王金山，李偉兵

(陸軍軍官學(xué)院 a.基礎(chǔ)部;b.研管大隊(duì)2隊(duì)，合肥 230031)

Prelec概率權(quán)重函數(shù)先驗(yàn)行為假設(shè)拓展

王金山a，李偉兵b

(陸軍軍官學(xué)院 a.基礎(chǔ)部;b.研管大隊(duì)2隊(duì)，合肥 230031)

提出一種稱為中值不變性的概率權(quán)重函數(shù)先驗(yàn)行為假設(shè)，提供一種推導(dǎo)Prelec概率權(quán)重函數(shù)的新方法，并給出更弱條件下滿足中值不變性的定義。分析并闡述了中值不變性較已知的3種先驗(yàn)假設(shè)在可行性和可靠性兩個(gè)方面的綜合優(yōu)勢(shì)，其結(jié)論更容易被人們接受，對(duì)決策者有實(shí)際參考意義。至此，存在4種可推導(dǎo)出Prelec概率權(quán)重函數(shù)的先驗(yàn)行為假設(shè)。

前景理論;Prelec權(quán)重函數(shù);先驗(yàn)行為假設(shè)拓展;中值不變性

期望效用理論被用于解決風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題之后，因其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系和簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式，很快成為風(fēng)險(xiǎn)決策理論的重要基石，然而在決策過(guò)程中并非偶然出現(xiàn)的一系列悖論對(duì)其提出了挑戰(zhàn)。對(duì)此，Kahneman和Tversky［1］提出了著名的前景理論，試圖對(duì)決策選擇一系列問(wèn)題中的異?，F(xiàn)象做出合乎數(shù)理的解釋。他們將人的決策過(guò)程分為編輯和評(píng)價(jià)兩個(gè)階段，提出了用權(quán)重函數(shù)和價(jià)值函數(shù)共同度量總體價(jià)值，具體來(lái)說(shuō)是結(jié)果價(jià)值與決策權(quán)重的乘積。價(jià)值類似于效用理論中的效用值，決策權(quán)重是概率的函數(shù)，通過(guò)它描述概率在決策者決策心理過(guò)程中發(fā)揮的作用并度量其影響。因此，前景理論決策過(guò)程中Von Neumann－Morgenstern的公理體系不再適用。為了完善前景理論，Kahneman和Tversky［2］又提出了累積前景理論。累積前景理論通過(guò)累積概率替代個(gè)別概率的方法轉(zhuǎn)換效用函數(shù)中的客觀概率。他們思索決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度有4種不同的類型:當(dāng)結(jié)果出現(xiàn)的概率較大時(shí)，處于收益狀態(tài)下決策者風(fēng)險(xiǎn)厭惡，損失狀態(tài)則風(fēng)險(xiǎn)偏好;但當(dāng)概率較小時(shí)，決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度正好相反。Prelec在累積前景理論基礎(chǔ)上發(fā)展了概率權(quán)重函數(shù)，并首次基于復(fù)合不變性假設(shè)推導(dǎo)出了一類概率權(quán)重函數(shù)，即Prelec概率權(quán)重函數(shù)，此后它被廣泛用于前景理論決策中。

風(fēng)險(xiǎn)選擇的先驗(yàn)行為假設(shè)對(duì)基本的決策模型有很大的影響，因此對(duì)先驗(yàn)行為假設(shè)的拓展研究是前景決策理論研究的熱點(diǎn)。本文在復(fù)合不變性的基礎(chǔ)上，提出一種稱為中值不變性的先驗(yàn)行為假設(shè)，并提供一種推導(dǎo)Prelec概率權(quán)重函數(shù)的新方法。中值不變性更容易被人們接受，很好地拓展了先驗(yàn)行為假設(shè)。

1 基本假設(shè)

決策者在決策時(shí)會(huì)面對(duì)一系列結(jié)果和概率，用X表示所有結(jié)果構(gòu)成實(shí)數(shù)結(jié)果集，P表示所有結(jié)果對(duì)應(yīng)發(fā)生概率構(gòu)成的概率集。假設(shè)決策者的偏好是通過(guò)價(jià)值函數(shù)u:X→R給定的，價(jià)值的大小決定決策者的偏好程度，對(duì)于任意x，y∈X，當(dāng)且僅當(dāng)u(y)＞u(x)時(shí)，y優(yōu)于 x;當(dāng)且僅當(dāng) u(y)= u(x)時(shí)，y與x無(wú)差異。若用(x，p)表示以概率為p得到結(jié)果x的事件;用((y，q)，p)表示以概率p得到(y，q)的事件;用(x，p;y，q)表示以概率p得到結(jié)果x并且以概率q得到結(jié)果y的事件，滿足p +q≤1。假設(shè)決策者的概率權(quán)重函數(shù)是通過(guò)w:p→［0，1］給定的，函數(shù)w(p)在(0，1)上連續(xù)、單調(diào)遞增，且滿足w(0)=0，w(1)=1。

