高 芳，王文爽，王 靜

（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春130024）

帶有食餌避難的Leslie－Gower捕食者－食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及最優(yōu)稅收

高 芳，王文爽，王 靜

（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春130024）

研究了齊次Neumann邊界條件下反應(yīng)擴(kuò)散對一類食餌具有避難所的Leslie－Gower模型的影響.利用Routh－Hurwitz判別法判斷平衡點的局部穩(wěn)定性，通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)得到了正平衡點全局漸進(jìn)穩(wěn)定的充分性條件，根據(jù)Pontryagin最大值原理得到了模型的最優(yōu)稅收策略.

Leslie－Gower模型；擴(kuò)散；平衡點；全避漸進(jìn)穩(wěn)定；最優(yōu)稅收

1 預(yù)備知識

Leslie－Gower模型和Lotka－Volterra模型是捕食者－食餌系統(tǒng)中兩類重要的模型，Leslie－Gower模型體現(xiàn)了環(huán)境對捕食者的承載能力與食餌的數(shù)量成正相關(guān)，同時強調(diào)了無論是捕食者還是食餌的增長率都應(yīng)有一個上限，此模型比一般的Lotka－Voltarra模型更具有實際意義.眾所周知，生物資源并非取之不盡，用之不竭的，因此，對其進(jìn)行最優(yōu)收獲策略方面的研究也就十分必要.但目前，通過控制Leslie－Gower模型的稅收，進(jìn)而控制收獲的模型還不多.［1－5］文獻(xiàn)［1］考慮了一類食餌具有避難的Leslie－Gower最優(yōu)稅收模型：

并得到了系統(tǒng)（1）的正平衡點的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件和其最優(yōu)稅收策略.其中：u，v分別表示食餌和捕食者的種群密度；r1，r2，a2，b1，a，b均為正常數(shù)；r1，r2分別為食餌種群和捕食者種群的內(nèi)稟增長率；a1，a2分別為食餌種群和捕食者種群能夠達(dá)到的最大平均出生率；b1表示食餌的種間競爭強度；m（0≤m＜1）為食餌的避難率；q表示捕食者種群收獲系統(tǒng)；α表示總投入的剛性伸縮系統(tǒng)；E表示對v的收獲努力量；p為單位資源v的價格；τ表示單位資源v的稅收；c為收獲單位資源的成本，采用的收獲方式是h（t）＝Eqy，鑒于收獲一般是非線性收獲，本文采用的收獲函數(shù)是

在這里捕食者和食餌密度不是空間依賴的，考慮到捕食者和食餌的數(shù)量是不均勻分布的，以及它們對于生存環(huán)境的自然生長策略的事實，本文在系統(tǒng)（1）的基礎(chǔ)上又引入擴(kuò)散項，建立了如下模型：

在這里：u，v，r1，r2，a1，a2，b1，a，b，m，q，α，E，p，τ，c與系統(tǒng)（1）具有相同的生物學(xué)意義；Δ是拉普拉斯算子；d1，d2，d3為擴(kuò)散系數(shù)；Ω是RN中有界區(qū)域，邊界?Ω是光滑的，n是Ω邊界上的單位外法向量；

是齊次Numann邊界條件，表示環(huán)境封閉，物種在邊界附近沒有遷進(jìn)遷出.

2 平衡點的分析

經(jīng)計算，系統(tǒng)（2）有3個平衡點：

（1）P2（u1，v1，0）滿足

解得：

（2）P3（u＊，v＊，E＊）滿足

解得：

當(dāng)C＜τ＜max｛A，B｝時，有

則P3（u＊，v＊，E＊）是系統(tǒng)（2）的唯一正平衡點，其中：

3 穩(wěn)定性分析

令0＝μ1＜μ2＜μ3＜…是滿足Neumann邊界條件的在Ω上Δ算子的特征值，E（μi）是μi在C1（Ω）上相應(yīng)的特征空間，定義集合

令｛φij，j＝1…dimE（μi）｝是E（μi）的標(biāo)準(zhǔn)正交基，Xij＝｛cφij｜c∈R3｝，則diag（d1，d2，d3），L－DΔ＝J.將（2）式進(jìn)行線性化，得

其中J為系統(tǒng)（1）的Jacobi矩陣.

