王爭利,覃彥福 (長江大學工程技術學院城市建設系,湖北荊州 434020)

柯式公式的迭代法求解研究

王爭利,覃彥福 (長江大學工程技術學院城市建設系,湖北荊州 434020)

在雷諾數(shù)Re=232149.5,相對粗糙度K/d=0.000966的條件下,給出實際工程常用區(qū)間范圍[0.008,0.1]的柯列波洛克-懷特公式數(shù)學特性曲線,為采用迭代方法計算摩擦阻力系數(shù)提供依據(jù)。分別對柯列波洛克-懷特公式及其4個不同變形公式能否適用于迭代計算進行比較分析,使用二分法和黃金分割法對適用于迭代的變形公式進行MATLAB編程計算,計算顯示在適合迭代的公式中,公式的形式對迭代結果、迭代步數(shù)、迭代時間沒有影響。

柯列波洛克-懷特公式;迭代計算;二分法;黃金分割法

利用柯列波洛克-懷特公式(簡稱柯式公式)可以計算工業(yè)管道紊流三區(qū)的摩擦阻力系數(shù)(又稱為摩擦因子、沿程阻力系數(shù)),從而計算管道的阻力,在采暖、空調(diào)及燃氣工程中應用廣泛,文獻[1]用柯式公式計算了鋼管內(nèi)熱水的摩擦阻力系數(shù),并編制40～90℃間隔10℃水力計算表;同時也將其用于計算紊流過渡區(qū)空調(diào)水系統(tǒng)開式管網(wǎng)與閉式管網(wǎng)的摩擦阻力系數(shù),編制空調(diào)水力計算表。文獻[2]依據(jù)柯式公式及其改進公式編制了3類9種常用風管的水力計算表。《城鎮(zhèn)燃氣設計規(guī)范》(GB50028-2006)推薦燃氣管道摩擦阻力系數(shù)λ按柯氏公式計算:

式中,K為管壁內(nèi)表面的當量絕對粗糙度,mm;d為管道內(nèi)徑,mm;Re為雷諾數(shù)。

許多學者[3～7]就自己所從事的工程領域,尤其是燃氣工程領域利用不同的方法對柯氏公式進行求解,以獲得摩擦阻力系數(shù)計算阻力損失,不同作者使用的計算方法不同,迭代法以二分法、牛頓法為主,少數(shù)作者[8]用到了牛頓迭代法的改進方法——弦割法,總的來看,計算方法比較單一,注重應用,只計算出結果,并未對其計算方法本身進行深入探析。為此,筆者對柯式公式及其4個不同變形公式進行了比較分析,使用二分法和黃金分割法對適用于迭代的變形公式進行MATLAB編程計算。

1 幾點說明

限于篇幅,特對分析條件、對比條件、迭代過程、收斂條件、計算算例作如下說明:

1)無論采取哪種方法,迭代的范圍處在[0.008,0.1],其依據(jù)是文獻[1]提供的莫迪圖;收斂的最小值取ε=10-6,將條件統(tǒng)一,便于不同方法之間的比較。

3)判斷迭代效率的依據(jù)除了時間外,還增加了每一種迭代算法的迭代次數(shù),用于比較計算結果與效率。

4)編程使用MATLAB6.5.1,在相同條件下運行程序。

5)筆者所使用的計算方法,可參閱文獻[10-11]。

2 柯氏公式的數(shù)學特性分析

圖1 f1與f2曲線

圖2 柯式公式變形公式函數(shù)曲線

3 柯式公式的變形式及迭代分析

在0.008～0.1(摩擦阻力系數(shù))范圍內(nèi)對式(3)～式(6)進行分析,圖3為式(3)～式(5)右邊項函數(shù)曲線及斜率為1的直線即y=x。由文獻[10]提供的基本迭代過程的幾何曲線,直接排除式(5),其原因是其變形后突然增加一個解。圖4是式(6)右邊項在區(qū)間[0.008,0.025]的函數(shù)曲線,由圖4可以看出式(6)同式(5)一樣也是2個解,但式(6)有一個解是0,在物理上和編程上都很容易排除,故式(6)可以用于迭代計算。

圖3 公式(3)～(5)右邊項的函數(shù)曲線

圖4 柯式公式變形公式(6)函數(shù)曲線

4 柯式公式的迭代計算與結果分析

針對式(2)分別采用二分法、黃金分割法求解,其迭代過程框圖如圖5、圖6所示;式(3)、(4) 和(6)的迭代過程與之類似,這里不重復框圖。二分法、黃金分割法計算結果列于表1、表2并與阿氏公式的計算結果進行比較。

圖5 二分法對柯氏公式(2)的迭代框圖

圖6 黃金分割法對柯氏公式(2)的迭代框圖

表1 對柯氏公式用二分法迭代計算摩擦阻力系數(shù)的結果

表2 對柯氏公式用黃金分割法迭代計算摩擦阻力系數(shù)的結果

由表1和表2可以明顯看出,盡管方程形式不同,迭代方法不同,但迭代時間和迭代結果相對于阿氏公式計算結果的相對誤差基本相同且相對誤差十分小,計算結果的精度均滿足工程要求?？率瞎降淖冃涡问匠吮旧聿贿m合迭代的式(5)外,公式的變形式(2)～(4)和式(6)對迭代結果、迭代步數(shù)、迭代時間,影響不大;二分法對式(2)～(4)和式(6)迭代結果、迭代步數(shù)是完全相同的,迭代時間接近,黃金分割法也是如此,但二分法的計算誤差及迭代步數(shù)明顯小于黃金分割法。

5 結論

對柯氏公式的4種變形式進行迭代分析,并在[0.008,0.1],雷諾數(shù)Re=232149.5,相對粗糙度K/d=0.000966的條件下,對相應的公式進行了迭代求解,將迭代結果與阿氏公式進行比對,得出結論如下:

1)柯氏公式的4種非恒等變形式(3)～(6)中,除式(5)不能迭代計算外,其余均適合于迭代計算;

2)柯氏公式適合于迭代的變形式(2)～(4)和式(6),公式變形形式對迭代步數(shù)、迭代結果影響不大,但迭代方法對迭代影響較大,黃金分割法在收斂速度上明顯略于二分法,若進行大量運算所需計算時間必然要長;

3)無論是二分法還是黃金分割法求解摩擦阻力系數(shù),其求解結果均能滿足工程需求。

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[編輯]洪云飛

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1673-1409(2014)19-0019-04

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王爭利(1982),男,碩士,講師,現(xiàn)主要從事建筑環(huán)境與能源應用方面的教學與研究工作。