李學(xué)斌

（內(nèi)江職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100）

1 引言

在模具、航空等制造領(lǐng)域，經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜曲線曲面的數(shù)控加工。傳統(tǒng)的數(shù)控系統(tǒng)往往只具有直線和圓弧插補(bǔ)，對(duì)于非直線或圓弧的曲線插補(bǔ)則往往采用微小段直線或圓弧分段逼近的方法，這種方法在處理復(fù)雜曲線時(shí)會(huì)導(dǎo)致諸如數(shù)據(jù)量大、進(jìn)給速度不均、精度和通用性較差、編程復(fù)雜等問(wèn)題。目前只有極少數(shù)FANUC、SIEMENS、三菱等高檔計(jì)算機(jī)數(shù)控CNC（Compute Numerical Control）系統(tǒng)裝備有非均勻有理B 樣條NURBS（Non Uniform Rational B－Spline）曲線插補(bǔ)功能［1］。隨著曲面造型的復(fù)雜化，傳統(tǒng)的曲面加工方法（如環(huán)切法、螺旋線法［2］等）已無(wú)法滿足提高加工效率的要求?；谝陨显颍恍W(xué)者提出了曲面的直接插補(bǔ)SDI（Surface Direct Interpolation）算法，這種插補(bǔ)方法極大地提高了插補(bǔ)精度和插補(bǔ)速度。本文介紹一種基于等參數(shù)線法離散NURBS 曲面的插補(bǔ)算法，該算法通過(guò)離散NURBS 曲面獲得一族NURBS 曲線，最后按NURBS 曲線直接插補(bǔ)算法來(lái)進(jìn)行插補(bǔ)。

2 NURBS 曲線曲面定義

2.1 NURBS 曲線定義

根據(jù)德布爾（deBoor）和考克斯（Cox）導(dǎo)出的B樣條遞推定義，B 樣條曲線定義為：

式中：Ci（i＝0，1，…n）為控制頂點(diǎn)，又稱德布爾點(diǎn)，Ni，p（u）稱為p 次規(guī)范B 樣條基函數(shù)，雙腳下標(biāo)中的i 表示序號(hào)、p 表示次數(shù)。由德布爾—考克斯的遞推公式定義：

式中：ui稱為節(jié)點(diǎn)，當(dāng)ui＋1－ui＝常數(shù)時(shí)，則表示均勻B樣條函數(shù)，反之稱為非均勻B樣條函數(shù)，即NURBS曲線。

NURBS 曲線定義：

式中：Wi是與控制頂點(diǎn)Ci相對(duì)應(yīng)的權(quán)因子。

2.2 NURBS 曲面定義

空間曲面的參數(shù)方程可表示為：

B 樣條曲面則定義為：

其中：其中Ci，j（i＝0，1，……n；j＝0，1，……m）為控制頂點(diǎn)，Ni，p（u）和Nj，q（v）分別是沿u 向節(jié)點(diǎn)矢量和υ 向節(jié)點(diǎn)矢量定義的p 次和q 次B 樣條基函數(shù)，u和υ 是曲面的兩個(gè)參數(shù)。

NURBS 曲面定義［3］為：

式中：Wi，j是與控制頂點(diǎn)Ci，j相對(duì)應(yīng)的權(quán)因子。

在實(shí)際應(yīng)用中，常將節(jié)點(diǎn)矢量U 和V 中兩端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度取為p＋1 和q＋1 個(gè)，并且兩端節(jié)點(diǎn)值分別為0 和1，即表示為：

根據(jù)上述定義可知，NURBS 曲面就由基函數(shù)的冪次、控制頂點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)矢量和權(quán)因子所確定。

3 NURBS 曲面插補(bǔ)技術(shù)

3.1 NURBS 曲面插補(bǔ)思路與方法

對(duì)于NURBS 曲面的插補(bǔ)，可采取先將NURBS曲面離散成NURBS 曲線的方法。將曲面離散成曲線的方法通常有兩種：一是平面切割法，就是用一族平行平面切割曲面，獲得一系列的NURBS 曲線，然后按NURBS 曲線進(jìn)行插補(bǔ)；二是等參數(shù)線法，就是先將曲面的兩個(gè)參數(shù)u 和υ 中的任意一個(gè)進(jìn)行離散，可獲得一系列的參數(shù)值，將這些參數(shù)值代入曲面公式，獲得一系列的NURBS 曲線，最后按NURBS 曲線進(jìn)行插補(bǔ)。