注意到：?i≥1，Xi在算子L下是不變的.這就意味著λ是L在Xi上的特征根，當(dāng)且僅當(dāng)λ是矩陣－μiD＋J的特征值.

（?。┢胶恻cP1的穩(wěn)定性

設(shè)平衡點P1處的特征方程為Ψi（λ）＝（λ＋μid1＋r1）（λ＋μid2－r2）（λ＋μid1＋αc）＝0.對于i≥1，Ψi（λ）＝0的三個根記為λi1，λi2，λi3，則有λi1＝－μid1－r1，λi2＝－μid2＋r2，λi3＝－μid1－αc.取i＝1，則λi2＝r2＞0，因此，平衡點P1是不穩(wěn)定的.

（ⅱ）平衡點P2（u1，v1，0）的穩(wěn)定性

設(shè)平衡點P2（u1，v1，0）處的特征方程為

其中：

這里

當(dāng)K＜0時，B1＞0，B2＞0，B3＞0.直接計算能夠得到

其中：

能夠驗證c3，c2，c11，c12，c13＞0，并且

因此，B1B2－B3＞0.根據(jù)Routh－Hurwitz判別法可知，對于i≥1，Ψi（λ）＝0的三個根λi1，λi2，λi3均有負(fù)實部.

下面，我們證明存在一個正常數(shù)δ，使得Reλi1，Reλi2，Reλi3≤－δ，?i≥1.如果有這個事實成立，就說明由特征值構(gòu)成的譜存在于Reλ≤－δ內(nèi)，則平衡點P2（μ1，v1，0）也就是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

令λ＝μiξ，則有

當(dāng)i→∞時，有μi→∞，

根據(jù)Routh－Hurwitz判別法，能夠知道φ（ξ）的三個根ξ1，ξ2，ξ3均有負(fù)實部，因此存在一個正常數(shù)δ′使得Reξ1，Reξ2，Reξ3≤－δ′，根據(jù)連續(xù)性，我們知道存在i0，使得?i≥i0，φi（ξ）的三個根ξi1，ξi2，ξi3滿足：

?i≥i0，也就有

令

則有

令

則要證的式子成立，平衡點P2（u1，v1，0）也就是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

（ⅲ）平衡點P3（u＊，v＊，E＊）的穩(wěn)定性

設(shè)平衡點P3（u＊，v＊，E＊）處的特征方程為

其中：

容易看出，B＊＜0，C＊＞0，D＊＜0，因此當(dāng)A＊＜0，C＜τ＜max｛A，B｝時，有B1＞0，B2＞0，B3＞0.直接計算得到

其中：

能夠驗證c3，c2，c11，c13＞0，并且

因此，B1B2－B3＞0.根據(jù)Routh－Hurwitz判別法可知，對于i≥1，Ψi（λ）＝0的三個根λi1，λi2，λi3均有負(fù)實部.

同平衡點P2（u1，v1，0）的分析一致，存在一個正常數(shù)δ，使得

因此平衡點P3（u＊，v＊，E＊）也是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

定理1 若正平衡點P3（u＊，v＊，E＊）存在，則P3（u＊，v＊，E＊）在第一象限直線Au－bv－aE＝0的下半平面內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，其中

證明 取正定函數(shù)

顯然，對于任意的u，v，E＞0，V（u，v，E）是連續(xù)的.經(jīng)過計算，可以得到：

上式表明正平衡點P3（u＊，v＊，E＊）是V（u，v，E）在正的象限內(nèi)唯一的極值點，所以能很容易地證明

這表明該正平衡點P3（u＊，v＊，E＊）是全局極小值，也就是

由（4）式得到

從而有

令

則

當(dāng)

時，有

因此正平衡點P3（u＊，v＊，E＊）在第一象限直線Au－bv－aE＝0的下半平面內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.