假設(shè)總體價(jià)值是通過(guò)總體價(jià)值函數(shù)U:(X，P)→R給定，是結(jié)果集X和概率集P的函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)U(X，P)=U(Y，Q)時(shí)，(X，P)與(Y，Q)無(wú)差異，記作(X，P)～(Y，Q)。對(duì)于給定結(jié)果的價(jià)值函數(shù)u(x)以及概率權(quán)重函數(shù)w(p)，U(X，P)滿足以下運(yùn)算規(guī)則:

假設(shè)價(jià)值函數(shù)u(x)和概率權(quán)重函數(shù)w(p)在式(1)的運(yùn)算規(guī)則下，構(gòu)成前景理論中總體價(jià)值的表示方法。

2 現(xiàn)行概率權(quán)重函數(shù)先驗(yàn)行為假設(shè)

在前景理論研究領(lǐng)域，風(fēng)險(xiǎn)選擇的先驗(yàn)行為假設(shè)對(duì)基本的決策模型有很大的影響，主要表現(xiàn)在概率權(quán)重函數(shù)的設(shè)置上。Prelec［3］首先基于復(fù)合不變性(compound invariance)假設(shè)導(dǎo)出了Prelec概率權(quán)重函數(shù);Luce［4］提出了一種相對(duì)于復(fù)合不變性假設(shè)而言更為簡(jiǎn)單的還原不變性(reduction invariance);Al－Nowaihi和Dhami［5］在還原不變性基礎(chǔ)上又提出了冪不變性(power invariance)。

2.1 復(fù)合不變性

定義1［3］若對(duì)于任意結(jié)果x，y∈X和概率p，q，r，s∈［0，1］，(x，p)～(y，q)和(x，r)～(y，s)同時(shí)成立，且對(duì)于任意結(jié)果x'，y'∈X，?λ≥1，λ∈N+，若(x'，pλ)～(y'，qλ)成立，則(x'，rλ)～(y'，sλ)亦成立，則稱概率權(quán)重函數(shù)w滿足復(fù)合不變性。

Prelec的研究結(jié)果［3］顯示復(fù)合不變性假設(shè)下的概率權(quán)重函數(shù)如式(2)所示，稱式(2)的函數(shù)w為Prelec概率權(quán)重函數(shù)。

定理1［3］概率權(quán)重函數(shù)w滿足復(fù)合不變性，當(dāng)且僅當(dāng)其是Prelec權(quán)重函數(shù)。

2.2 還原不變性

定義 2［4］若對(duì)任意結(jié)果 x∈X和概率p，q，r∈［0，1］，λ∈{2，3}，若((x，p)，q)～(x，r)成立，則((x，pλ)，qλ)～(x，rλ)亦成立，則稱概率權(quán)重函數(shù)w滿足還原不變性。

定理2［4］概率權(quán)重函數(shù)w滿足還原不變性，當(dāng)且僅當(dāng)其是Prelec權(quán)重函數(shù)。

2.3 冪不變性

定義3［5］若對(duì)任意結(jié)果，p，q∈［0，1］，λ∈{2，3}，若((x，p)，p)～(x，q)成立，則((x，pλ)，pλ)～(x，qλ)亦成立;若(((x，p)，p)，p)～(x，q)成立時(shí)，則亦成立，則稱概率權(quán)重函數(shù)w滿足冪不變性。

定理3［5］概率權(quán)重函數(shù)w滿足冪不變性，當(dāng)且僅當(dāng)其是Prelec權(quán)重函數(shù)。

3 中值不變性的拓展

本部分基于Prelec的復(fù)合不變性提出了區(qū)別于3種現(xiàn)行的不變性假設(shè)的一種新的先驗(yàn)行為假設(shè)，稱之為中值不變性(Mid－value invariance)。首先給出函數(shù)中值和函數(shù)中值不變性的定義。

定義4 類似于p，q和r滿足pr=q2，稱q是p和r的幾何中值;若p，q和r在函數(shù) w下滿足w(p)·w(r)=w2(q)，則稱p是r和q在w(·)下的函數(shù)中值。

定義5 若q是p和r在w(·)下的函數(shù)中值，對(duì)?λ≥1，λ∈N+，w(pλ)·w(rλ)=w2(qλ)亦成立，即qλ亦是pλ和rλ的函數(shù)中值，則稱函數(shù)w滿足函數(shù)中值不變性。

