王 石，楊 吉，欒紅霞

（1.東北師范大學(xué)信息化管理與規(guī)劃辦公室，吉林長(zhǎng)春130024；2.空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長(zhǎng)春130022；

3.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024）

基于Backstepping方法對(duì)超混沌Rossler系統(tǒng)的控制與同步研究

王 石1，楊 吉2，欒紅霞3

（1.東北師范大學(xué)信息化管理與規(guī)劃辦公室，吉林長(zhǎng)春130024；2.空軍航空大學(xué)基礎(chǔ)部，吉林長(zhǎng)春130022；

3.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024）

對(duì)超混沌Rossler系統(tǒng)提出了基于Backstepping的超混沌控制與同步方法，在反向遞推每一步設(shè)計(jì)算法中構(gòu)造虛擬控制器，使得構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)負(fù)定，逐步修正算法使誤差系統(tǒng)在Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)控制器的設(shè)計(jì).只使用一個(gè)控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)超混沌Rossler系統(tǒng)控制與同步，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

控制；同步；Backstepping方法；超混沌Rossler系統(tǒng)

混沌的控制與同步在生物醫(yī)學(xué)、化學(xué)反應(yīng)及保密通訊等領(lǐng)域應(yīng)用受到了極大的關(guān)注，近些年來得到了蓬勃發(fā)展.人們提出了許多混沌控制與同步的方法［1－11］，Yassen等提出了利用Backstepping方法對(duì)嚴(yán)格反饋混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)混沌同步與控制，它是一種構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的系統(tǒng)方法，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，將復(fù)雜系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，在反向遞推設(shè)計(jì)中構(gòu)造虛擬控制器，逐步修正算法使誤差系統(tǒng)在Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定，完成了控制器的設(shè)計(jì)［8－11］.以上設(shè)計(jì)主要針對(duì)一般混沌系統(tǒng)，而超混沌系統(tǒng)具有2個(gè)或2個(gè)以上正的Lyapunov指數(shù)，增大了系統(tǒng)的隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性，它在保密通信領(lǐng)域中具有更大的應(yīng)用潛力，本文利用Backstepping方法只需要一個(gè)控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)五階超混沌Rossler系統(tǒng)的控制和同步，數(shù)值仿真結(jié)果表明了該方法的有效性.

1 超混沌Rossler系統(tǒng)

超混沌Rossler系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程［12］：

其中f（x4）＝2b（x4－d）H（x4－d），H（x4－d）是單位階躍函數(shù)，當(dāng)H（x4－d≥0）＝1，H（x4－d＜0）＝0.系統(tǒng)（1）中：x1，x2，x3，x4，x5為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a，b，c，d為系統(tǒng)的參數(shù).當(dāng)參數(shù)a＝0.3，b＝4，c＝1，d＝2時(shí)，采用四階Runge－Kutta法得到超混沌Rossler系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜及吸引子如圖1所示.

圖1 超混沌Rossler系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜圖和吸引子相圖

2 超混沌Rossler系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)超混沌Rossler系統(tǒng)（1）加一個(gè)控制器u，則系統(tǒng)方程變?yōu)?/p>

利用Backstepping方法設(shè)計(jì)控制器u使系統(tǒng)（2）穩(wěn)定到一有界點(diǎn).選取Lyapunov函數(shù)

則有

取虛擬函數(shù)α1（x1）＝（a＋1）x1.

定義誤差變量

得到（x1，ˉx2）的子系統(tǒng)為

選擇

定義誤差變量

得到（x1，ˉx2，ˉx3）的子系統(tǒng)為：

選取

定義誤差變量

得到（x1，ˉx2，ˉx3，ˉx4）的子系統(tǒng)為：

選取

定義誤差變量

得到（x1，ˉx2，ˉx3，ˉx4，ˉx5）的子系統(tǒng)為：

為使˙V5小于零，選取控制輸入

系統(tǒng)（10）在原點(diǎn)（0，0，0，0，0）得到穩(wěn)定，當(dāng)t→∞時(shí)，（x1，x2，x3，x4，x5）→（0，0，0，0，0）.

取超混沌Rossler系統(tǒng)（2）中的參數(shù)a＝0.3，b＝4，c＝1，d＝2，變量的初始值為x1（0）＝1，x2（0）＝1，x3（0）＝－1，x4（0）＝1，x5（0）＝－1，采用的時(shí)間步長(zhǎng)為0.001，圖2為加入控制器u后，超混沌Rossler系統(tǒng)能夠被控制到原點(diǎn)（0，0，0，0，0）.

