李 平，鄺愛華

非傍軸部分相干厄米-余弦-高斯光束傳輸特性

李 平1，鄺愛華2

（1.黃淮學(xué)院信息工程學(xué)院，駐馬店463000；2.鄭州電子信息工程學(xué)校，鄭州450007）

為了研究非傍軸部分相干厄米-余弦-高斯光束傳輸特性，運(yùn)用Wigner分布函數(shù)法，從空間域和頻率域?qū)Ψ前S部分相干厄米-余弦-高斯光束傳輸特性進(jìn)行了理論分析，得出了該光束1階情況下在空間、頻率域系統(tǒng)的解析傳輸公式及光強(qiáng)分布表達(dá)式，分析了這些表達(dá)式中3個主要參量f，fσ和g對厄米-余弦-高斯光束在自由空間傳輸?shù)挠绊?。結(jié)果表明，在調(diào)制參量g不變時，束腰參量f和相干參量fσ對非傍軸部分相干厄米-余弦-高斯光束的非傍軸性起了至關(guān)重要的作用；非傍軸部分相干厄米-余弦-高斯光束在傳輸過程中隨著g的改變，不能保持其光強(qiáng)分布形狀，有前移趨勢。

激光光學(xué)；非傍軸部分相干厄米-余弦-高斯光束光束；Wigner分布函數(shù)；傳輸表達(dá)式

引 言

近年來，隨著科技的發(fā)展，激光器的種類也越來越多。學(xué)者對于不同光束的傳輸特性頗有研究，如平頂高斯光束通過擴(kuò)束系統(tǒng)的傳輸特性研究［1］和高斯光束的光譜傳輸特性分析［2］等。對于半導(dǎo)體多模振蕩引起的激光束，DUAN和Lü［3］提出了非傍軸部分相干的概念，并做了相應(yīng)激光束的研究，作者在此基礎(chǔ)上，利用Wigner分布函數(shù)法對非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯（Hermite-cosine-Gaussian，HCsG）光束在自由空間的傳輸特性進(jìn)行深入研究，并利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值計算與仿真分析。

1 理論推導(dǎo)

假定非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束在空間頻率域z＝0平面時，在x方向上線性極化的交叉譜密度為［4］：

式中，w0，σ0分別是光束的束腰參量和相干長度，H1和H2代表1階厄米多項式，Ω0為與余弦函數(shù)相關(guān)的參量，下標(biāo)i表示在輸入平面上，由Wigner分布函數(shù)傳輸關(guān)系式［5］，在輸入平面（源場z＝0）和輸出平面z時的Wigner分布函數(shù)分別為［6］：

（2）式中，ρ＝ix+jy，表示空間位置矢量；i，j分別表示沿著x，y軸方向的單位矢量；ρ′為空間位置矢量的增量，dρ′＝∫…dx′dy′；q＝iu+jv，表示空間頻率矢量，u，v分別為x，y方向上的空間頻率。（3）式中的k＝為波數(shù)［7］，λ為激光束在自由空間波長，下標(biāo)o表示為輸出Wigner分布函數(shù)。由（2）式及（3）式得到非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束在自由空間中的傳輸表達(dá)式為：

由（5）式可以得到非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束在自由空間中的光強(qiáng)分布為：

式中，s的表達(dá)式如下：

（6）式中，當(dāng)g＝0時，得到的是非傍軸部分相干厄米-高斯光束：

（8）式中的s同（7）式，且該式與參考文獻(xiàn)［9］中的傳輸表達(dá)式（3）式一致。（6）式中，當(dāng)r0≈z時，得到傍軸情況下部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束光強(qiáng)分布：

