程學青

一、給學生提供合適的“切入口”

教學片斷一

師：下列函數(shù)中哪一個函數(shù)不是一次函數(shù)？（展示下圖）

（1）y=-2x+3 ； （2）y=[x2]； （3）y=[2x] ； （4）y=2x-1

生：（3）（4）。

師：談談你的想法。

生：兩個變量的比值不是一個定值。

師：說得好，抓住了一次函數(shù)的本質(zhì)特征。（3）（4）都不是一次函數(shù)，那么這些函數(shù)是什么函數(shù)呢？

初始問題是數(shù)學概念教學的起點。一個好的初始問題，能為學生的思維活動提供了一個好的切入口，確定了一個好的方向，為學生的活動找到了一個載體，也為數(shù)學課找到了一個好的結構，同時也能激發(fā)學生的探究欲望。在片斷一中，學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)的概念，并且知道一次函數(shù)的一般形式，通過反復比較、辨認、排出等活動可以確定（3）（4）非一次函數(shù)，初步體驗非一次函數(shù)的存在，為形成反比例函數(shù)埋下伏筆，（2）式與（3）式的結構是非常相似的，僅僅只是自變量的位置不同，這一變化，函數(shù)的特性發(fā)生了變化，將生成一種新的函數(shù)，從而會促進學生對比新函數(shù)的探究意識，也讓學生掌握了學習的主動權。

二、在體驗過程中自然形成

教學片斷二

師：我們學校距縣城大約8千米，想一想，我們有哪些方式到縣城？

生1：乘汽車。

生2：騎自行車。

生3：坐小車。

生4：步行也可以。

師：很好。請大家完成表格的填寫。

活動1：從官莊到宜城有8千米，可以步行、騎自行車，坐公汽和小轎車，具體速度（千米/時）見下表：

[＼&步 行＼&騎自行車＼&乘公汽＼&坐小轎車＼&V千米/時＼&4＼&15＼&30＼&60＼&T小時＼&＼&＼&＼&＼&]

（學生填寫表格。）

師：時間是速度的函數(shù)嗎？

生1：是的，因為速度在變化，時間也在變化。

生2：不全面，對于每一個V的取值，有唯一確定的t值與之對應。

師：有道理，這兩個變量之間的獨特關系是什么？

生4：隨著V的增大，t在逐步減少。

師：是，還有別的嗎？

生5：兩個變量之積是8。

師：很好，（板書：Vt=8）

師：想一想：V與t之間的關系還可以怎樣表示？

生6：V=[8t]或t=8/V

活動2：你能設計一個面積為20平方厘米的矩形嗎？

[長x＼&2＼&4＼&1＼&5＼&10＼&寬y＼&10＼&5＼&20＼&4＼&2＼&]

師：這樣的矩形我們能設計多少個？

生：（齊）無數(shù)個。

師：矩形的寬是長的函數(shù)嗎？為什么？

生1：對于x的每一個確定值，y有唯一確定的值與之對應。

師：在這兩個問題中，y與x的關系相同嗎？

生2：不相同，上例中兩個變量之積等于8，本題中兩個變量之積等于20。

生3：8和20都是常量，所以兩個變量之間的關系是相同的。

師：生3的思考非常有理，事實上，上述兩個問題的背景雖然不同，但兩個變量之間的關系是相同的，即兩個變量之積是常量（數(shù)）。我們把其中一個變量稱為另一個變量的反比例函數(shù)。[板書：[y=kx]（[k≠0]）]

數(shù)學教學中，教師要注重讓學生體驗概念的形成過程，即概念在什么條件下蘊藏著，在什么背景下初露端倪，如何經(jīng)過分析、對比、歸納、抽象，最后形成理性的概念。所以，教師應針對不同的教學內(nèi)容，巧妙地設計概念的形成過程，引導學生自然地完成數(shù)學概念的構建。

借助典型具體的生活事例完成概念的構建。反比例函數(shù)概念比較抽象，學習不容易理解。因此，教師要遵循學生的心理規(guī)律，聯(lián)系實際生活，提高學生學習熱情。片斷二的兩個情境是學生非常熟悉的且這兩個情境中都蘊含有反比例函數(shù)關系的因素，因而多數(shù)學生都能參與到數(shù)學學習中，從兩個背景不同生活問題中探討兩個變量之積是常量這一相同的特殊關系，經(jīng)過分析、對比、歸納，初步完成反比例函數(shù)建構，進而形成反比例函數(shù)概念。