3 超混沌Rossler系統(tǒng)同步

設(shè)系統(tǒng)（1）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為：

圖2 Backstepping方法實(shí)現(xiàn)超混沌Rossler系統(tǒng)控制結(jié)果

其中f（x4）＝2b（x4－d）H（x4－d），H（x4－d）是單位階躍函數(shù)，同樣響應(yīng)系統(tǒng)中的

其中u是需要設(shè)計(jì)的控制器.令誤差變量為e1＝y(tǒng)1－x1，e2＝y(tǒng)2－x2，e3＝y(tǒng)3－x3，e4＝y(tǒng)4－x4和e5＝y(tǒng)5－x5，對(duì)超混沌Rossler系統(tǒng)（12）控制器的設(shè)計(jì)如下：

定義z1＝e1＝y(tǒng)1－x1，則˙z1＝ae1－e2，設(shè)z2＝e2－α1，其中α1是一個(gè)待設(shè)計(jì)的虛擬控制器.

選取虛擬函數(shù)α1（z1）＝（a＋1）z1，則˙V1＝－z21－z1z2，˙z1＝－z1－z2.

定義

其中α2是虛擬函數(shù)，設(shè)z3＝e3－α2，選取Lyapunov函數(shù)，則

選取虛擬函數(shù)α2（z1，z2）＝（a＋1）z1＋（a＋2）z2，則˙V2＝－z21－z22－z3z2，˙z2＝z1－z3－z2.

定義

設(shè)z4＝e4－α3，選取Lyapunov函數(shù)，則

選取虛擬函數(shù)α3（z1，z2，z3）＝az1＋（2a＋3）z2＋（a＋3）z3，則

定義

設(shè)z5＝e5－α4，選取Lyapunov函數(shù)，則

選取α4（z1，z2，z3，z4）＝（3a＋2）z2＋（3a＋6）z3－2z1＋（a＋4）z4，則

定義

得到控制輸入u為

由以上推導(dǎo)可知，當(dāng)取控制器u時(shí)，這就說明在基于Backstepping方法實(shí)現(xiàn)超混沌Rossler系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制器作用下，實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步.采用四階Runge－Kutta法求解方程（1）和（12），選取時(shí)間步長(zhǎng)為0.01s，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）的初始值選取為x1（0）＝1，x2（0）＝2，x3（0）＝3，x4（0）＝4，x5（0）＝5，響應(yīng)系統(tǒng)（12）的初始值選取為y1（0）＝1，y2（0）＝1，y3（0）＝1，y4（0）＝1，y5（0）＝1，得到同步誤差曲線如圖3所示.

圖3 Backstepping方法實(shí)現(xiàn)超混沌Rossler系統(tǒng)同步的誤差曲線

由圖3的數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，在很短的時(shí)間內(nèi)，誤差e1（t），e2（t），e3（t），e4（t），e5（t）已分別精確地穩(wěn)定在零點(diǎn)，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）與響應(yīng)系統(tǒng)（12）達(dá)到了同步.

4 結(jié)論

對(duì)超混沌Rossler系統(tǒng)，本文利用Backstepping方法，只需要一個(gè)控制器實(shí)現(xiàn)了超混沌Rossler系統(tǒng)控制到零點(diǎn)，同時(shí)也只使用一個(gè)控制器，較好地實(shí)現(xiàn)了初值不同的2個(gè)超混沌Rossler系統(tǒng)同步，數(shù)值仿真結(jié)果表明了這種控制方法的有效性.

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Controlling and synchronizing hyperchaotic Rossler system using Backstepping design

WANG Shi1，YANG Ji2，LUAN Hong－xia3
（1.Office of Information Management and Planning，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；2.Department of Basic Course，Aviation University of Airforce，Changchun 130022，China；3.School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

This paper presents a Backstepping design method for controlling and synchronizing hyperchaotic Rossler system.In each recursive procedure，the virtual controller is designed for the differential of Lyapunov function negative definite.The controller is designed when the error system is stabilize by the stability theory of Lyapunov.The only one controller is needed for controlling and synchronizing hyperchaotic Rossler system using Backstepping design.The simulation results verify the effectiveness of involved controllers.

control；synchronize；Backstepping method；hyperchaotic Rossler system

O 415 ［學(xué)科代碼］ 120·20

A

（責(zé)任編輯：石紹慶）

1000－1832（2014）02－0069－05

10.11672／dbsdzk2014－02－014

2014－01－24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10847110）；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（201115008）.

王石（1979—），男，碩士，工程師，主要從事信息安全研究.