式中，s1的表達(dá)式如下：

當(dāng)g＝0時，得到傍軸情況下TEM10厄米-高斯光束光強(qiáng)分布：

（11）式中s1與（10）式相同，且該式與參考文獻(xiàn)［10］中的結(jié)論一致。

2 數(shù)值計算與計算機(jī)仿真

（1）當(dāng)g＝1時，在為瑞利長度，其中λ＝1μm）平面上，兩個參量f和fσ對非傍軸性的影響如圖1所示。

圖1中是在z＝z0平面上，當(dāng)參量g＝1固定時，f和fσ從小變大時的歸一化光強(qiáng)分布圖，其中縱坐標(biāo)為歸一化無量綱，I（x，）是在z＝時的光強(qiáng)分布，Ir是該光強(qiáng)的系數(shù)部分；同理，I（x，10z0）是在傳輸距離z＝10z0平面上的光強(qiáng)，Ir是該光強(qiáng)的系數(shù)部分，橫坐標(biāo)一律采用（沒有單位）。從圖1a可以看出，當(dāng)f＝0.01，fσ＝0.01時，傍軸與非傍軸時的歸一化光強(qiáng)曲線是完全重合的，此時非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束的特性可以用傍軸近似來分析；但從圖1b可以看出，當(dāng)f＝0.01，fσ＝0.22時，傍軸與非傍軸光強(qiáng)曲線開始出現(xiàn)偏離，即當(dāng)f＝0.01，fσ＞0.22時，非傍軸與傍軸偏差較大，傍軸近似已不能很好地說明非傍軸光束的特性，傍軸近似無效，非傍軸近似是必須的；圖1c是f＝0.06，fσ＝0.01時，傍軸與非傍軸歸一化光強(qiáng)分布曲線開始出現(xiàn)偏差，當(dāng)f＞0.06時兩光強(qiáng)曲線已相差甚遠(yuǎn)，此時傍軸近似無效，非傍軸近似是必須的。所以，從圖1的3幅圖得出的結(jié)論是，當(dāng)g＝1時，f＞0.06，fσ＞0.22時，非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束必須被采用。

Fig.1 Normalized intensity distributions of partially coherentnonparaxial TEM10HCsG beams propagating at the plane z＝z0for different values of fσand f in free space

Fig.2 Normalized intensity distribution with the change of the modulation parameter of TEM10Hermite-cosine-Gaussian beams propagating in free space

（2）當(dāng)f＝0.06，fσ＝0.01固定不變，隨著傳輸距離的增大，通過改變調(diào)制參量g來分析歸一化光強(qiáng)分布曲線，如圖2所示。

圖2中的縱橫坐標(biāo)的含義同圖1，說明了當(dāng)參量f，fσ不變，g分別為1，2，3條件下，非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束在自由空間傳輸時，從z＝z0到z＝10z0平面上的歸一化光強(qiáng)曲線不能保持其形狀不變，而是隨著調(diào)制參量和傳輸距離的增大，光強(qiáng)分布外移。

3 小 結(jié)

運(yùn)用Wigner分布函數(shù)法，對1階厄米-余弦-高斯光束在自由空間的傳輸特性進(jìn)行了研究，并給出了該光束在自由空間傳輸時的Wigner分布函數(shù)的解析公式，在調(diào)制參量g不變的情況下，通過參量f和fσ的改變，對傍軸和非傍軸的歸一化光強(qiáng)分布進(jìn)行了對比分析，得出f＝0.01（較小時），fσ＜0.22時傍軸近似可以代替非傍軸近似來分析非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束的特性；當(dāng)f＝0.01（較小時）不變，fσ＜0.06時，傍軸近似是有效的；其它情況，傍軸近似無效，非傍軸近似是必須的。

另外，當(dāng)參量f和fσ固定不變時，非傍軸部分相干TEM10厄米-余弦-高斯光束在自由空間傳輸過程中，隨著調(diào)制參量g和傳輸距離的增大，其歸一化光強(qiáng)分布形狀不再固定，且光強(qiáng)分布外移，這與非傍軸厄米-余弦-高斯光束的特性［11］是一樣的，而與非傍軸部分相干厄米-高斯光束的特性［12］是不一樣的，說明該光束在傳輸過程中受束腰參量f和相干參量fσ及調(diào)制參量g的影響很大。

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Propagation characteristics of non-paraxial partially coherent Hermite-cosine-Gaussian beam s

LI Ping1，KUANG Aihua2
（1.College of Information Engineering，Huanghuai University，Zhumadian 463000，China；2.School of Electronics and Information Engineering of Zhengzhou，Zhengzhou 450007，China）

In order to study transmission characteristics of non-paraxial partially coherent Hermitian-cosine-Gaussian beam，the Wigner distribution function was used to analyze the characteristics in spatial and time domain.Their analytical propagation expressions with the three parameters of f，fσ，g were obtained for describing the space domain and frequency domain at the same time.The calculated results show that f and fσplay key roles in determining the non-paraxiality partially coherent Hermite-cosine-Gaussian beams，when g is constant.On the other hand，when g is changing，it can not preserve their shape while propagating in free space.

laser optics；non-paraxial partially coherent Hermite-cosine-Gaussian beam；Wigner distribution function；propagation expression

TN241

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.01.031

1001-3806（2014）01-0141-04

河南省科技攻關(guān)計劃資助項目（13210 2210479）；河南省科技廳重點科技攻關(guān)計劃資助項目（122102210027）

李 平（1976-），女，碩士，講師，主要研究方向為激光傳輸及通信。

E-mail：393423675＠qq.com

2013-03-06；

2013-04-11