在定義1中，加入2個(gè)關(guān)于結(jié)果和概率的條件qλ和r=q后，可得到一種新的不變性假設(shè)，為便于定義1與定義4進(jìn)行對(duì)比，記y'為z，記s為r，因函數(shù)w(p)滿足定義5的函數(shù)中值不變性，故稱此不變性為中值不變性。

定義6 若對(duì)任意結(jié)果x，y∈X和概率p，q，r∈［0，1］，(x，p)～(y，q)和(x，q)～(y，r)同時(shí)成立，若對(duì)?λ≥1，λ∈N+，z∈X，(y，pλ)～(z，qλ)成立，則(y，qλ)～(z，rλ)亦成立，則稱概率權(quán)重函數(shù)w滿足中值不變性。

定理4 概率權(quán)重函數(shù)w滿足中值不變性，當(dāng)且僅當(dāng)其是Prelec權(quán)重函數(shù)。

證明:根據(jù)定義6的已知條件，若概率權(quán)重函數(shù)w滿足中值不變性，則有

對(duì)于式(12)，當(dāng)且僅當(dāng)G(Q)=βQα，α，β＞0才成立，式(12)整理后得

4 更弱條件的中值不變性

事實(shí)上，類似于還原不變形［4］和冪不變性［5］的更弱條件，在定義6中，概率權(quán)重函數(shù)滿足中值不變性所需的條件是可以減弱的。

定理5 當(dāng)λ=2，3時(shí)概率權(quán)重函數(shù)滿足中值不變性，則對(duì)?λ＞0，λ∈R+概率權(quán)重函數(shù)均滿足中值不變性。

命題(21)的正確使得λ'=λ－1=2－k·3－l，可極大地拓展取值空間，通式為

在前文推導(dǎo)過(guò)程中k，l∈N+，由于命題(21)的成立使得k，l∈N，而Γ在正實(shí)數(shù)域R+上是稠密的［7］，因此可把Γ的取值拓展到正實(shí)數(shù)域R+內(nèi)。證畢。

據(jù)此可得到較定義6條件更弱的定義7。

定義7 對(duì)任意結(jié)果x，y∈X和概率p，q，r∈［0，1］，(x，p)～(y，q)和(x，q)～(y，r)無(wú)差異關(guān)系同時(shí)成立，且對(duì)λ∈{2，3}，z∈X，成立，則亦成立，則稱概率權(quán)重函數(shù)w滿足中值不變性。

5 先驗(yàn)行為假設(shè)比較分析

先驗(yàn)行為假設(shè)的合理與否主要體現(xiàn)在可行性和可靠性2個(gè)方面?？尚行园ńY(jié)論的可行性;可靠性包括假設(shè)條件的可靠性和所得結(jié)論的可靠性。下文將就這2個(gè)方面進(jìn)行分析，對(duì)比4種不同先驗(yàn)行為假設(shè)，并闡述中值不變性在先驗(yàn)行為假設(shè)可行性和可靠性的綜合優(yōu)勢(shì)。

5.1 合理性分析

先驗(yàn)行為假設(shè)條件所需的概率為客觀概率。事實(shí)上，有很多決策問(wèn)題的客觀概率不清楚或者不能通過(guò)實(shí)際的準(zhǔn)確計(jì)算得到，因此決策過(guò)程中的概率多是憑經(jīng)驗(yàn)或相關(guān)理論推斷得到的主觀概率，而主觀概率存在不穩(wěn)定性，這一點(diǎn)已被Ellsberg悖論完整體現(xiàn)并證明。故在先驗(yàn)行為假設(shè)所用的概率個(gè)數(shù)越多，其假設(shè)條件的可靠性就越低，條件不可靠又導(dǎo)致結(jié)論的可靠性較低。

在決策者看來(lái)，先驗(yàn)行為假設(shè)結(jié)論的可行性主要體現(xiàn)在所需結(jié)果個(gè)數(shù)和結(jié)論的復(fù)合階數(shù)上。所需結(jié)果多，對(duì)應(yīng)的概率個(gè)數(shù)亦增多，帶來(lái)?xiàng)l件和結(jié)論的不可靠，故不適用;結(jié)果復(fù)合階數(shù)越多，即伴隨著(x)→(x，p)→((x，p)，q)的復(fù)合過(guò)程，不確定程度在不斷增強(qiáng)，人們不會(huì)輕易做出這種假設(shè)。因此結(jié)論復(fù)合階數(shù)越高的假設(shè)，其可行性越低。