4 最優(yōu)稅收政策

我們的目的是通過稅收使得系統(tǒng)的社會總收入最大，社會收入的貼現(xiàn)值為

α（t）為貼現(xiàn)因子，一般取α（t）＝e－δt，其中δ為資本貼現(xiàn)率，貼現(xiàn)率又稱折現(xiàn)率，指今后收到或支付的款項折算為現(xiàn)值的利率.但是考慮到資本貼現(xiàn)率會隨著時間而變化，故在本文中取α（t）＝e－∫′0δ（s）ds，其中δ（t）為資本貼現(xiàn)率，是與時間t有關(guān)的函數(shù).

利用Pontrjagin最大值原理找到最優(yōu)稅收政策τ＝τ（t），使得J同時滿足系統(tǒng)（2）和控制約束條件τmin≤τ≤τmax時的值最大.該控制問題的Hamilton函數(shù)

其中：λ1（t），λ2（t），λ3（t）是伴隨變量.假設(shè)Hamilton函數(shù)的最優(yōu)解不發(fā)生在τ＝τmin，τ＝τmax時，我們有

從而λ3（t）＝0.

構(gòu)造輔助方程式：

由λ3（t）＝0及（7）式得到

為了得到最優(yōu)解，在正平衡點P3（u＊，v＊，E＊）處整理方程（5）得到

其中：

解得

同理得到

其中：

解得

由（8）式得到

將u＊，v＊，E＊代入（9）式得到關(guān)于τ的方程，令τδ（t）為方程（9）的解.再將τ＝τδ（t）代入u＊，v＊，E＊，則得到最優(yōu)平衡解u＝uδ（t），v＝vδ（t），E＝Eδ（t）.

5 結(jié)論

通過對一類帶有擴(kuò)散的具有避難所的Leslie－Gower模型的最優(yōu)稅收研究，本文得到了該系統(tǒng)的平衡點及其局部漸進(jìn)穩(wěn)定性的充分條件.利用構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，進(jìn)一步得到正平衡點的全局漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件.進(jìn)而由Pontryagain最大值原理得到最優(yōu)平衡解u＝uδ（t），v＝vδ（t），E＝Eδ（t）.我們的研究結(jié)果說明，通過控制稅收來控制收獲能達(dá)到可持續(xù)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)效益最大化的雙贏結(jié)果，有利于資源的合理開發(fā).

［1］ 李有文，楊洪嫻，田廣立，等.具有食餌避難的Leslie－Gower最優(yōu)稅收模型分析［J］.數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識，2011，41：167－171.

［2］ 楊斌，王靜.具有HollingⅣ型功能性反應(yīng)的非自治三種群食物鏈模型的周期解［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，44（1）：10－16.

［3］ 柏靈，李曉月，楊帆.捕食－食餌系統(tǒng)的兩種群同時捕獲的最優(yōu)化問題［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2001，33（1）：1－5.

［4］ 于新艷，王靜.污染環(huán)境下具有Beddington－DeAngelis功能性反應(yīng)的捕食者－食餌系統(tǒng)的動力學(xué)行為［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，45（1）：6－12.

［5］ 葉其孝，李正元，王明新，等.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論［M］.第二版.北京：科學(xué)出版社，2011：314－340.

Stability and optimal tax of a Leslie－Gower predator－prey model with a prey refuge and diffusion

GAO Fang，WANG Wen－shuang，WANG Jing
（School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

In this paper，we study the stability and optimal tax of Leslie－Gower predator－prey model with a prey refuge and diffusion under the homogeneous Neumann boundary condition.We use the Routh－Hurwitz criterion to prove the local stability of the equilibrium points for the model and by constructing Lyapunov function，sufficient conditions of the globally asymptotic stability of the positive equilibrium for the model are obtained.Finally，the optimal taxation policy of the model is studied by using Pontryagin maximum principle.

Leslie－Gower model；diffusion；equilibrium point；globally asymptotic stability；optimal taxation

O 175.14 ［學(xué)科代碼］ 110·34

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0001－08

10.11672／dbsdzk2014－01－001

2013－01－05

國家自然科學(xué)基金資助項目（11271065）.

高芳（1987—），女，碩士；通訊作者：王靜（1972—），女，博士，副教授，主要從事微分方程和生態(tài)數(shù)學(xué)研究.