插補(bǔ)的實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)的密化，密化的常用方法有等距法、等步長(zhǎng)法和自適應(yīng)法等。等參數(shù)線法就是先將曲面上兩個(gè)參數(shù)中的一個(gè)參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)的密化，獲得該參數(shù)上一系列點(diǎn)的參數(shù)值，再按曲面規(guī)律得到另一參數(shù)上一系列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的參數(shù)值。這種方法的好處是可以將一部分計(jì)算放在插補(bǔ)前集中進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)計(jì)算出兩個(gè)參數(shù)值之后，就可以求出曲線上相應(yīng)的型值點(diǎn)了，同時(shí)求出該點(diǎn)的一階、二階導(dǎo)矢量，既加快了計(jì)算速度，又提高了插補(bǔ)的實(shí)時(shí)性。

3.2 等參數(shù)線法離散曲面法則

為討論方便，假設(shè)先u 向、后υ 向進(jìn)行。

（1）取參數(shù)υ 為某一定值，可得到一條等參數(shù)曲線。如令υ＝υe，NURBS 曲面就被離散成等參數(shù)值為υe的一條NURBS 曲線，記為S（u，υe），如圖1所示。

圖1 等參數(shù)線法離散NURBS 曲面示意圖

（2）確定加工行距（即υ 向的進(jìn)給距離，也是υ向的增量Δυ）時(shí)要保證殘留高度在規(guī)定誤差范圍之內(nèi)。

（3）取邊界曲線S（u，0）和S（u，1）分別作為NURBS 曲線插補(bǔ)的起始邊界和終止邊界。

4 NURBS 曲線插補(bǔ)算法

4.1 預(yù)處理中的一階二階導(dǎo)矢計(jì)算

在插補(bǔ)前的預(yù)處理中，主要要完成NURBS 曲線在某一點(diǎn)處一階、二階導(dǎo)矢的計(jì)算任務(wù)，即對(duì)上述（3）式求一階、二階導(dǎo)數(shù)，其目的是為獲得該點(diǎn)處的一階、二階導(dǎo)矢量，為實(shí)時(shí)插補(bǔ)作好數(shù)據(jù)準(zhǔn)備。

對(duì)（3）式進(jìn)行一階求導(dǎo)得：

由此得到X、Y、Z 方向的一階導(dǎo)矢計(jì)算式：

式中：xi＝Px（ui），yi＝Py（ui），zi＝Pz（ui）。

由（9）式就可求出NURBS 曲線上ui點(diǎn)處的一階導(dǎo)矢量［x′（ui），y′（ui），z′（ui）］。

同理對(duì)（8）式再次求導(dǎo)可獲得NURBS曲線上ui點(diǎn)處的二階導(dǎo)矢量［x″（ui），y″（ui），z″（ui）］。

4.2 進(jìn)給速度計(jì)算的預(yù)處理

為了保證加工精度，必須將弓高誤差控制在允許的范圍內(nèi)，因此進(jìn)給速度應(yīng)根據(jù)曲線曲率半徑的變化自動(dòng)地進(jìn)行調(diào)整，可以采用圓弧逼近的近似處理方法來(lái)確定，如圖2所示。

圖2 圓弧逼近法近似計(jì)算進(jìn)給速度

圖2表示的是用一段圓弧在區(qū)間u∈［ui，ui＋1］內(nèi)近似地代替NURBS 曲線。C（ui），C（ui＋1）分別為近似圓弧上ui點(diǎn)和ui＋1點(diǎn)的插補(bǔ)點(diǎn)，P（ui）、P（ui＋1）分別為NURBS 曲線上ui點(diǎn)和ui＋1點(diǎn)的插補(bǔ)點(diǎn)。