5.2 4種不同先驗(yàn)行為假設(shè)比較分析

表1給出了復(fù)合不變性、中值不變性、還原不變性、冪不變性4種不同先驗(yàn)行為假設(shè)，在所需概率個(gè)數(shù)、所需結(jié)果個(gè)數(shù)以及結(jié)論復(fù)合階數(shù)3個(gè)方面的對(duì)比。

表1 先驗(yàn)行為假設(shè)對(duì)比

對(duì)比分析可知:Luce把復(fù)合不變性發(fā)展成為還原不變性，雖然所需結(jié)果的個(gè)數(shù)減少到1個(gè)，卻使得其結(jié)論增加為二階的復(fù)合，可行性降低;Al－Nowaihi和Dhami把還原不變性發(fā)展到冪不變性，雖使其所需概率個(gè)數(shù)減少到2個(gè)，但其結(jié)果卻要求為三階復(fù)合，使得其可行性嚴(yán)重降低，且其需要兩步復(fù)合，較還原不變性更加繁瑣。因此，還原不變性、冪不變性假設(shè)因?yàn)槠浣Y(jié)果的復(fù)雜使得可行性降低;復(fù)合不變性要求4個(gè)結(jié)果，并對(duì)應(yīng)4個(gè)概率，事實(shí)上與其可靠性相比很低。中值不變性結(jié)論為一階復(fù)合且一步復(fù)合，具備了復(fù)合不變性的優(yōu)勢(shì)，其所需概率個(gè)數(shù)和還原不變性所需概率個(gè)數(shù)相等，可靠性較高。因此本文提出的中值不變性綜合3種先驗(yàn)行為假設(shè)的優(yōu)點(diǎn)，無(wú)論在可行性還是可靠性上都具優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文就現(xiàn)行的先驗(yàn)行為假設(shè)不能同時(shí)滿足較高程度可行性和可靠性的問(wèn)題，介紹一種稱為中值不變性的先驗(yàn)行為假設(shè)，提供一種推導(dǎo)Prelec概率權(quán)重函數(shù)的新方法，并得到了更弱條件下滿足中值不變性的定義。通過(guò)4種先驗(yàn)行為假設(shè)之間的對(duì)比分析，闡述了中值不變性在可行性和可靠性2個(gè)方面的綜合優(yōu)勢(shì)，便于決策者采用。其結(jié)論對(duì)決策者有實(shí)際參考意義。

［1］ Kahneman D，Tversky A.Prospect theory:an analysis of decisions under risk［J］.Econometrica，1979，47(2):263－291.

［2］ Tversky A，Kahneman D.Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty［J］.Journal of Risk and Uncertainty，1992，5(4):297－323.

［3］ Prelec D.The probability weighting function［J］.Econometrica，1998，66:497－527.

［4］ Luce R D.Reduction invariance and Prelec’s weighting functions［J］.Journal of Mathematical Psychology，2001，45(1):167－179.

［5］ Al－Nowaihi A，Dhami S.A simple derivation of Prelec’s probability weighting function［J］.Journal of Mathematical Psychology，2006，50(6):521－524.

［6］ Aczel J.Lectures on functional equations and their applications［M］.New York:Academic Press，1966.

［7］ Bleichrodt H，Kothiyal A，Prelec D，et al.Compound invariance implies prospect theory for simple prospects［J］.Journal of Mathematical Psychology，2013，57(3):68－77.

(責(zé)任編輯 劉 舸)

Development of Prior Behavior Assumption for Prelec’s Probability Weighting Function

WANG Jin－shana，LI Wei－bingb
(a.Department of Basic Theories;b.No.2 Team of Graduate Management Unit Army Officer Academy，Hefei 230031，China)

We introduce a new prior behavior assumption named mid－value invariance，provide a simpler derivation of Prelec’s probability weighting function，and obtain a weaker condition for definition.We have analyzed and stated its advantages both on feasibility and reliability，so the new conclusion has the reference significance in practice.Thus far，we have four different priori behavioral assumptions all leading to Prelec’s function.

prospect theory;Prelec’s probability weighting function;development of prior behavior assumption;mid－value invariance

C931.1

A

1674－8425(2014)07－0132－05

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.07.026

2014－03－21

王金山(1962—)，男，安徽亳州人，教授，主要從事預(yù)測(cè)與決策分析方面的研究;通信作者 李偉兵(1990—)，男，河南許昌人，碩士研究生，主要從事預(yù)測(cè)與決策分析方面的研究。

王金山，李偉兵.Prelec概率權(quán)重函數(shù)先驗(yàn)行為假設(shè)拓展［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(7): 132－136.

format:WANG Jin－shan，LI Wei－bing.Development of Prior Behavior Assumption for Prelec’s Probability Weighting Function［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(7):132－136.