片斷二讓筆者感悟到除了借助典型具體的生活事例完成概念的構建外，還有其他方式也能完成概念的構建。

以動手操作為載體完成概念的構建。在數(shù)學教學中，過于強調(diào)結論，只能促使學生單純的模仿和記憶知識，但如果設計一個操作性很強的動手活動，并引導學生積極參與其中，使探究不是停止簡單的操作層面，這樣不僅能培養(yǎng)學生尊重客觀事物的態(tài)度、科學探索知識的能力以及勇于創(chuàng)新的精神，而且還能達到數(shù)學概念呼之欲出的效果。例如，我們在教學矩形概念時，讓學生拿出平行四邊形框架，利用平行四邊形的不穩(wěn)定性拉動框架的一端，展示某一個角由銳角到鈍角的變化過程，并思考“有沒有一個特殊的平行四邊形”“你能舉出生活中類似長方形的物體嗎”“在平行四邊形的基礎上增加一個什么條件就成為了一個矩形”之類的問題。這一案例讓學生先從動手操作中感知特殊的平行四邊形的存在，同時類比生活中的矩形狀物體的實例，從而讓學生自然把握住概念的核心，進一步完成矩形概念的構建。

以失敗、錯誤為教學資源完成概念構建。數(shù)學具有精確性和嚴密性的特點，因此教師要有意識地培養(yǎng)學生言必有據(jù)、一絲不茍、堅持真理、修正錯誤的科學態(tài)度。然而，學習中發(fā)生各種各樣的失誤、錯誤總是難免的，也是正常的。教師要改變以往對待失敗、錯誤像對待“敵人”一樣的態(tài)度，應把學生犯錯的過程看成嘗試和創(chuàng)新的過程，要把失敗、錯誤視為一種生成性的資源，以新的觀念、新的眼光，站在新的視角對其價值進行重新定位，因“題”制宜地處理好來自學生的錯誤，會得到意想不到的效果。例如，在《圓》的概念教學中，教師原本設計問題組：“生活中有哪些物體給我們以圓的形象？”“你能不借任何工具畫一個圓嗎？”“借助圓規(guī)是否一定能畫一個圓？”“嘗試：用圓規(guī)畫一個圓?！薄敖柚毨K畫圓?！薄跋胍幌脒@兩種方法畫圓滿足的相同的關系是什么？”而在實際畫圓的操作過程中，由于黑板的光滑，學生在畫圓時導致圓規(guī)固定的一端滑動，從而使畫圓失敗。教師機靈一動，拋開了原來的教學設計，順勢提出“圓規(guī)也不能畫圓，這是為什么？”接著教師又非常隱蔽地改變圓的半徑，又畫失敗了。在操作失敗后，師生一起分析了失敗的原因，形象而又生動地把圓的概念核心——定點、定長這兩個條件挖掘出來了，水到渠成地完成了概念的構建。endprint

三、在運用掌握中實現(xiàn)系統(tǒng)化

練習：下列函數(shù)表達式中，x表示自變量，那么哪些是反比例函數(shù)？[k]的值為多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

議一議：小明是一個愛動腦筋的學生，一次住院打點滴時，發(fā)現(xiàn)瓶中剩余藥量隨著時間推移而越來越少，因此，他認為瓶中剩下的藥液量是時間的反比例函數(shù)，你認為他的想法對嗎？

生：（齊）對。

師：為什么？

生1：一個變量增加，另一個變量減少，這不就是反比例嗎？

師：真的嗎？下面我們一起來驗證。

（假設藥瓶中有藥液500毫升，每分鐘滴25毫升。）

[時間t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩藥液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它們的乘積＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老師給出時間t為5，10，15，20時，學生很快算出剩藥液量和它們的乘積，并進行了激烈的討論，之后學生露出了驚訝的表情，老師緊接著就提問。）

師：它們的乘積還是一個定值嗎？t是V的反比例函數(shù)嗎？

生：不是。

師：你能寫出V與t的關系式嗎？

生：V=500-25t。

師：其實V是t的一次函數(shù)。

練習的一個重要目的是“識別”，識別是概念形成的重要環(huán)節(jié)，同時反饋反比例函數(shù)是否理解和反比例函數(shù)的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式與反比例函數(shù)解析式有所變化，這其實是一種變式，不同的形式反映的本質(zhì)特征是相同的，因此使學生理解反比例的概念。因為把握概念的本質(zhì)特征需要一個過程，在這個過程中突出一些非本質(zhì)因素的干擾，進而使概念的本質(zhì)特征更加突出。所以設計議一議，有意讓學生犯錯誤，認為剩藥液量是時間的反比例函數(shù)，讓學生追尋著這些錯誤充分地探究，跌倒爬起，經(jīng)歷一個曲折過程后得出一個與自己的猜想相矛盾的結論，再通過知識的遷移，進而使反比例函數(shù)概念的本質(zhì)特征更加突出。教師還可以設計拓廣引伸練習，讓學生更準確把握正、反比例函數(shù)的本質(zhì)特征，進一步加深對反比例函數(shù)的運用和理解。片斷三中，所有環(huán)節(jié)實質(zhì)上都是反比例函數(shù)概念的鞏固和運用，其共同目的是為了讓學生經(jīng)歷親身體驗反比例函數(shù)概念形成后的理解和運用，是讓學生把所學的知識進一步內(nèi)化，系統(tǒng)化。