弓高誤差ERi、曲率半徑ρi、NURBS 曲線上ui點(diǎn)處切線方向的進(jìn)給速度V（ui）和插補(bǔ)周期T 的關(guān)系式如下：

式中：ρi是曲率ki的倒數(shù)，ki可按式（11）計(jì)算。

假設(shè)編程進(jìn)給速度為F，允許的最大弓高誤差為ER，由于在實(shí)際加工中，插補(bǔ)周期T 非常小，進(jìn)給步長(zhǎng)ΔLi也非常小，可認(rèn)為與該段弧長(zhǎng)相等，因此V（ui）可近似認(rèn)為與編程進(jìn)給速度F 相等。為使弓高誤差ERi≤ER，需自動(dòng)調(diào)節(jié)進(jìn)給速度V（ui）的大小，調(diào)整規(guī)律［4］如下：

4.3 曲線插補(bǔ)算法

插補(bǔ)過(guò)程就是插補(bǔ)點(diǎn)的密化過(guò)程，也就是在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)，根據(jù)上述求出的一階、二階導(dǎo)矢量和確定的進(jìn)給速度V（ui），利用當(dāng)前的參數(shù)值ui實(shí)時(shí)地計(jì)算出下個(gè)周期的參數(shù)值ui＋1，再求出曲線上插補(bǔ)點(diǎn)Pi＋1坐標(biāo)值的過(guò)程。

曲線參數(shù)u 是時(shí)間t 的函數(shù)，記為u（ti）＝ui，u（ti＋1）＝ui＋1，將參數(shù)u 對(duì)時(shí)間t 進(jìn)行泰勒展開(kāi)可獲得相應(yīng)的近似計(jì)算。

式中：ti＋1－ti＝T，T 稱為插補(bǔ)周期，ΔG 為高階微量。

一階泰勒展開(kāi)的近似表達(dá)式為：

二階泰勒展開(kāi)的近似表達(dá)式為：

將（16）式代入（14）式可得到求ui＋1的一階近似表達(dá)式：

如果想得到更高的加工精度，減小進(jìn)給速度的波動(dòng)，可根據(jù)（15）式求ui＋1的二階近似表達(dá)式：

將（17）式或（18）式求出的參數(shù)值ui＋1代入NURBS曲線方程就可獲得下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)Pi＋1或該插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)值，即：

以上就是根據(jù)泰勒展開(kāi)法求解NURBS 曲線的一階或二階的插補(bǔ)算法過(guò)程。

5 誤差分析

在實(shí)時(shí)插補(bǔ)過(guò)程中，因?yàn)槊壳蟪鲆粋€(gè)ui＋1后都是代入NURBS 曲線方程求出該插補(bǔ)點(diǎn)的x、y、z坐標(biāo)值，因此插補(bǔ)點(diǎn)必然是在NURBS 曲線上，不存在插補(bǔ)點(diǎn)偏離曲線的誤差。誤差主要來(lái)源存在于進(jìn)給速度V（步長(zhǎng)ΔLi的大?。┖凸哒`差ERi上。由于在插補(bǔ)前的預(yù)處理中已作了根據(jù)弓高誤差自動(dòng)調(diào)整進(jìn)給速度的計(jì)算，已把誤差控制在允許的范圍內(nèi)，所以這種插補(bǔ)方法足以滿足精度要求。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文詳細(xì)討論了將NURBS 曲面采用等參數(shù)線法離散成一族NURBS 曲線，然后按NURBS 曲線的直接插補(bǔ)算法進(jìn)行的NURBS 曲面插補(bǔ)。在NURBS 曲線的插補(bǔ)算法過(guò)程中，根據(jù)加工精度要求的高低，采用了泰勒一階或二階展開(kāi)的遞推方式求出下一參數(shù)值ui＋1，從而獲得插補(bǔ)點(diǎn)Pi＋1的x、y、z 坐標(biāo)值，整個(gè)算法以控制弓高誤差在允許范圍內(nèi)并適時(shí)調(diào)整進(jìn)給速度為前提，保證了曲面的加工精度。

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［6］孫玉娥，林 滸，蓋榮麗.基于速度平滑控制的高效非均勻有理B 樣條曲線插補(bǔ)算法［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2008，（11）.

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