余 超，陳夫凱，周 浩

(河海大學(xué) 理學(xué)院，南京 210098)

馬爾可夫更新過(guò)程在武器裝備可靠性方面的應(yīng)用

余 超，陳夫凱，周 浩

(河海大學(xué) 理學(xué)院，南京 210098)

區(qū)別于單一武器裝備壽命分布分析，考慮綜合性情況下的非馬爾可夫型冷儲(chǔ)備可修系統(tǒng)，應(yīng)用馬爾可夫更新過(guò)程理論建立可靠性分析模型，并計(jì)算出武器裝備的2種可用度。

馬爾可夫更新過(guò)程;冷儲(chǔ)備可修系統(tǒng);可用度;梯形法

對(duì)部隊(duì)來(lái)說(shuō)，優(yōu)良的武器裝備是衡量隊(duì)伍戰(zhàn)斗力的重要指標(biāo)，而裝備的可靠性則是衡量武器優(yōu)良的重要指標(biāo)，因而分析武器裝備的可靠性是重要的研究課題。一般對(duì)于武器裝備來(lái)說(shuō)，常會(huì)對(duì)其壽命進(jìn)行可靠度分析。如文獻(xiàn)［1］對(duì)壽命服從威布爾分布的武器裝備進(jìn)行了可靠性分析，并提出了相應(yīng)的維修方案。文獻(xiàn)［2］介紹了壽命分布為威布爾分布的設(shè)備相關(guān)理論，用參數(shù)估計(jì)方法分析了發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的故障率及可靠度。文獻(xiàn)［3］介紹了可靠性理論中分布函數(shù)的各可靠性指標(biāo)。但是僅考慮壽命分布卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，如設(shè)備是否可修、修理工修理時(shí)間導(dǎo)致的部件暫時(shí)停止工作等問(wèn)題均使得部件系統(tǒng)變得復(fù)雜。而對(duì)于滿足非馬爾可夫型冷儲(chǔ)備可修系統(tǒng)的武器裝備，可以根據(jù)馬爾可夫更新過(guò)程理論對(duì)其進(jìn)行分析建模。文獻(xiàn)［4］詳細(xì)說(shuō)明了馬爾可夫更新方程的推導(dǎo)過(guò)程并將其應(yīng)用于實(shí)例。文獻(xiàn)［5］闡述了可用度基本含義及其計(jì)算模型。對(duì)于滿足兩同型部件冷儲(chǔ)備模型的偵察系統(tǒng)［6］及有延誤的單部件可修系統(tǒng)的裝甲裝備［7］，已有文獻(xiàn)研究了其可靠性。而冷儲(chǔ)備系統(tǒng)在國(guó)內(nèi)已經(jīng)擁有非常成熟的理論系統(tǒng)，如曹晉華、程侃［8］詳細(xì)說(shuō)明了非馬爾可夫型兩部件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的3種可靠性指標(biāo)。文獻(xiàn)［9］具體分析了具有2個(gè)不同部件和2個(gè)修理工的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的主要可靠性指標(biāo)。文獻(xiàn)［10］討論了有延遲的2不同型部件的可靠性指標(biāo)。這些均對(duì)部隊(duì)武器裝備的可靠性分析提供了理論依據(jù)。對(duì)于部件系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)，主要分析其瞬時(shí)可用度和穩(wěn)態(tài)可用度，但是對(duì)于滿足馬氏更新方程的可用度，利用拉普拉斯及其反變換往往很難計(jì)算。陶建峰等［11］用復(fù)合梯形法計(jì)算出了2種可用性指標(biāo)。本文在更新理論、馬氏更新過(guò)程理論、拉普拉斯及拉普拉斯－斯蒂爾切斯變換和概率分布理論［12］的基礎(chǔ)上，首先說(shuō)明了可靠性理論中的單一考慮部件壽命的可靠性研究，然后分析了具有1個(gè)修理工和2種不同型部件的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，并用梯形法計(jì)算出武器裝備的瞬時(shí)可用度和穩(wěn)態(tài)可用度。

1 可靠性理論中的2種分布函數(shù)分析

1)指數(shù)函數(shù)

