劉永春，王 強，彭豐斌

(安徽理工大學理學院，安徽 淮南 232001)

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，Hermite插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產生不必要的震蕩，并且有時還會破壞原函數的單調性[1－2］。所以本文詳細敘述構造一個分母分子均為二次的分段有理插值函數(即2/2型)的過程，它具有非常好的保單調性并得以驗證，而且是含有可調參數的。因為通常的有理插值樣條，初始條件一旦確定，曲線的形狀也就隨之固定了。帶有可調參數的有理插值樣條，可以通過調整相應子區(qū)間上的可調參數，從而對曲線進行局部的調整。用含參數分段有理函數進行插值可解決穩(wěn)定性和保單調性問題。

1 有理插值函數的構造

1.1 有理插值函數的構造基礎

對于f(x)∈C[a，b］，記f(a)=fa，f(b)=fb，f'(a)=d，令b－a=h，作函數

可以驗證g(a)=fa，g(b)=fb，g'(a)=d，上述插值函數中的u，v是可調參數，一般地，取u＞0，v＞0。

用給定區(qū)間端點的函數值以及其中一個端點上的一階導數值構造了一個分子分母都是二次的有理插值函數。則對給定區(qū)間[a，b］的任意分劃a=x0＜x1＜…＜xn=b。若利用上述有理插值函數構造[6］有理插值樣條時，只能在兩個相鄰小區(qū)間[xi，xi+1］上以f(xi1)，f(xi)，f(xi+1)，f'(xi－1)，f'(xi+1)插值構造樣條函數s(x)，這樣就使得s(x)∈C1[a，b］，f(x)∈C1[a，b］，f(a)=fa，f(b)=fb，f'(a)=da，f'(b)=db，b－a=h。若利用上述有理插值函數構造有理插值樣條時，只能在兩個相鄰小區(qū)間[xi－1，xi+1］上以f(xi1)，f(xi)，f(xi+1)，f'(xi－1)，f'(xi+1)插值構造樣條函數s(x)，這樣就使得s(x)在整個區(qū)間[a，b］上達不到C1連續(xù)。所以，利用區(qū)間端點的兩個函數值和兩個一階導數值插值，構造分子分母都是二次并且含有可調參數的有理插值函數。

對于函數f(x)∈C1[a，b］，f(a)=fa，f(b)=fb，f'(a)=da，f'(b)=db，b－a=h，仿照式(1)，可將g(x)寫成下述形式:

其中Δ1，Δ2是待定的不含x的多項式，由g'(a)=da，g'(b)=db，可得方程組

當fa≠fb，即Δ≠0時則得到:

g(x)滿足g(a)=fa，g(b)=fb，g'(a)=da，g'(b)=db。因為已經給定了四個插值條件，所以u，v中只有一個是獨立的，所以不妨令v=1，得二次有理插值多項式為

其中u是可調參數，u＞0。

1.2 二次有理插值樣條的構造

在區(qū)間[a，b］上作分劃a=x1＜x2＜…＜xn=b，以f(xt)=fi，f'(xi)=di(i=0，…，n)為插值條件構造有理插值樣條s(x)，它在子區(qū)間[xi，xi+1］上的表達式為si(x)(i=0，…，n)。si(x)按照式(2)來構造，即x∈[xi，xi+1］，Δi≠0時

Δi=0時

為了將式(3)簡單化，不妨令t=(x－xi)/hi，則有如下的插值格式[3－4］。

設f(x)在區(qū)間[a，b］上有定義，區(qū)間[a，b］剖分為a=x1＜x2＜…＜xn=b。給定數據(xi，fi)，i=1，2，…，n，其中fi為被插函數在分劃點xi上的函數值，用di為在給定結點xi處的導數值。記hi=xi+1－xi，Δi=(fi+1－fi)/hi;令t=(x－xi)/hi，當x∈[xi，xi+1］時，定義:

其中ui＞0為區(qū)間[xi，xi+1］上的可調參數。

2 插值函數的保單調性

定 理 (保單調性):f(x)∈C[a，b］，s(x)是上述構造的2/2型有理樣條插值函數，其中不妨令ui=1，如果f(x)是單調的，則s(x)也是單調的，并且與f(x)的單調性一致。

證明對于x∈[xi，xi+1］，Δi≠0，

s(x)對x求導得:

而其中P'i(t)Qi(t)－Pi(t)Q'i(t)=+2Δit(1－t)+di(1－t)2］

因為導函數值滿足保單調的必要條件是

當Δi=0時，di=di+1=0;當Δi≠0時，sgn(di)=sgn(di+1)=sgn(Δi)。

因此s(x)在[a，b］上單調。

3 誤差分析

定理1若f(x)∈C1[a，b］，g(x)為由式(2)構造的有理插值函數，則有

證明因為min{f(a)，f(b)}≤g(x)≤max{f(a)，f(b)}，又由 Lagrange 中值定理，?ξ1，ξ2，使得

而f(x)∈C1[a，b］，則有

所以|f(x)－g(x)|≤max{|f(x)－f(a)|，|f(x)－f(b)|}≤‖f'‖h=ch，其中c=‖f'‖。

定理2 設f(x)∈C1[a，b］，S(x)是按式(3)定義有理插值樣條函數，則

證明當Δi≠0時，由定理1[5］有|f(x)－S(x)|=|f(x)－Si(x)|≤chi，x∈[xi，xi+1］。

當Δi=0時，|f(x)－S(x)|=|f(x)－fi|≤‖f'‖hi=chi，于是在整個區(qū)間[a，b］上有|f(x)－S(x)|≤ch，(x∈[a，b］)h==‖f'‖。

給定區(qū)間[a，b］，令h=b－a，以f(a)，f(c)，f'(a)，f'(b)為初值按照式(3)插值得到有理樣條S0(x)，則由定理2[6－7］有|f(x)－S0(x)|≤ch。

把區(qū)間[a，b］等分為[a，c］，[c，b］，以f(a)，f(c)，f(b)，f'(a)，f'(c)，f'(b)為初值按照式(3)插值得到有理樣條S1(x)，則由定理2有|f(x)－S1(x)|≤繼續(xù)對區(qū)間[a，c］，[c，b］分別做二等分，…，如此下去，經過n次等分之后，以每個分點處的函數值及一階導數值為初值，按照式(3)插值得到有理樣條Sn(x)，則由定理2有|f(x)－S(x)|≤，可以看到S(x)的逼近階達到了nn

4 數據實驗

下面通過一組單調遞減的數據(見表1)和一組單調遞增的數據(見表2)分別對2/2型的分段有理插值曲線與二次多項式插值曲線進行了比較[8］，在表1數據下的曲線的比較如圖1所示，圖2則是在表2數據下的曲線比較。

表1 單調遞減的數據

圖1 數據一下兩種插值曲線的比較

表2 單調遞增的數據

圖2 數據二下兩種插值曲線的比較

通過圖1～圖2可知，能明顯看出來二次多項式插值曲線雖然有良好的光滑性，但是破壞了原數據單調的性質，并且圖1中二次多項式插值曲線有明顯的震蕩，不穩(wěn)定。而本文所構造的2/2型的分段有理插值曲線則同原數據有著一致的單調性，并且曲線變化穩(wěn)定，因此通過數據實驗更有力地說明了其穩(wěn)定性和保單調性的特點。

5 小結

針對Hermite插值的不穩(wěn)定性，構造了分母分子均為二次的分段有理插值函數(即2/2型)，數值實驗驗證了此有理插值的保單調性，而且適當地調節(jié)可調參數，可以達到曲線的保形性。不過此插值卻不能達到C1連續(xù)，若為了解決此問題，可以在Δi=0的區(qū)間上，按照Hermite插值供述構造Si(x)，但是后者所定義的S(x)卻會失去了保單調性。所以，本文所構造的插值還有許多不足，需要繼續(xù)改進。

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