責任編輯 陳建軍endprint

三、在運用掌握中實現(xiàn)系統(tǒng)化

練習：下列函數(shù)表達式中，x表示自變量，那么哪些是反比例函數(shù)？[k]的值為多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

議一議：小明是一個愛動腦筋的學生，一次住院打點滴時，發(fā)現(xiàn)瓶中剩余藥量隨著時間推移而越來越少，因此，他認為瓶中剩下的藥液量是時間的反比例函數(shù)，你認為他的想法對嗎？

生：（齊）對。

師：為什么？

生1：一個變量增加，另一個變量減少，這不就是反比例嗎？

師：真的嗎？下面我們一起來驗證。

（假設藥瓶中有藥液500毫升，每分鐘滴25毫升。）

[時間t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩藥液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它們的乘積＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老師給出時間t為5，10，15，20時，學生很快算出剩藥液量和它們的乘積，并進行了激烈的討論，之后學生露出了驚訝的表情，老師緊接著就提問。）

師：它們的乘積還是一個定值嗎？t是V的反比例函數(shù)嗎？

生：不是。

師：你能寫出V與t的關系式嗎？

生：V=500-25t。

師：其實V是t的一次函數(shù)。

練習的一個重要目的是“識別”，識別是概念形成的重要環(huán)節(jié)，同時反饋反比例函數(shù)是否理解和反比例函數(shù)的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式與反比例函數(shù)解析式有所變化，這其實是一種變式，不同的形式反映的本質(zhì)特征是相同的，因此使學生理解反比例的概念。因為把握概念的本質(zhì)特征需要一個過程，在這個過程中突出一些非本質(zhì)因素的干擾，進而使概念的本質(zhì)特征更加突出。所以設計議一議，有意讓學生犯錯誤，認為剩藥液量是時間的反比例函數(shù)，讓學生追尋著這些錯誤充分地探究，跌倒爬起，經(jīng)歷一個曲折過程后得出一個與自己的猜想相矛盾的結論，再通過知識的遷移，進而使反比例函數(shù)概念的本質(zhì)特征更加突出。教師還可以設計拓廣引伸練習，讓學生更準確把握正、反比例函數(shù)的本質(zhì)特征，進一步加深對反比例函數(shù)的運用和理解。片斷三中，所有環(huán)節(jié)實質(zhì)上都是反比例函數(shù)概念的鞏固和運用，其共同目的是為了讓學生經(jīng)歷親身體驗反比例函數(shù)概念形成后的理解和運用，是讓學生把所學的知識進一步內(nèi)化，系統(tǒng)化。

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三、在運用掌握中實現(xiàn)系統(tǒng)化

練習：下列函數(shù)表達式中，x表示自變量，那么哪些是反比例函數(shù)？[k]的值為多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

議一議：小明是一個愛動腦筋的學生，一次住院打點滴時，發(fā)現(xiàn)瓶中剩余藥量隨著時間推移而越來越少，因此，他認為瓶中剩下的藥液量是時間的反比例函數(shù)，你認為他的想法對嗎？

生：（齊）對。

師：為什么？

生1：一個變量增加，另一個變量減少，這不就是反比例嗎？

師：真的嗎？下面我們一起來驗證。

（假設藥瓶中有藥液500毫升，每分鐘滴25毫升。）

[時間t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩藥液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它們的乘積＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老師給出時間t為5，10，15，20時，學生很快算出剩藥液量和它們的乘積，并進行了激烈的討論，之后學生露出了驚訝的表情，老師緊接著就提問。）

師：它們的乘積還是一個定值嗎？t是V的反比例函數(shù)嗎？

生：不是。

師：你能寫出V與t的關系式嗎？

生：V=500-25t。

師：其實V是t的一次函數(shù)。

練習的一個重要目的是“識別”，識別是概念形成的重要環(huán)節(jié)，同時反饋反比例函數(shù)是否理解和反比例函數(shù)的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式與反比例函數(shù)解析式有所變化，這其實是一種變式，不同的形式反映的本質(zhì)特征是相同的，因此使學生理解反比例的概念。因為把握概念的本質(zhì)特征需要一個過程，在這個過程中突出一些非本質(zhì)因素的干擾，進而使概念的本質(zhì)特征更加突出。所以設計議一議，有意讓學生犯錯誤，認為剩藥液量是時間的反比例函數(shù)，讓學生追尋著這些錯誤充分地探究，跌倒爬起，經(jīng)歷一個曲折過程后得出一個與自己的猜想相矛盾的結論，再通過知識的遷移，進而使反比例函數(shù)概念的本質(zhì)特征更加突出。教師還可以設計拓廣引伸練習，讓學生更準確把握正、反比例函數(shù)的本質(zhì)特征，進一步加深對反比例函數(shù)的運用和理解。片斷三中，所有環(huán)節(jié)實質(zhì)上都是反比例函數(shù)概念的鞏固和運用，其共同目的是為了讓學生經(jīng)歷親身體驗反比例函數(shù)概念形成后的理解和運用，是讓學生把所學的知識進一步內(nèi)化，系統(tǒng)化。

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