對(duì)非負(fù)隨機(jī)變量X有密度函數(shù)f(x)=ue－ux，u＞0，x≥0，稱X服從參數(shù)為u的指數(shù)分布。它是可靠性工程常用的分布，其特點(diǎn)是失效率u是常數(shù)。這意味著可靠性是時(shí)間的函數(shù)，但不是元件壽命的函數(shù)。有可靠度函數(shù)R(t)=e－ut，失效率函數(shù)為u，平均壽命為1/u。

2)威布爾分布函數(shù)

對(duì)于上兩種函數(shù)，雖然可以經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析得出元件的相關(guān)可靠性指標(biāo)，但對(duì)于部件出現(xiàn)故障、修理工加入系統(tǒng)、部件工作暫停，以及修理工因?yàn)榧倨诩皞€(gè)人原因?qū)е滦蘩硌舆t等問(wèn)題，運(yùn)算將會(huì)變得十分復(fù)雜，不僅是考慮部件壽命的問(wèn)題。但對(duì)于非馬氏冷儲(chǔ)備系統(tǒng)卻可以應(yīng)用馬氏更新過(guò)程理論來(lái)解決。

2 馬爾可夫更新過(guò)程

2.1 馬氏更新過(guò)程定義

設(shè)隨機(jī)變量 { X(t)，t≥0 }是狀態(tài)空間E=Z+的隨機(jī)過(guò)程，設(shè)0=t0＜t1＜t2＜…＜tn＜…是過(guò)程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)刻，則Xn=X( tn+0)是過(guò)程在時(shí)刻tn發(fā)生的第n次轉(zhuǎn)移后所處狀態(tài)。若對(duì)任意整數(shù)n≥0，任意i0，…，in－1，in，j∈E和任意t≥0，有

則稱隨機(jī)過(guò)程 {(Xn，tn)，n≥0 }為馬爾可夫更新過(guò)程。轉(zhuǎn)移概率族 {Qij(t)，i，j∈ E}，稱作空間E上的半馬爾可夫核。設(shè) X(t)=Xn，tn≤t≤tn+1，則{ X(t)，t≥0 }是半馬氏過(guò)程。Xn稱作半馬氏過(guò)程{ X(t)，t≥0 }的嵌入馬氏鏈。

2.2 再生點(diǎn)

再生點(diǎn)是這樣的時(shí)刻:在已知此時(shí)該過(guò)程所處的狀態(tài)的條件下，過(guò)程將來(lái)發(fā)展的概率與過(guò)去的歷史無(wú)關(guān)。

在馬爾可夫過(guò)程中，每個(gè)狀態(tài)的逗留時(shí)間服從指數(shù)分布［13－15］。由于指數(shù)的無(wú)記憶性，任意時(shí)刻t都是過(guò)程的再生點(diǎn)，具有馬氏性。但在半馬爾可夫過(guò)程中，逗留時(shí)間分布為一般分布，故所有時(shí)刻并非都是過(guò)程的再生點(diǎn)，而只在狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)刻是再生點(diǎn)。

3 裝備的模型分析

3.1 模型假設(shè)

假設(shè)1 系統(tǒng)由2個(gè)不同型部件和2個(gè)修理工組成。

假設(shè)2 部件的工作壽命Xi服從威布爾分布W( αi，λi;x)=Wi(x)，i=1，2，故障后修理時(shí)間Yi服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布Fi( ui;y)，i=1，2。

假設(shè)3 2個(gè)部件的工作壽命、修理時(shí)間以及修理延遲時(shí)間都相互獨(dú)立，且在工作之初是全新的，部件既不出現(xiàn)故障也不會(huì)劣化。

假設(shè)4 裝換開關(guān)是可靠的，狀態(tài)轉(zhuǎn)移是瞬時(shí)的，部件修復(fù)如新。

此時(shí)所建立的模型即兩部件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)模型。

3.2 狀態(tài)分析

狀態(tài)0 部件1開始工作，部件2冷儲(chǔ)備;

狀態(tài)1 部件1出現(xiàn)故障，修理延遲開始，部件2開始工作;

狀態(tài)2 部件2出現(xiàn)故障，開始修理，修理延遲開始，部件1開始工作;

狀態(tài)3 一個(gè)部件正在工作，另一個(gè)部件修理結(jié)束;

狀態(tài)4 一個(gè)部件正在修理延遲，另一個(gè)部件發(fā)生故障。

經(jīng)分析知:狀態(tài)0是滑過(guò)狀態(tài)，狀態(tài)1、2都是系統(tǒng)的再生點(diǎn)。在再生點(diǎn)時(shí)刻與狀態(tài){X，T}相關(guān)的函數(shù)f( i，t)=P( A)定義在E×R+上滿足馬爾可夫更新方程:

其中:g=P( A，T1＞t)，Q=P( I[s≤t]，i，k)，T1為首次更新時(shí)刻。

令X(t)=j表示在時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)j(j= 0，1，2，3，4)，Tn表示系統(tǒng)第n次發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時(shí)刻，Zn=X( Tn+0)表示第n次轉(zhuǎn)移時(shí)刻系統(tǒng)所進(jìn)入的狀態(tài)。則易知 (Zn，Tn;n=0，1，2，… )是狀態(tài)空間E={0，1，2，3}上的馬爾可夫更新過(guò)程，{ X(t)，t≥0 }是一個(gè)半馬爾可夫過(guò)程。Qij(t)，i= 0，1，2，3，4，j=1，2，3，4，記Xi，i=1，2為裝備i的工作壽命，Yi，i=1，2為裝備i的修理時(shí)間，則有下列結(jié)果:

3.3 可用性分析

通過(guò)拉普拉斯變換及其反變換很難求出瞬時(shí)可用度A0(t)，A1(t)和A2(t)，但在所要求的精度下通過(guò)數(shù)值方法求解會(huì)使計(jì)算變得簡(jiǎn)單。本文采用梯形公式求解瞬時(shí)可用度。對(duì)A0(t)，A1(t)和A2(t)變形可得

進(jìn)而可以得出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。

4 模型計(jì)算

假設(shè)經(jīng)過(guò)參數(shù)估計(jì)后，2個(gè)裝備的壽命分布參數(shù)分別為λ1=0.01，α1=1，λ2=0.02，α2=1，修理時(shí)間參數(shù)為u1=0.5，u2=0.5，則考慮該武器裝備的可用性指標(biāo)。

1)穩(wěn)態(tài)可用度

其A1(t)可用度在［0，100］h的曲線見(jiàn)圖1。

圖1 A1(t)可用度在［0，100］h的曲線

由圖1可知:武器裝備在工作時(shí)隨著時(shí)間的增加，可用度逐漸減小。可見(jiàn)，單從穩(wěn)態(tài)可靠度方面并不能反映出武器裝備的瞬時(shí)可用度［16－18］，而且對(duì)于冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的工作時(shí)間通常比系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)可用度的時(shí)間短，穩(wěn)態(tài)可用度很難描述系統(tǒng)瞬時(shí)可用度的動(dòng)態(tài)變化。

5 結(jié)束語(yǔ)

區(qū)別于通常單一考慮部件壽命分布的可靠性研究，本文應(yīng)用馬爾可夫更新過(guò)程理論對(duì)武器裝備進(jìn)行建模分析。考慮其為具有2個(gè)不同型部件、1個(gè)修理工的冷儲(chǔ)備可修系統(tǒng)，進(jìn)而求出基于馬爾可夫更新過(guò)程理論的武器裝備的可靠性指標(biāo)，以便用于實(shí)際研究與參考。但本文只考慮了兩部件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，多重裝備部件的預(yù)防性維修、修理有優(yōu)先權(quán)、修理工休假以及部件老化問(wèn)題等尚需進(jìn)一步研究。

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(責(zé)任編輯 劉 舸)

Application of Markov Renewal Process in the Credibility Aspect of Weapon Equipment

YU Chao，CHEN Fu－kai，ZHOU Hao
(Shool of Sciences，Hohai University，Nanjing 210098，China)

To make a distinction from the analysis of life span distribution about the single weapon equipment，the paper considered the non－Markov in comprehensive situation，used the Markov renewal process theory to build the reliability analysis model，and calculated the two kinds of usability.

Markov renewal process;the cold standby repairable;usability;delay time

O22

A

1674－8425(2014)07－0137－05

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.07.027

2014－03－06

余超(1991—)，男，江西臨川人，碩士研究生，主要從事統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程和水文預(yù)報(bào)方面的研究。

余超，陳夫凱，周浩.馬爾可夫更新過(guò)程在武器裝備可靠性方面的應(yīng)用［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(7):137－141.

format:YU Chao，CHEN Fu－kai，ZHOU Hao.Application of Markov Renewal Process in the Credibility Aspect of Weapon Equipment［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(7):137－141.