑流速(v)。在圖4中，沿第1段非支配解重量增加的方向，Tin逐漸減小，冷卻劑平均溫度逐漸降低，這使得傳熱面積逐漸增大;同時，在這個過程中，一次側(cè)流量不斷降低，使得傳熱管根數(shù)減少。因此，需要不斷增加傳熱管的長度來保障所需的傳熱面積。隨著Tin的繼續(xù)降低，其最終會使得傳熱管長度達到約束上限，這時，已不能通過Tin達到降低流量的目的。在第2段和第3段非支配解中，傳熱管內(nèi)冷卻劑流速的降低導致了蒸汽發(fā)生器重量的增加和一次側(cè)流量的降低。由于引起重量降低的原因不同，使得非支配解分布不連續(xù)。

在本文研究中，堆芯功率始終是保持不變的，在維持蒸汽發(fā)生器進出口溫差不變的情況下，通過改變其他一些結(jié)構(gòu)或運行參數(shù)是能改變蒸汽重量的。同時，從圖4也可以認識到:在以蒸汽發(fā)生器重量和一次側(cè)流量為目標的優(yōu)化設(shè)計中，有2部分區(qū)域(蒸汽發(fā)生器重量在 187.5～195.0 t和 197.5～206.0 t)是可以不予考慮的，在這2個區(qū)域內(nèi)，可以在維持幾乎相同的一次側(cè)流量下，而尋找到更優(yōu)的重量。

4 結(jié)論

針對傳統(tǒng)距離方法尋找非支配解精度不高、連續(xù)性不強、范圍不廣的缺點，本文通過引入復(fù)合形算法的深度搜索策略和免疫算法的高頻變異策略，開發(fā)了一種混合距離算法。通過標準測試函數(shù)，以及實際應(yīng)用，表明這種混合距離算法具有優(yōu)良的性能，并得出以下結(jié)論:

1)混合距離算法能很好地處理多變量、多約束多目標問題，復(fù)合形和免疫算法的引入提高了傳統(tǒng)距離算法的尋優(yōu)能力，使得傳統(tǒng)的距離算法尋優(yōu)范圍更廣、連續(xù)性更強。

2)在追求以重量和一次側(cè)流量最小的蒸汽發(fā)生器設(shè)計中，非支配解的前沿面不連續(xù)分布。

3)混合優(yōu)化算法是多目標優(yōu)化算法的一個重要發(fā)展方向，將全局優(yōu)化算法與局部優(yōu)化算法結(jié)合，能準確并精確地尋找到多目標問題的非支配解。

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